Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/18/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	1	5	2	4	4	5	2	4	4	2	8	2	12	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Disjunktheit von Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Eine endliche Menge ${}M$ mit ${}n$ Elementen.
3. Die Multiplikation ${}a\cdot b$ von natürlichen Zahlen ${}a,b$.
4. Die Fakultät einer natürlichen Zahl ${}n$.
5. Ein proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen.
6. Ein gemischter Bruch.

Lösung

1. Die Mengen ${}L$ und ${}M$ heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt ${}L\cap M=\emptyset$ ist.
2. Eine Menge ${}M$ heißt endlich mit ${}n$ Elementen, wenn es eine Bijektion

   ${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M$

   gibt.

3. Das Produkt ${}a\cdot b$ ist definiert als die ${}a$-fache Summe der Zahl ${}b$ mit sich selbst.
4. Unter der Fakultät von ${}n$ versteht man die Zahl

   ${}n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$

5. Zwischen den Größen ${}x$ und ${}y$ liegt ein proportionaler Zusammenhang vor, wenn die Beziehung

   ${}y=cx\,$

   mit einer festen Zahl ${}c$ besteht.

6. Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

   $n{\frac {a}{b}}$

   mit einer natürlichen Zahl ${}n$ und einer rationalen Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ mit ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}a<b$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen der Addition und endlichen Mengen.
2. Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
3. Der Satz über das Monotonieverhalten von Potenzfunktionen in einem angeordneten Körper ${}K$.

Lösung

1. Es seien ${}M$ und ${}N$ disjunkte endliche Mengen mit ${}m$ bzw. ${}n$ Elementen. Dann besitzt ihre Vereinigung ${}M\cup N$ gerade ${}m+n$ Elemente.
2. Es sei ${}d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl ${}n$ eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}r$, ${}0\leq r\leq d-1$, mit

   ${}n=qd+r\,.$

3. Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gelten folgende Aussagen.
   1. Die Abbildung

      $K_{\geq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$

      ist streng wachsend.

   2. Die Abbildung

      $K_{\leq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$

      ist bei ${}n$ ungerade streng wachsend.

   3. Die Abbildung

      $K_{\leq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$

      ist bei ${}n$ gerade streng fallend.

Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$ ${}q$ ${}?$ w w w w f f f w w f f f

Lösung

${}q$.

Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Es sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge einer Menge ${}M$ mit dem Komplement ${}M\setminus T$.

1. Zeige

   ${}{\mathfrak {P}}\,(T)\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)\,.$

2. Es sei ${}M=\{a,b,c,d,e\}$ und ${}T=\{b,c,e\}$. Zu welchen Potenzmengen gehört die Menge ${}\{a\}$? Zu ${}{\mathfrak {P}}\,(T)$? Zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$? Zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)$?
3. Es sei ${}M=\mathbb {N}$ und ${}T$ die Teilmenge der geraden Zahlen. Formuliere in Worten, was die Zugehörigkeit einer Teilmenge ${}A\subseteq \mathbb {N}$ zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)$ und zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)$ bedeutet.
4. Gilt

   ${}{\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)\,?$

5. Gilt

   ${}{\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)\,?$

Lösung

1. Wenn ${}A\in {\mathfrak {P}}\,(T)$ ist, so bedeutet dies ${}A\subseteq T$, was wegen ${}T\subseteq M$ direkt ${}A\subseteq M$ und somit ${}A\in {\mathfrak {P}}\,(M)$ ergibt.
2. Die Menge ${}\{a\}$ gehört nicht zu ${}{\mathfrak {P}}\,(T)$, da ${}a\notin T$ ist. Die Menge ${}\{a\}$ gehört zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ und wegen

   ${}M\setminus T=\{a,d\}\,$

   gehört sie auch zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)$.

