Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 24/latex
\setcounter{section}{24}
In dieser Vorlesung besprechen wir Konvergenzeigenschaften von Folgen von holomorphen Funktionen, die für den Beweis des riemannschen Abbildungssatzes in der nächsten Vorlesung benötigt werden.
\zwischenueberschrift{Kompakte Konvergenz}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $T$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei
\maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {,}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.}
Man sagt, dass die Funktionenfolge \definitionswort {kompakt konvergiert}{,} wenn sie auf jeder
\definitionsverweis {kompakten Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $T$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei
\maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {,}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.}
Man sagt, dass die Funktionenfolge \definitionswort {lokal gleichmäßig konvergiert}{,} wenn es eine Funktion
\maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K}
} {}
derart gibt, dass es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mathl{f_n {{|}}_U}{}
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen
\mathl{f {{|}}_U}{} konvergiert.
}
\inputfaktbeweis
{Offene Teilmenge/R^n/Funktionenfolge/Kompakt konvergent/Lokal gleichmäßig konvergent/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
Teilmenge und sei
\maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {,}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Funktionenfolge genau dann
\definitionsverweis {kompakt konvergent}{}{,}
wenn sie
\definitionsverweis {lokal gleichmäßig konvergent}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $f_n$ kompakt konvergent und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu einer offenen Ballumgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U { \left( P,r \right) }
}
{ \subset }{ U { \left( P,s \right) }
}
{ \subseteq }{ T
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der abgeschlossene Ball
\mathl{B \left( P,r \right)}{} kompakt. Die gleichmäßige Konvergenz darauf überträgt sich auf die offene Teilmenge. Sei umgekehrt angenommen, dass lokal gleichmäßige Konvergenz vorliegt, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine kompakte Teilmenge. Es gibt dann eine endliche Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ \bigcup_{i = 1}^m U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit in $T$ offenen Teilmengen $U_i$ derart, dass die Funktionenfolge auf jedem $U_i$ gleichmäßig konvergiert. Dies überträgt sich auf die endliche Vereinigung und damit auch auf $K$.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}
Eine \definitionswort {kompakte Ausschöp\-fung}{}
\mathbed {A_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
von $X$ ist eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {kompakten Teilmengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_n
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {A_n \subseteq A_{n+1}^{o} \text{ und } \bigcup_{n=0}^\infty A_n = X} { . }
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {kompakten Ausschöpfung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_n
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann versteht man unter der
\definitionswort {Topologie der kompakten Konvergenz}{}
auf
\mathl{C(X,{\mathbb K})}{} die
\definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{}
unter der natürlichen Abbildung
\maabbeledisp {} { C(X,{\mathbb K}) } {\prod_{n \in \N} C(A_n, {\mathbb K} )
} {f} { { \left( f {{|}}_{A_n} \right) }_{n \in \N}
} {,}
wobei die
\mathl{C(A_n, {\mathbb K} )}{} mit der
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{}
versehen sind und der Produktraum mit der
\definitionsverweis {Produkttopologie}{}{}
versehen ist.
}
Nach Aufgabe 24.4 liegt ein metrischer Raum vor.
{Topologischer Raum/Kompakte Ausschöpfung/K-wertige Funktionen/Kompakte Konvergenz/Topologie/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {kompakten Ausschöpfung}{}{}
und sei
\maabbdisp {f_n} {X} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
die Folge genau dann in der
\definitionsverweis {Topologie der kompakten Konvergenz}{}{,}
wenn sie
\definitionsverweis {kompakt konvergiert}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 24.6. }
\zwischenueberschrift{Der Satz von Montel}
Zu einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnen wir mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma (U, {\mathcal O} )
}
{ = }{ {\mathcal O}(U)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Menge der auf $U$ definierten
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{.}
Dies ist eine Unteralgebra von
\mathl{C(U, {\mathbb C} )}{,} der Algebra aller stetigen ${\mathbb C}$-wertigen Funktionen. Die für die stetigen Funktionen entwickelten Konzepte wie
\definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{,}
\definitionsverweis {gleichmäßige Konvergenz}{}{,}
\definitionsverweis {kompakte Konvergenz}{}{}
kann man auf die Unteralgebra der holomorphen Funktionen anwenden. Dabei hilft die folgende wichtige Aussage, dass die Grenzfunktion einer lokal gleichmäßig konvergenten Folge holomorpher Funktionen wieder holomorph ist.
