Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 14/latex
\setcounter{section}{14}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Satz 14.1 direkt für ein Polynom $f$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {komplex-differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Zeige, dass die Potenzreihe von $f$ in $a$ auf jeder offenen Kreisscheibe
\mathl{U { \left( a,r \right) }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( a,r \right) }
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert und dort die Funktion $f$ darstellt.
}
{} {}
Die folgende Aussage kann man auch direkt durch Induktion zeigen, siehe Aufgabe 18.31 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) für den reellen Fall.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und seien
\maabbdisp {f,g} {I} {\R
} {}
zwei $n$-mal
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f \cdot g)^{(n)}
}
{ =} {\sum_{k = 0}^n \binom { n } { k } f^{(k)} \cdot g^{(n-k)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
Satz 14.2.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
seien
\maabbdisp {f,g} {U} { {\mathbb C}
} {}
\definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{}
und sei $\gamma$ eine
\definitionsverweis {Standardumrundung}{}{}
von $0$ innerhalb von $U$. Zeige, dass die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \pi { \mathrm i} \int_\gamma { \frac{ f(z) g(z) }{ z^{2} } } dz
}
{ =} { { \left( \int_\gamma { \frac{ f(z) }{ z^{1} } } dz \right) } { \left( \int_\gamma { \frac{ g(z) }{ z^{2} } } dz \right) } + { \left( \int_\gamma { \frac{ f(z) }{ z^{2} } } dz \right) } { \left( \int_\gamma { \frac{ g(z) }{ z^{1} } } dz \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Lemma 10.2 mit Lemma 1.7 und Satz 14.2.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Satz 10.7 \zusatzklammer {zumindest die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von zwei konvergenten Potenzreihen wieder eine konvergente Potenzreihe ergibt} {} {} mit Satz 1.8 und Satz 14.2.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe schließt an
Aufgabe 10.11
an.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und sei $R$ die Menge aller Keime von
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb C}
} {,}
die in einer offenen Umgebung $U$ von $P$ definiert sind
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 10.9} {} {.}
Zeige, dass $R$ mit dem
\definitionsverweis {Ring der konvergenten Potenzreihen}{}{}
${\mathbb C}\langle \! \langle T-P \rangle \!\rangle $ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ \varphi(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der Ringhomomorphismus zwischen den Keimen von holomorphen Funktionen
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 10.12} {} {}
\maabbeledisp {} {{\mathcal O}_Q } {{\mathcal O}_P
} {[f]} { [ f \circ \varphi ]
} {,}
mit dem Einsetzungshomomorphismus
\maabbdisp {\varphi^*} { {\mathbb C} \langle \! \langle S-Q \rangle \!\rangle } {{\mathbb C} \langle \! \langle T-P \rangle \!\rangle
} {}
zwischen den
\definitionsverweis {Ringen der konvergenten Potenzreihen}{}{}
übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Satz 14.2, Satz 14.6, Korollar 14.7, Korollar 14.8, Satz 14.10, Satz 15.2, Satz 15.5 und Satz 15.8 nicht im Reellen gelten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Satz 14.6, Korollar 14.7, Korollar 14.8, Satz 14.10, Satz 15.2, Satz 15.5 und Satz 15.8 nicht ohne die Voraussetzung, dass der Definitionsbereich \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist, gelten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ U { \left( 0,r \right) }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Kreisscheibe und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ U \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $f$ eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
auf $V$ und sei $g$ eine holomorphe Funktion auf $U$. Es erfülle $f$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^d
}
{ =} { g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $V$. Zeige, dass $f$ auf ganz $U$ holomorph ist.
}
{} {}
Für die folgende Aufgabe ist
Aufgabe 1.12
hilfreich.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ U { \left( 0,r \right) }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Kreisscheibe und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ U \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $f$ eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
auf $V$ und seien $\alpha_0 , \ldots , \alpha_{d-1}$ holomorphe Funktionen auf $U$. Es erfülle $f$ die Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^d + \alpha_{d-1} f^{d-1} + \cdots + \alpha_2f^2+ \alpha_1 f+\alpha_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $V$. Zeige, dass $f$ auf ganz $U$ holomorph ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass $\betrag { e^{1/z} }$ in keiner Umgebung von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschränkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {diskrete Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {abzählbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine Vereinigung von
\definitionsverweis {diskreten Teilmengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D_1 , \ldots , D_n
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wieder diskret ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine nicht diskrete Teilmenge. Zeige, dass es dann einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_n
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_n
}
{ \neq }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $n$, die gegen $P$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {diskrete Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die nicht
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
$\neq 0$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die in jedem Stammbruch
\mathbed {{ \frac{ 1 }{ n } }} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,}
eine Nullstelle besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.} Die Menge der \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} von $f$ besitze einen \definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{.} Zeige, dass $f$ die Identität ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
und sei
\maabb {f} {G} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(a)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(z) }
}
{ \geq} { \betrag { f(a) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann $f$ konstant ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Maxima von
\mathl{\betrag { z-1 }}{} auf
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Maxima von
\mathl{\betrag { z^3+4z^2-6z }}{} auf dem Quadrat
\mathl{[0 \times 1] \times [0, 1]}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
seien
\maabbdisp {f,g} {U} { {\mathbb C}
} {}
\definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{}
und sei $\gamma$ eine
\definitionsverweis {Standardumrundung}{}{}
von $0$ innerhalb von $U$. Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \pi { \mathrm i} \int_\gamma { \frac{ f(z) g(z) }{ z^{n+1} } } dz
}
{ =} { \sum_{j = 0}^n { \left( \int_\gamma { \frac{ f(z) }{ z^{j+1} } } dz \right) } { \left( \int_\gamma { \frac{ g(z) }{ z^{n+1-j} } } dz \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Beweise Satz 10.8 mit Korollar 5.3 und Satz 14.2.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\maabb {f} { U { \left( 0,1 \right) } } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(z) }
}
{ \leq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ U { \left( 0,1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f'(0) }
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\betrag { z^n e^{1/z} }$ in keiner Umgebung von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschränkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme die Maxima von
\mathl{\betrag { z^2-z }}{} auf
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{.}
}
{} {}