Kurs:Funktionentheorie/2/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
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Punkte | 3 | 3 | 0 | 2 | 4 | 5 | 5 | 4 | 0 | 6 | 2 | 3 | 5 | 4 | 2 | 0 | 4 | 0 | 52 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine biholomorphe Abbildung zwischen offenen Mengen .
- Die geometrische Reihe für .
- Die -Norm einer Potenzreihe.
- Eine Laurent-Reihe.
- Ein kontrahierbarer topologischer Raum .
- Ein Gitter in den komplexen Zahlen .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
- Der Integralsatz von Cauchy.
- Der Satz über die Laurent-Entwicklung auf einem Kreisring.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei offen eine nullstellenfreie komplex differenzierbare. Es sei und sei eine komplex differenzierbare Funktion mit
für alle . Zeige
Aufgabe * (4 Punkte)
Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.
Aufgabe * (5 Punkte)
Beweise den Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings .
Aufgabe * (5 (1+4) Punkte)
- Bestimme die Taylorreihe zur Funktion
im Entwicklungspunkt .
- Es sei
und es sei
die Taylorreihe zu im Entwicklungspunkt . Bestimme die Koeffizienten aus der Gleichung
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei offen und eine zweifach stetig differenzierbare Funktion. Zeige
wobei die äußere Ableitung bezeichnet.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise die Integralformel von Cauchy für die Kreisscheibe.
Aufgabe * (2 Punkte)
Man gebe ein Beispiel einer holomorphen Funktion auf der punktierten Kreisscheibe derart, dass ein Häufungspunkt der Nullstellen von ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei eine stetige Funktion und sei
der nach unten offene Subgraph der Funktion. Zeige, dass einfach zusammenhängend ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei und sei
die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort derart, dass eine Überlagerung ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Satz über den Repräsentanten für ein Gitter unter Streckungsäquivalenz.
Aufgabe (0 Punkte)