3. Die Zugehörigkeit von ${}A$ zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)$ bedeutet, dass in ${}A$ nicht nur gerade Zahlen vorkommen, und die Zugehörigkeit von ${}A$ zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)$ bedeutet, dass in ${}A$ nur ungerade Zahlen vorkommen.
4. Wir betrachten ${}T$ und ${}M$ aus Teil (3). Die Menge ${}A=\{1,2\}$ gehört zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)$, aber nicht zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)$.
5. Das gilt nicht. Die leere Menge gehört zu jeder Potenzmenge, daher gehört sie zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)$, aber nicht zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Zwei Personen wollen ihre Körpergröße vergleichen. Sie können sich direkt vergleichen, indem sie sich Rücken an Rücken hinstellen, oder, indem sie ein Maßband (Zollstock) nehmen und ihre Größe damit jeweils messen. Welche Analogien zu diesen Methoden gibt es, wenn man zwei endliche Mengen vergleichen möchte?

Lösung

Es seien ${}M$ und ${}N$ die beiden beteiligten endlichen Mengen.

Direkter Vergleich: Man bestimmt, ob es eine injektive Abbildung von ${}M$ nach ${}N$ gibt (und umgekehrt), ob also die eine Menge in der anderen Menge „Platz“ hat.

Indirekter Vergleich mit Hilfe eines neutralen Vergleichsmaßstabes: Man zählt die beiden Mengen mit Hilfe der natürlichen Zahlen ab und vergleicht dann die dabei ermittelten Anzahlen.

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, wir betrachten die Betragsabbildung

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert .$

1. Ist diese Abbildung injektiv?
2. Ist diese Abbildung surjektiv?
3. Wir nennen die Betragsabbildung kurz ${}\varphi$. Was kann man über die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi ^{2},\varphi ^{3},\varphi ^{4},\ldots$ in Bezug auf ${}\varphi$ sagen?
4. Wir schränken die Betragsabbildung auf ${}K_{\leq 0}$ ein. Bestimme die Monotonieeigenschaft von

   $K_{\leq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert .$

Lösung

1. Die Abbildung ist nicht injektiv, da

   ${}\vert {-1}\vert =\vert {1}\vert =1\,$

   ist.

2. Die Abbildung ist nicht surjektiv, da negative Zahlen nicht als Betrag einer Zahl auftreten.
3. Alle Hintereinanderschaltungen stimmen mit der Betragsabbildung selbst überein, da sie einmal angewendet nur nichtnegative Zahlen ergibt und sie auf diesem Bereich identisch wirkt.
4. Im Bereich ${}K_{\leq 0}$ stimmt die Betragsabbildung mit der Negation überein und ist daher dort streng fallend.

Aufgabe (4 Punkte)

Im Sportunterricht wird ein Zirkeltraining mit den Stationen

Trampolin, Kletterwand, Schwebebalken, Basketballkorb, Laufband, Medizinball

durchgeführt. Bei einem Durchlauf soll die Kletterwand und der Schwebebalken unmittelbar hintereinander absolviert werden (die Reihenfolge ist aber egal), die beiden Ballstationen (Basketballkorb und Medizinball) sollen aber nicht unmittelbar hintereinander absolviert werden.

Wie viele Möglichkeiten (Reihenfolgen) gibt es für einen vollständigen Durchlauf, wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sein sollen?

Lösung

Wir betrachten zunächst die unmittelbar hintereinander zu absolvierenden Stationen Kletterwand und Schwebebalken als eine gemeinsame Station „Holz“. Damit gibt es ${}5$ Stationen. Es gibt ${}{\binom {5}{2}}=10$ Möglichkeiten, aus den ${}5$ Positionen ${}2$ Positionen auszusuchen, an denen der Basketballkorb bzw. der Medizinball absolviert wird. Darunter gibt es ${}4$ Möglichkeiten, bei denen beiden Ballstationen direkt hintereinander liegen. Somit gibt es ${}10-4=6$ erlaubte Auswahlen für die Positionen der beiden Ballstationen. Wenn diese festgelegt sind, so gibt es jeweils ${}2$ Möglichkeiten, welche der beiden Ballstationen an welcher Position durchgeführt wird, es gibt ${}3!=6$ Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge die drei anderen Stationen (also Trampolin, Laufband und Holz) abgearbeitet werden, und dann gibt es noch jeweils ${}2$ Möglichkeiten für die Reihenfolge innerhalb der Holzstation. Insgesamt gibt es also