\inputfaktbeweis
{Gebiet/Holomorphe Funktionen/Folge/Konvergenz und Ableitungen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
und sei
\maabb {f_k} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{,}
die gegen die Grenzfunktion $f$
\definitionsverweis {kompakt konvergiert}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ holomorph.}
\faktzusatz {Die Folge der Ableitungsfunktionen
\mathl{f^{(n)}_k}{} konvergiert kompakt gegen $f^{(n)}$.}
\faktzusatz {}
}
{
Da die Aussagen lokal sind, können wir nach
Lemma 24.3
und nach einer Verschiebung direkt davon ausgehen, dass die Folge auf
\mathl{U { \left( 0,s \right) }}{} gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ < }{ r
}
{ < }{ s
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\gamma$ die
\definitionsverweis {Standardumrundung}{}{}
von $0$ mit Radius $r$. Nach
Korollar 13.5
und
Satz 14.1
ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U { \left( 0,r \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{(n)}_k (P)
}
{ =} { { \frac{ n! }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_\gamma { \frac{ f_k(z) }{ (z-P)^{n+1} } } dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei $C_{k}$ das Maximum von
\mathl{\betrag { f - f_k }}{.} Dann gilt unter Verwendung von
Lemma 12.10
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \betrag { \int_\gamma { \frac{ n! }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \cdot { \frac{ f(z) }{ (z-P)^{n+1} } } dz -f^{(n)}_k (P) }
}
{ =} { \betrag { { \frac{ n! }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_\gamma { \frac{ f (z) }{ (z-P)^{n+1} } } dz - { \frac{ n! }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_\gamma { \frac{ f_k (z) }{ (z-P)^{n+1} } } dz }
}
{ =} { { \frac{ n! }{ 2 \pi } } \betrag { \int_\gamma { \frac{ f (z)- f_k (z) }{ (z-P)^{n+1} } } dz }
}
{ \leq} { n! { \frac{ C_{k} r }{ (r- \betrag { P } )^{n+1} } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Es sei $n$ fixiert, wir behaupten, dass
\mathl{f^{(n)}_k (P)}{} auf
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{} lokal gleichmäßig gegen
\mathl{{ \frac{ n! }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_\gamma { \frac{ f(z) }{ (z-P)^{n+1} } } dz}{} konvergiert. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U { \left( 0,r \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wir zeigen die gleichmäßige Konvergenz auf
\mathl{U { \left( P, t \right) }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ { \frac{ r-\betrag { P } }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ U { \left( P, t \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ r - \betrag { P } }{ r - \betrag { Q } } }
}
{ \leq} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz der $f_k$ gegen $f$ gibt es ein $k_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \geq }{ k_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C_k
}
{ \leq }{ { \frac{ \epsilon (r- \betrag { P } )^{n+1} }{ 2^{n+1} r \cdot (n!) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Daher ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \betrag { \int_\gamma { \frac{ n! }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \cdot { \frac{ f(z) }{ (z-Q)^{n+1} } } dz - f_k^{(n)}(Q) }
}
{ \leq} { n! { \frac{ C_{k} r }{ (r- \betrag { Q } )^{n+1} } }
}
{ =} { n! { \left( { \frac{ r- \betrag { P } }{ r- \betrag { Q } } } \right) }^{n+1} { \frac{ C_{k} r }{ (r- \betrag { P } )^{n+1} } }
}
{ \leq} { n! 2^{n+1} { \frac{ C_{k} r }{ (r- \betrag { P } )^{n+1} } }
}
{ \leq} { \epsilon
}
}
{}
{}{.}
Insbesondere ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_\gamma { \frac{ f(z) }{ (z-P) } } dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher gilt für den Differenzenquotienten
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \frac{ f(P) -f(Q) }{ P-Q } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} (P-Q) } } \int_\gamma { \frac{ f(z) }{ (z-P) } } - { \frac{ f(z) }{ (z-Q) } } dz
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} (P-Q) } } \int_\gamma { \frac{ f(z)(z-Q)-f(z)(z-P) }{ (z-P) (z-Q) } } dz
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} (P-Q) } } \int_\gamma { \frac{ f(z)(P-Q) }{ (z-P) (z-Q) } } dz
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_\gamma { \frac{ f(z) }{ (z-P) (z-Q) } } dz
}
}
{}
{}{.}
Für
\mathl{Q \rightarrow P}{} konvergiert auf dem Kreisrand
\mathl{{ \frac{ f(z) }{ (z-P) (z-Q) } }}{} gleichmäßig gegen
\mathl{{ \frac{ f(z) }{ (z-P) (z-P) } }}{} und daher existiert der Limes des Integrals nach
Lemma 23.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
und somit ist $f$ komplex differenzierbar. Somit ist die oben bestimmte Grenzfunktion von $f^{(n)}_k$ nach
Satz 14.1
gleich der $n$-ten Ableitung von $f$.
