Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 14/latex

\setcounter{section}{14}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise Satz 14.1 direkt für ein Polynom $f$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabb {f} {U} { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {komplex-differenzierbare Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. Zeige, dass die Potenzreihe von $f$ in $a$ auf jeder offenen Kreisscheibe
\mathl{U { \left( a,r \right) }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( a,r \right) } }
{ \subseteq }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} konvergiert und dort die Funktion $f$ darstellt.

}
{} {}

Die folgende Aussage kann man auch direkt durch Induktion zeigen, siehe Aufgabe 18.31 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) für den reellen Fall.




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und seien \maabbdisp {f,g} {I} {\R } {} zwei $n$-mal \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f \cdot g)^{(n)} }
{ =} {\sum_{k = 0}^n \binom { n } { k } f^{(k)} \cdot g^{(n-k)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Satz 14.2.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \in }{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} seien \maabbdisp {f,g} {U} { {\mathbb C} } {} \definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{} und sei $\gamma$ eine \definitionsverweis {Standardumrundung}{}{} von $0$ innerhalb von $U$. Zeige, dass die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \pi { \mathrm i} \int_\gamma { \frac{ f(z) g(z) }{ z^{2} } } dz }
{ =} { { \left( \int_\gamma { \frac{ f(z) }{ z^{1} } } dz \right) } { \left( \int_\gamma { \frac{ g(z) }{ z^{2} } } dz \right) } + { \left( \int_\gamma { \frac{ f(z) }{ z^{2} } } dz \right) } { \left( \int_\gamma { \frac{ g(z) }{ z^{1} } } dz \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise Lemma 10.2 mit Lemma 1.7 und Satz 14.2.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise Satz 10.7 \zusatzklammer {zumindest die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von zwei konvergenten Potenzreihen wieder eine konvergente Potenzreihe ergibt} {} {} mit Satz 1.8 und Satz 14.2.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe schließt an Aufgabe 10.11 an.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und sei $R$ die Menge aller Keime von \definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{} \maabbdisp {f} {U} { {\mathbb C} } {,} die in einer offenen Umgebung $U$ von $P$ definiert sind \zusatzklammer {siehe Aufgabe 10.9} {} {.} Zeige, dass $R$ mit dem \definitionsverweis {Ring der konvergenten Potenzreihen}{}{} ${\mathbb C}\langle \! \langle T-P \rangle \!\rangle $ übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {U} { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ = }{ \varphi(P) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass der Ringhomomorphismus zwischen den Keimen von holomorphen Funktionen \zusatzklammer {siehe Aufgabe 10.12} {} {} \maabbeledisp {} {{\mathcal O}_Q } {{\mathcal O}_P } {[f]} { [ f \circ \varphi ] } {,} mit dem Einsetzungshomomorphismus \maabbdisp {\varphi^*} { {\mathbb C} \langle \! \langle S-Q \rangle \!\rangle } {{\mathbb C} \langle \! \langle T-P \rangle \!\rangle } {} zwischen den \definitionsverweis {Ringen der konvergenten Potenzreihen}{}{} übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Satz 14.2, Satz 14.6, Korollar 14.7, Korollar 14.8, Satz 14.10, Satz 15.2, Satz 15.5 und Satz 15.8 nicht im Reellen gelten.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Satz 14.6, Korollar 14.7, Korollar 14.8, Satz 14.10, Satz 15.2, Satz 15.5 und Satz 15.8 nicht ohne die Voraussetzung, dass der Definitionsbereich \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist, gelten.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{ U { \left( 0,r \right) } }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine offene Kreisscheibe und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ = }{ U \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei $f$ eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} auf $V$ und sei $g$ eine holomorphe Funktion auf $U$. Es erfülle $f$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^d }
{ =} { g }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf $V$. Zeige, dass $f$ auf ganz $U$ holomorph ist.

}
{} {}

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 1.12 hilfreich.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{ U { \left( 0,r \right) } }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine offene Kreisscheibe und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ = }{ U \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei $f$ eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} auf $V$ und seien $\alpha_0 , \ldots , \alpha_{d-1}$ holomorphe Funktionen auf $U$. Es erfülle $f$ die Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^d + \alpha_{d-1} f^{d-1} + \cdots + \alpha_2f^2+ \alpha_1 f+\alpha_0 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf $V$. Zeige, dass $f$ auf ganz $U$ holomorph ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass $\betrag { e^{1/z} }$ in keiner Umgebung von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} beschränkt ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {diskrete Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine Vereinigung von \definitionsverweis {diskreten Teilmengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D_1 , \ldots , D_n }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} wieder diskret ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine nicht diskrete Teilmenge. Zeige, dass es dann einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_n }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_n }
{ \neq }{ P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $n$, die gegen $P$ konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {diskrete Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die nicht \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} $\neq 0$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, die in jedem Stammbruch
\mathbed {{ \frac{ 1 }{ n } }} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,} eine Nullstelle besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.} Die Menge der \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} von $f$ besitze einen \definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{.} Zeige, dass $f$ die Identität ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{} und sei \maabb {f} {G} { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(a) }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(z) } }
{ \geq} { \betrag { f(a) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann $f$ konstant ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Maxima von
\mathl{\betrag { z-1 }}{} auf
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Maxima von
\mathl{\betrag { z^3+4z^2-6z }}{} auf dem Quadrat
\mathl{[0 \times 1] \times [0, 1]}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \in }{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} seien \maabbdisp {f,g} {U} { {\mathbb C} } {} \definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{} und sei $\gamma$ eine \definitionsverweis {Standardumrundung}{}{} von $0$ innerhalb von $U$. Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \pi { \mathrm i} \int_\gamma { \frac{ f(z) g(z) }{ z^{n+1} } } dz }
{ =} { \sum_{j = 0}^n { \left( \int_\gamma { \frac{ f(z) }{ z^{j+1} } } dz \right) } { \left( \int_\gamma { \frac{ g(z) }{ z^{n+1-j} } } dz \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Beweise Satz 10.8 mit Korollar 5.3 und Satz 14.2.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei \maabb {f} { U { \left( 0,1 \right) } } { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(z) } }
{ \leq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \in }{ U { \left( 0,1 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f'(0) } }
{ \leq} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $\betrag { z^n e^{1/z} }$ in keiner Umgebung von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} beschränkt ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme die Maxima von
\mathl{\betrag { z^2-z }}{} auf
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{.}

}
{} {}