${}6\cdot 6\cdot 2\cdot 2=144\,$

erlaubte Reihenfolgen.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den binomischen Lehrsatz für einen kommutativen Halbring ${}R$.

Lösung

Es seien ${}a,b\in R$. Wir führen Induktion nach ${}n$. Für ${}n=0$ steht einerseits ${}(a+b)^{0}=1$ und andererseits ${}a^{0}b^{0}=1$. Es sei die Aussage bereits für ${}n$ bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^{n}\\&=(a+b){\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=a\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)+b\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}.\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne

$1-10+100-1000+10000-100000+1000000.$

Lösung

Wir fassen die zu addierenden und die zu subtrahierenden Zahlen im Zehnersystem zusammen. Somit ist

$1010101-101010$

zu berechnen. Schriftliche Subtraktion ergibt

$909091.$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Euklid für ganze Zahlen.

Lösung

Wir setzen voraus, dass ${}a$ kein Vielfaches von ${}p$ ist (andernfalls sind wir fertig). Dann müssen wir zeigen, dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}p$ ist. Unter der gegebenen Voraussetzung sind ${}a$ und ${}p$ teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen ${}r,s$ mit

${}ra+sp=1\,$

Da ${}ab$ ein Vielfaches von ${}p$ ist, gibt es ein ${}t$ mit

${}ab=tp\,.$

Daher ist

${}b=b\cdot 1=b(ra+sp)=abr+bsp=tpr+bsp=p{\left(tr+bs\right)}\,.$

Also ist ${}b$ ein Vielfaches von ${}p$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob der Bruch ${}{\frac {3337}{2491}}$ gekürzt ist. Falls nicht, kürze.

Lösung

Wir führen die Division mit Rest durch, um den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner zu bestimmen. Es ist

${}3337=1\cdot 2491+846\,,$

${}2491=2\cdot 846+799\,,$

${}846=1\cdot 799+47\,,$

${}799=17\cdot 47\,.$

Das bedeutet, dass ${}47$ der größte gemeinsame Teiler ist und der Bruch nicht gekürzt ist. Die gekürzte Darstellung des Bruches erhält man, indem man Zähler und Nenner durch ${}47$ dividiert. Dies ergibt

${}{\frac {3337}{2491}}={\frac {71}{53}}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne

$0{,}00000029\cdot 0{,}00000000037.$

Das Ergebnis soll in einer entsprechenden Form angegeben werden.

Lösung

Es ist

${}0{,}00000029=29\cdot 10^{-8}\,$

und

${}0{,}00000000037=37\cdot 10^{-11}\,.$

Somit ist das Produkt

${}0{,}00000029\cdot 0{,}00000000037=29\cdot 10^{-8}\cdot 37\cdot 10^{-11}=29\cdot 37\cdot 10^{-19}=1073\cdot 10^{-19}\,.$

Die Kommadarstellung davon ist

$0{,}0000000000000001073.$

Aufgabe (8 (1+1+2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung ${}\varphi$, die einen im Zehnersystem gegebenen Dezimalbruch

${}z=\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{i}\,$

auf

${}\varphi (z)=\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{-i}\,$

abbildet. Bei ${}\varphi (z)$ bezieht sich also die Ziffer ${}a_{i}$ nicht mehr auf ${}10^{i}$, sondern auf ${}10^{-i}$.

