Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 26

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ vollständige Gitter. Zeige, dass es eine ${}\mathbb {R}$- lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

gibt, die einen Gruppenisomorphismus

$\Gamma _{1}\longrightarrow \Gamma _{2}$

induziert.

Aufgabe

Es seien ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es eine ${}\mathbb {Q}$- lineare Abbildung

$\mathbb {Q} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{n}$

gibt, die einen Gruppenisomorphismus

$\Gamma _{1}\longrightarrow \Gamma _{2}$

induziert.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma =\langle r+s{\mathrm {i} },t+u{\mathrm {i} }\rangle$ ein Gitter in ${}{\mathbb {C} }$ mit ${}r,s,t,u\in \mathbb {Z}$ und

${}ru-st=1\,.$

Zeige, dass ${}\Gamma$ das Standardgitter ${}\langle 1,{\mathrm {i} }\rangle$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Untergruppe

${}\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \cdot {\sqrt {3}}\subseteq \mathbb {R} \,$

dicht ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Einheitskreis

${}S_{\mathbb {R} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {R} [{\mathrm {i} }]\cong {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,$

isomorph zu ${}\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe

Charakterisiere die Restklassengruppe eines Gitters ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Zu einem durch linear unabhängige Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren ${}\epsilon _{1}v_{1}+\cdots +\epsilon _{n}v_{n}$ mit ${}\epsilon _{i}\in \{0,1\}$ als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und sei ${}u,v$ ein Erzeugendensystem von ${}\Gamma$. Zeige, dass der Flächeninhalt zur Grundmasche zu diesen Erzeugern nur vom Gitter abhängt.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma =\mathbb {Z} u+\mathbb {Z} v\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und sei ${}\Gamma '=\langle au+bv,cu+dv\rangle \subseteq \Gamma$ ein Untergitter. Zeige, dass die Anzahl von ${}\Gamma /\Gamma '$ gleich dem Betrag der Determinante von ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige direkt, dass

${\left\{s\in {\mathbb {C} }\mid s\Gamma \subseteq \Gamma \right\}}$

ein Unterring von ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass in ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ mit ${}S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und ${}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ die Beziehungen ${}S^{2}=-\operatorname {Id}$ und ${}(ST)^{3}=-\operatorname {Id}$ gelten.

Aufgabe *

Wir betrachten die Matrizen ${}S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und ${}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ aus ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es ist

   ${}ST\neq T^{n}S\,$

   für alle ${}n\in \mathbb {Z}$.

2. Die von ${}T$ erzeugte Untergruppe in ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ ist kein Normalteiler.

Aufgabe

Zeige, dass in der Modulgruppe ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}/\pm \operatorname {Id}$ die Relationen ${}S^{2}=\operatorname {Id}$ und ${}(ST)^{3}=\operatorname {Id}$ gelten.

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung

$G\times M\longrightarrow M,\,(g,x)\longmapsto gx,$

heißt Gruppenoperation (von ${}G$ auf ${}M$), wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten.

1. ${}ex=x$ für alle ${}x\in M$.
2. ${}(gh)x=g(hx)$ für alle ${}g,h\in G$ und für alle ${}x\in M$.

Es sei

$G\times M\longrightarrow M$

eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$. Eine Teilmenge ${}D\subseteq M$ heißt Fundamentalbereich für die Operation, wenn es für jedes ${}x\in M$ genau ein ${}g\in G$ mit ${}gx\in D$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die Modulsubstitution eine Gruppenoperation auf der oberen Halbebene ist.

Aufgabe *

Finde für das Gitter ${}\Gamma =\langle 3+{\mathrm {i} },-1+2{\mathrm {i} }\rangle$ das Element ${}\tau$ im Fundamentalbereich ${}D$ derart, dass ${}\Gamma$ streckungsäquivalent zu ${}\langle 1,\tau \rangle$ ist.

Aufgabe

Finde für das Gitter ${}\Gamma =\langle 3+7{\mathrm {i} },2-5{\mathrm {i} }\rangle$ das Element ${}\tau$ im Fundamentalbereich ${}D$ derart, dass ${}\Gamma$ streckungsäquivalent zu ${}\langle 1,\tau \rangle$ ist.

Aufgabe

Finde für das Gitter ${}\Gamma =\langle {\sqrt {5}}+{\mathrm {i} },3-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\rangle$ das Element ${}\tau$ im Fundamentalbereich ${}D$ derart, dass ${}\Gamma$ streckungsäquivalent zu ${}\langle 1,\tau \rangle$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${}{\mathbb {C} }$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter in ${}\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} }\subseteq {\mathbb {C} }$.
2. ${}\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter in ${}\mathbb {Q} +\mathbb {Q} {\mathrm {i} }\subseteq {\mathbb {C} }$.
3. ${}\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form ${}\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau$ mit ${}\tau \in D$ und ${}\tau \in \mathbb {Q} +\mathbb {Q} {\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Interpretiere die Modulsubstitution auf der oberen Halbebene als Gruppenoperation auf der offenen Einheitskreisscheibe mit Hilfe von Lemma 2.10.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$

eine bijektive ${}\mathbb {R}$- lineare Abbildung und sei ${}\Gamma \subset {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass ${}\varphi$ einen Diffeomorphismus und Homomorphismus der reellen Lie-Gruppe

${\overline {\varphi }}\colon {\mathbb {C} }/\Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} }/\varphi (\Gamma )$

induziert, dass dies aber kein Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen sein muss.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Alle Springmäuse leben in ${}\mathbb {Z} ^{2}$ und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung ${}\pm (3,4)$ und den Sprung ${}\pm (5,2)$. Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen

$(14,11),\,(13,15),\,(17,12),\,(15,19),\,(16,16){\mbox{ und }}(12,20).$

Welche Springmäuse können sich begegnen?

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es ein rationales Gitter ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \Gamma$ gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\Gamma \subset \mathbb {R} ^{n}$ ein vollständiges Gitter und

$p\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}/\Gamma$

die kanonische Projektion, wobei der Quotient mit der Quotiententopologie versehen sei. Zeige, dass ${}p$ eine Überlagerung ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Finde für das Gitter ${}\Gamma =\langle 1,-e+\pi {\mathrm {i} }\rangle$ das Element ${}\tau$ im Fundamentalbereich ${}D$ derart, dass ${}\Gamma$ streckungsäquivalent zu ${}\langle 1,\tau \rangle$ ist.