\inputfaktbeweis
{Gebiet/Holomorphe Funktionen/Abgeschlossen in stetigen Funktionen/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (U, {\mathcal O} )
}
{ \subseteq} { C(U, {\mathbb C} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\zusatzklammer {in der
\definitionsverweis {Topologie der kompakten Konvergenz}{}{}} {} {}
\definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 24.7 in Verbindung mit Satz 33.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
\inputfaktbeweis
{Gebiet/Holomorphe Funktionen/Ableitung/Stetig/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\maabbeledisp {} { \Gamma (U, {\mathcal O} )} { \Gamma (U, {\mathcal O} )
} {f} {f'
} {,}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
in der
\definitionsverweis {Topologie der kompakten Konvergenz}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt Satz 24.7 aus Lemma 34.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
\inputdefinition
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ C(X,{\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge von
\definitionsverweis {stetigen}{}{}
${\mathbb K}$-wertigen Funktionen auf $X$. Man sagt, dass $T$
\definitionswort {beschränkt}{}
ist, wenn es ein Konstante
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(P) }
}
{ \leq} { C
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ C(X,{\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge von
\definitionsverweis {stetigen}{}{}
${\mathbb K}$-wertigen Funktionen auf $X$. Man sagt, dass $T$
\definitionswort {lokal beschränkt}{}
ist, wenn es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass die auf $U$ eingeschränkte Funktionenmenge
\mathbed {f {{|}}_U} {}
{f \in T} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist.
}
Der folgende Satz \zusatzklammer {insbesondere die Richtung von (1) nach (2)} {} {} heißt \stichwort {Satz von Montel} {.}
\inputfaktbeweis
{Holomorphe Funktionenmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \Gamma (U, {\mathcal O} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge von
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{}
auf $U$.}
\faktfolgerung {Dann ist $T$ genau dann
\definitionsverweis {lokal beschränkt}{}{,}
wenn jede Folge in $T$ eine
\definitionsverweis {kompakt konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
besitzt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei die Funktionenmenge $T$ lokal beschränkt. Dann sind insbesondere die Bilder
\mathbed {f(P)} {}
{f \in T} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
in ${\mathbb C}$. Wir möchten
Aufgabe 18.10 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023))
anwenden, dazu ist lediglich noch zu zeigen, dass die Funktionenmenge
\definitionsverweis {gleichgradig stetig}{}{}
ist. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U { \left( P,r \right) }
}
{ \subset }{ U { \left( P,s \right) }
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die Funktionenfamilie auf
\mathl{U { \left( P,s \right) }}{} durch die Konstante $C$
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
sei. Es sei $\gamma$ eine
\definitionsverweis {Standardumrundung}{}{}
um $P$ mit dem Radius $r$. Dann gelten für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ U { \left( P,r \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Satz 13.7,
Korollar 13.5
und
Lemma 12.10
die von $f$ unabhängigen Abschätzungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { f(Q)-f(P) }
}
{ =} { \betrag { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_\gamma { \frac{ f(z) }{ z-Q } } dz - { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_\gamma { \frac{ f(z) }{ z-P } } dz }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi } } \betrag { \int_\gamma { \frac{ f(z) }{ z-Q } } - { \frac{ f(z) }{ z-P } } dz }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi } } \betrag { \int_\gamma { \frac{ f(z) (Q-P) }{ (z-Q)(z-P) } } dz }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi } } \cdot { \frac{ \betrag { Q-P } }{ r } } \betrag { \int_\gamma { \frac{ f(z) }{ (z-Q) } } dz }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi } } \cdot { \frac{ \betrag { Q-P } }{ r } } \cdot 2 \pi r \cdot C { \frac{ 1 }{ r- \betrag { P-Q } } }
}
{ =} { { \frac{ C }{ r- \betrag { P-Q } } } \betrag { Q-P }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Zu gegebenem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ > }{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man dann mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ \defeq} { \operatorname{min} \left( { \frac{ r }{ 2 C } } \epsilon ,\, { \frac{ r }{ 2 } } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die gleichgradige Stetigkeit nachweisen.
Für die Rückrichtung siehe Aufgabe 24.9.