1. Berechne ${}\varphi (514,73)$.
2. Welche Dezimalbrüche werden unter ${}\varphi$ auf sich selbst abgebildet?
3. Gilt

   ${}\varphi (z+w)=\varphi (z)+\varphi (w)\,?$

4. Zeige, dass die Beziehung

   ${}\varphi (10^{k}\cdot z)={\frac {1}{10^{k}}}\cdot \varphi (z)\,$

   für alle Dezimalbrüche ${}z$ und ganze Zahlen ${}k$ gilt.

5. Ist ${}\varphi$ bijektiv? Was ist gegebenenfalls die Umkehrabbildung?

Lösung

1. Es ist

   ${}\varphi (514,73)=374,15\,.$

2. Ein Dezimalbruch wird genau dann unter ${}\varphi$ auf sich selbst abgebildet, wenn für alle ${}i\geq 1$ die Bedingung ${}a_{i}=a_{-i}$ erfüllt ist.
3. Das gilt nicht. Betrachten wir

   ${}z=w=0,5\,.$

   Diese Zahl wird unter ${}\varphi$ auf ${}50$ abgebildet und daher ist einerseits

   ${}\varphi (z)+\varphi (w)=50+50=100\,.$

   Andererseits ist

   ${}\varphi (z+w)=\varphi (1)=1\neq 100\,.$

4. Sei

   ${}z=\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{i}\,.$

   Dann ist

   ${}{\begin{aligned}\varphi {\left(10^{k}\cdot z\right)}&=\varphi {\left(10^{k}\cdot {\left(\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{i}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{i+k}\right)}\\&=\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{-i-k}\\&=10^{-k}\cdot {\left(\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{-i}\right)}\\&={\frac {1}{10^{k}}}\cdot \varphi (z).\end{aligned}}$

5. Wenn man ${}\varphi$ hintereinander anwendet, so wird die Vertauschung rückgängig gemacht. Die Abbildung ist also bijektiv und stimmt mit ihrer Umkehrabbildung überein.

Aufgabe (2 Punkte)

1. Wie viele Minuten sind ein Fünftel einer Stunde?
2. Wie viel Prozent von einer Stunde sind ${}45$ Minuten?
3. Wie viele Minuten sind ${}90\%$ einer Stunde?
4. Wie viel Prozent von einer Stunde ist ein Tag?

Lösung

1. ${}{\frac {1}{5}}\cdot 60=12$, also ${}12$ Minuten.
2. ${}{\frac {45}{60}}={\frac {3}{4}}={\frac {75}{100}}$, also ${}75\%$.
3. ${}{\frac {90}{100}}\cdot 60=54$, also ${}54$ Minuten.
4. ${}2400\%$.

Aufgabe weiter

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall ${}[0,1]$ aus. Das Intervall wird in drei gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das dritte (Regel 1). Das entstehende Intervall teilen wir in fünf gleichlange Teilintervalle ein und davon nehmen wir das vierte (Regel 2). Jetzt wenden wir abwechselnd Regel 1 und Regel 2 an, immer bezogen auf das zuvor konstruierte Intervall. Dabei entsteht eine Folge von Intervallen ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$ (${}I_{0}$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird (also von ${}I_{2}$, nachdem einmal die Regel ${}1$ und einmal die Regel 2 angewendet wurde).
2. Wie kann man den Konstruktionsschritt, der durch die einmalige Hintereinanderausführung von Regel 1 und von Regel 2 gegeben ist, mit einer einzigen Regel ausdrücken?
3. Bestimme ein Intervall der Form ${}[{\frac {a}{100}},{\frac {a}{100}}+{\frac {1}{100}}]$ mit ${}a\in \mathbb {N}$, das ganz in ${}I_{2}$ enthalten ist.
4. Erstelle eine Formel, die die untere Intervallgrenze des Intervalls ${}I_{2k}$, ${}k\in \mathbb {N}$, ausdrückt.
5. Es gibt genau eine rationale Zahl ${}c$, die in jedem Intervall ${}I_{n}$ enthalten ist. Bestimme ${}c$ als Bruch.
6. Gibt es ein Ziffernsystem, in dem die rationale Zahl ${}c$ aus (5) eine Ziffernentwicklung mit Periodenlänge ${}1$ besitzt?

