Kurs:Funktionentheorie/8/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 5 | 7 | 8 | 6 | 3 | 3 | 6 | 4 | 4 | 3 | 7 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die obere Halbebene in .
- Der
Konvergenzradius
einer komplexen Potenzreihe
- Ein lokaler Ring.
- Eine holomorphe Differentialform auf einer offenen Menge .
- Die äußere Ableitung einer differenzierbaren Differentialform ersten Grades.
- Ein einfach zusammenhängender topologischer Raum .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
- Das Lemma von Goursat (Quadratversion).
- Der Satz über die Offenheit von holomorphen Funktionen.
Aufgabe * (2 (0.5+1+0.5) Punkte)
a) Berechne
b) Bestimme das inverse Element zu
c) Welchen Abstand hat aus Teil (b) zum Nullpunkt?
Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)
Es sei
- Zeige, dass auf dem offenen Ball injektiv ist.
- Zeige, dass auf dem abgeschlossenen Ball injektiv ist.
Aufgabe * (7 Punkte)
Zeige, dass das Cauchy-Produkt von absolut konvergenten Reihen absolut gegen das Produkt der beiden Summen konvergiert.
Aufgabe * (8 Punkte)
Es sei ein Körper und sei
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit für alle . Zeige, dass
ein diskreter Bewertungsring ist.
Aufgabe * (6 (1+2+2+1) Punkte)
Wir betrachten die Differentialform
auf dem und die Abbildung
- Berechne die äußere Ableitung von .
- Berechne den Rückzug von unter .
- Berechne die äußere Ableitung von auf .
- Berechne den Rückzug von unter unabhängig von (3).
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme die Maxima von auf .
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise den Satz von Casorati-Weierstrass.
Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)
Es sei
eine Funktion, wir betrachten dazu die zusammengesetzte Funktion
also
auf .
- Bestimme für die lineare Funktion
(mit dem Proportionalitätsfaktor )
die zugehörige Funktion .
- Es sei nun eine beliebige
ungerade Funktion.
Zeige, dass die Bedingung
für alle erfüllt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Zeige, dass es abgeschlossene einfach zusammenhängende Teilmengen gibt, die nicht zur abgeschlossenen Kreisscheibe homöomorph sind.
Aufgabe * (7 Punkte)
Es sei ein Gebiet und sei eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf , die lokal beschränkt sei. Zeige, dass dann jede Folge in eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.