Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 27/kontrolle



Übungsaufgaben

Aufgabe Aufgabe 27.1 ändern

Es sei ein Gitter. Zeige, dass zu einer elliptischen Funktion (bezüglich ) auch elliptisch ist.



Aufgabe Aufgabe 27.2 ändern

Es sei ein Gitter. Zeige, dass zu einer elliptischen Funktion (bezüglich ) auch die Ableitung elliptisch ist.



Aufgabe Aufgabe 27.3 ändern

Es sei ein Gitter. Zeige, dass jede elliptische Funktion (bezüglich ) eine eindeutige Zerlegung mit einer geraden elliptischen Funktion und einer ungeraden elliptischen Funktion besitzt.



Aufgabe Aufgabe 27.4 ändern

Es seien streckungsäquivalente Gitter mit . Zeige, dass zu jeder bezüglich elliptischen Funktion durch

eine bezüglich elliptische Funktion gegeben ist.



Zeige, dass die Reihe auf kompakt konvergiert.


Man kann zeigen, dass

gilt.


Es sei ein Gitter. Zeige, dass die Familie

nicht summierbar ist.



Es sei ein Gitter. Zeige, dass die elliptische Funktion

ungerade ist.



Aufgabe Aufgabe 27.8 ändern

Es sei ein Gitter. Zeige, dass die elliptische Funktion

in den Punkten eine Nullstelle besitzt, und dass dies innerhalb der halboffenen Gittermasche die einzigen Nullstellen sind.



Es sei ein Gitter in und die zugehörige Weierstraßsche Funktion. Zeige, dass auf eine Stammfunktion besitzt.



Welche Funktion ergibt sich im Beweis zu Lemma 27.13 für .



Es sei eine zu isomorphe Untergruppe. Zeige, dass es außer den konstanten Funktionen keine meromorphe Funktion gibt, die bezüglich periodisch ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Aufgabe 27.12 ändern

Es sei ein Gitter. Zeige, dass zu elliptischen Funktionen (bezüglich ) auch und elliptisch sind.



Es sei ein Gitter und sei .

  1. Es sei

    eine meromorphe Funktion mit der Eigenschaft

    für alle . Zeige, dass

    elliptisch bezüglich ist.

  2. Es sei elliptisch bezüglich . Zeige, dass es eine Funktion wie in (1) gibt derart, dass

    gilt.



Es seien streckungsäquivalente Gitter. Zeige, dass die Korrespondenz aus Aufgabe 27.4 zwischen elliptischen Funktionen bezüglich und elliptischen Funktionen bezüglich einen Körperisomorphismus induziert.



Man gebe ein Beispiel für eine Untergruppe , die zu isomorph ist, und für die es neben den konstanten Funktionen keine meromorphe Funktion gibt, die bezüglich periodisch ist.