Lösung

1. Das im ersten Schritt konstruierte Intervall ist ${}[{\frac {2}{3}},1]$ (mit der Länge ${}{\frac {1}{3}}$). Dessen Unterteilung in fünf gleichlange Teile ist durch

   $[{\frac {2}{3}}+{\frac {i}{15}},{\frac {2}{3}}+{\frac {i+1}{15}}],\,i=0,1,2,3,4,$

   gegeben. Das vierte Teilintervall davon ist

   ${}[{\frac {2}{3}}+{\frac {3}{15}},{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{15}}]=[{\frac {10}{15}}+{\frac {3}{15}},{\frac {10}{15}}+{\frac {4}{15}}]=[{\frac {13}{15}},{\frac {14}{15}}]\,.$

2. Teile das Vorgängerintervall in ${}15$ gleichlange Teile und nehme davon das ${}14.$-te Teilintervall.
3. Bei der schriftlichen Division ${}13:15$ ergeben sich die Anfangsziffern ${}0,86$, bei der schriftlichen Division ${}14:15$ ergeben sich die Anfangsziffern ${}0,93$. Daher ist das Intervall ${}[0,87\,,\,0,88]$ in ${}I_{2}$ enthalten (also ${}a=87$).
4. Die Länge des Intervalls ${}I_{2k}$ ist ${}{\left({\frac {1}{15}}\right)}^{k}$, da ja in jedem Doppelschritt das Vorgängerintervall in ${}15$ Teile zerlegt wird und eins davon genommen wird. Es sei ${}a_{2k}$ die untere Intervallgrenze von ${}I_{2k}$. Dann besteht der rekursive Zusammenhang

   ${}a_{2(k+1)}=a_{2k}+13\cdot {\left({\frac {1}{15}}\right)}^{k+1}\,.$

   Somit ist

   ${}a_{2k}=13\cdot {\left({\frac {1}{15}}+{\left({\frac {1}{15}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {1}{15}}\right)}^{k}\right)}=13\cdot {\left(\sum _{i=1}^{k}{\left({\frac {1}{15}}\right)}^{i}\right)}\,.$

5. (und gleichzeitig (6)) Es handelt sich um ${}{\frac {13}{14}}$. Wenn man nämlich im ${}15$-er System die Division ${}13:14$ durchführt, so erhält man zuerst eine ${}0$. Die Division mit Rest zur Berechnung der nächsten Ziffer ergibt

   ${}15\cdot 13=13\cdot 14+13\,.$

   Die erste Nachkommaziffer ist also ${}13$ und der Rest ist ebenfalls ${}13$. Damit wiederholt sich in der schriftlichen Division alles und es ergibt sich diejenige Zahl, bei der in der Ziffernentwicklung zur Basis ${}15$ (die Vorkammaziffern ${}0$ sind und) an jeder Nachkommastelle die Ziffer für ${}13$ steht. Insbesondere ist die Periodenlänge gleich ${}1$. Nach (dem analogen Resultat zur Basis ${}15$ zu) Lemma 28.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) ist somit

   ${}a_{2k}=\sum _{i=1}^{k}13\cdot 15^{-i}\leq {\frac {13}{14}}<\sum _{i=1}^{k}13\cdot 15^{-i}+15^{-k}=a_{2k}+15^{-k}\,,$

   was die Grenzen des Intervalls ${}I_{2k}$ sind.

Aufgabe (3 Punkte)

In Beweisen findet man häufig die Formulierung „Wir nehmen (jetzt, also) an“. Welche Bedeutungen im Beweis kann diese Formulierung haben?

Lösung Annahme/Funktion im Beweis/Aufgabe/Lösung