Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 0 2 4 5 5 4 0 6 2 3 5 4 2 0 4 0 52




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine biholomorphe Abbildung zwischen offenen Mengen .
  2. Die geometrische Reihe für .
  3. Die -Norm einer Potenzreihe.
  4. Eine Laurent-Reihe.
  5. Ein kontrahierbarer topologischer Raum .
  6. Ein Gitter in den komplexen Zahlen .



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
  2. Der Integralsatz von Cauchy.
  3. Der Satz über die Laurent-Entwicklung auf einem Kreisring.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei offen eine nullstellenfreie komplex differenzierbare. Es sei und sei eine komplex differenzierbare Funktion mit

für alle . Zeige



Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.



Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings .



Aufgabe * (5 (1+4) Punkte)

  1. Bestimme die Taylorreihe zur Funktion

    im Entwicklungspunkt .

  2. Es sei

    und es sei

    die Taylorreihe zu im Entwicklungspunkt . Bestimme die Koeffizienten aus der Gleichung



Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei offen und eine zweifach stetig differenzierbare Funktion. Zeige

wobei die äußere Ableitung bezeichnet.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Integralformel von Cauchy für die Kreisscheibe.



Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer holomorphen Funktion auf der punktierten Kreisscheibe derart, dass ein Häufungspunkt der Nullstellen von ist.



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den lokalen Exponenten von

in jedem Punkt .



Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine stetige Funktion und sei

der nach unten offene Subgraph der Funktion. Zeige, dass einfach zusammenhängend ist.



Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei und sei

die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort derart, dass eine Überlagerung ist.



Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über den Repräsentanten für ein Gitter unter Streckungsäquivalenz.



Aufgabe (0 Punkte)