Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 2 5 7 8 6 3 3 6 4 4 3 7 64




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die obere Halbebene in .
  2. Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe
  3. Ein lokaler Ring.
  4. Eine holomorphe Differentialform auf einer offenen Menge .
  5. Die äußere Ableitung einer differenzierbaren Differentialform ersten Grades.
  6. Ein einfach zusammenhängender topologischer Raum .



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
  2. Das Lemma von Goursat (Quadratversion).
  3. Der Satz über die Offenheit von holomorphen Funktionen.



Aufgabe * (2 (0.5+1+0.5) Punkte)

a) Berechne

b) Bestimme das inverse Element zu

c) Welchen Abstand hat aus Teil (b) zum Nullpunkt?



Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es sei

  1. Zeige, dass auf dem offenen Ball injektiv ist.
  2. Zeige, dass auf dem abgeschlossenen Ball injektiv ist.



Aufgabe * (7 Punkte)

Zeige, dass das Cauchy-Produkt von absolut konvergenten Reihen absolut gegen das Produkt der beiden Summen konvergiert.



Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ein Körper und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit für alle . Zeige, dass

ein diskreter Bewertungsring ist.



Aufgabe * (6 (1+2+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Differentialform

auf dem und die Abbildung

  1. Berechne die äußere Ableitung von .
  2. Berechne den Rückzug von unter .
  3. Berechne die äußere Ableitung von auf .
  4. Berechne den Rückzug von unter unabhängig von (3).



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Maxima von auf .



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den lokalen Exponenten von

in jedem Punkt .



Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von Casorati-Weierstrass.



Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei

eine Funktion, wir betrachten dazu die zusammengesetzte Funktion

also

auf .

  1. Bestimme für die lineare Funktion (mit dem Proportionalitätsfaktor )

    die zugehörige Funktion .

  2. Es sei nun eine beliebige ungerade Funktion. Zeige, dass die Bedingung

    für alle erfüllt.



Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Bestimme das Residuum im Nullpunkt von

  1. ,
  2. .



Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es abgeschlossene einfach zusammenhängende Teilmengen gibt, die nicht zur abgeschlossenen Kreisscheibe homöomorph sind.



Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ein Gebiet und sei eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf , die lokal beschränkt sei. Zeige, dass dann jede Folge in eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.