Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 27/kontrolle
- Übungsaufgaben
Es sei ein Gitter. Zeige, dass zu einer elliptischen Funktion (bezüglich ) auch elliptisch ist.
Es sei ein Gitter. Zeige, dass zu einer elliptischen Funktion (bezüglich ) auch die Ableitung elliptisch ist.
Es sei ein Gitter. Zeige, dass jede elliptische Funktion (bezüglich ) eine eindeutige Zerlegung mit einer geraden elliptischen Funktion und einer ungeraden elliptischen Funktion besitzt.
Es seien streckungsäquivalente Gitter mit . Zeige, dass zu jeder bezüglich elliptischen Funktion durch
eine bezüglich elliptische Funktion gegeben ist.
Zeige, dass die Reihe auf kompakt konvergiert.
Man kann zeigen, dass
gilt.
Es sei ein Gitter. Zeige, dass die elliptische Funktion
in den Punkten eine Nullstelle besitzt, und dass dies innerhalb der halboffenen Gittermasche die einzigen Nullstellen sind.
Es sei ein Gitter in und die zugehörige Weierstraßsche Funktion. Zeige, dass auf eine Stammfunktion besitzt.
Welche Funktion ergibt sich im Beweis zu Lemma 27.13 für .
Es sei eine zu isomorphe Untergruppe. Zeige, dass es außer den konstanten Funktionen keine meromorphe Funktion gibt, die bezüglich periodisch ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Es sei ein Gitter. Zeige, dass zu elliptischen Funktionen (bezüglich ) auch und elliptisch sind.
Aufgabe (6 (2+4) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Gitter und sei .
- Es sei
eine meromorphe Funktion mit der Eigenschaft
für alle . Zeige, dass
elliptisch bezüglich ist.
- Es sei
elliptisch bezüglich . Zeige, dass es eine Funktion
wie in (1) gibt derart, dass
gilt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien streckungsäquivalente Gitter. Zeige, dass die Korrespondenz aus Aufgabe 27.4 zwischen elliptischen Funktionen bezüglich und elliptischen Funktionen bezüglich einen Körperisomorphismus induziert.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für eine Untergruppe , die zu isomorph ist, und für die es neben den konstanten Funktionen keine meromorphe Funktion gibt, die bezüglich periodisch ist.