Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 27

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass zu einer elliptischen Funktion ${}f\neq 0$ (bezüglich ${}\Gamma$) auch ${}f^{-1}$ elliptisch ist.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass zu einer elliptischen Funktion ${}f$ (bezüglich ${}\Gamma$) auch die Ableitung ${}f'$ elliptisch ist.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass jede elliptische Funktion ${}f$ (bezüglich ${}\Gamma$) eine eindeutige Zerlegung ${}f=g+h$ mit einer geraden elliptischen Funktion ${}g$ und einer ungeraden elliptischen Funktion ${}h$ besitzt.

Aufgabe

Es seien ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ streckungsäquivalente Gitter mit ${}\Gamma _{2}=s\Gamma _{1}$. Zeige, dass zu jeder bezüglich ${}\Gamma _{1}$ elliptischen Funktion ${}f$ durch

${}g(w):=f{\left({\frac {w}{s}}\right)}\,$

eine bezüglich ${}\Gamma _{2}$ elliptische Funktion gegeben ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{{\left(z-n\right)}^{2}}}$ auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \mathbb {Z}$ kompakt konvergiert.

Man kann zeigen, dass

${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{{\left(z-n\right)}^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass die Familie

$w^{-2},\,w\in \Gamma '$

nicht summierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass die elliptische Funktion

${}f(z)=\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}\,$

ungerade ist.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass die elliptische Funktion

${}f(z)=\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}\,$

in den Punkten ${}{\frac {v_{1}}{2}},{\frac {v_{2}}{2}},{\frac {v_{1}+v_{2}}{2}},$ eine Nullstelle besitzt, und dass dies innerhalb der halboffenen Gittermasche ${}{\left\{sv_{1}+tv_{2}\mid 0\leq s,t<1\right\}}$ die einzigen Nullstellen sind.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${}{\mathbb {C} }$ und ${}\wp$ die zugehörige Weierstraßsche Funktion. Zeige, dass ${}\wp$ auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \Gamma$ eine Stammfunktion besitzt.

Aufgabe

Welche Funktion ${}g$ ergibt sich im Beweis zu Lemma 27.13 für ${}f=\wp$.

Aufgabe

Es sei ${}\Delta \subseteq {\mathbb {C} }$ eine zu ${}\mathbb {Z} ^{3}$ isomorphe Untergruppe. Zeige, dass es außer den konstanten Funktionen keine meromorphe Funktion gibt, die bezüglich ${}\Delta$ periodisch ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass zu elliptischen Funktionen ${}f,g$ (bezüglich ${}\Gamma$) auch ${}f+g$ und ${}f\cdot g$ elliptisch sind.

Aufgabe (6 (2+4) Punkte)

Es sei ${}\Gamma =\langle 2\pi {\mathrm {i} },u\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und sei ${}a=e^{u}$.

1. Es sei

   $g\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   eine meromorphe Funktion mit der Eigenschaft

   ${}g(aw)=g(w)\,$

   für alle ${}w$. Zeige, dass

   ${}f(z)=g(e^{z})\,$

   elliptisch bezüglich ${}\Gamma$ ist.

2. Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ elliptisch bezüglich ${}\Gamma$. Zeige, dass es eine Funktion ${}g\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ wie in (1) gibt derart, dass

   ${}f(z)=g(e^{z})\,$

   gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ streckungsäquivalente Gitter. Zeige, dass die Korrespondenz aus Aufgabe 27.4 zwischen elliptischen Funktionen bezüglich ${}\Gamma _{1}$ und elliptischen Funktionen bezüglich ${}\Gamma _{2}$ einen Körperisomorphismus induziert.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Untergruppe ${}\Delta \subseteq {\mathbb {C} }$, die zu ${}\mathbb {Z} ^{2}$ isomorph ist, und für die es neben den konstanten Funktionen keine meromorphe Funktion gibt, die bezüglich ${}\Delta$ periodisch ist.