Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/26/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	1	0	2	2	2	0	4	6	2	3	3	5	5	2	0	2	0	2	3	50

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung der Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Eine Relation auf einer Menge ${}M$.
3. Die Menge der ganzen Zahlen.
4. Ein gemeinsames Vielfaches zu natürlichen Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$.
5. Die Addition von rationalen Zahlen ${}x={\frac {a}{b}}$ und ${}y={\frac {c}{d}}$.
6. Eine wachsende Abbildung ${}f\colon K\rightarrow K$ auf einem angeordneten Körper ${}K$.

Lösung

1. Die Menge

   ${}L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$

   heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

2. Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times M$, also ${}R\subseteq M\times M$.
3. Die Menge der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N} _{+}$, der ${}0$ und der Menge ${}{\left\{-n\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$, die die negativen ganzen Zahlen heißen.
4. Die natürliche Zahl ${}b$ heißt ein gemeinsames Vielfaches der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}b$ ein Vielfaches von jedem ${}a_{i}$ ist, also von jedem ${}a_{i}$ geteilt wird.
5. Die Addition der rationalen Zahlen ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ ist durch

   ${}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}:={\frac {ad+bc}{bd}}\,$

   definiert.

6. Die Abbildung ${}f\colon K\rightarrow K$ heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in K$ mit ${}x\leq x'$ auch ${}f(x)\leq f(x')$ gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die erste binomische Formel für einen kommutativen Halbring.
2. Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
3. Der Satz über die Konvergenz einer Dezimalbruchfolge.

Lösung

1. In einem kommutativen Halbring ${}R$ gilt die erste binomische Formel, also die Beziehung

   ${}(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,.$

2. Es sei ${}d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl ${}n$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl ${}q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}r$, ${}0\leq r\leq d-1$, mit

   ${}n=qd+r\,.$

3. Es sei ${}x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$. Dann konvergiert die zugehörige Dezimalbruchfolge ${}(x_{n})$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}x$.

Aufgabe (1 Punkt)

In verschiedenen mathematischen Kontexten bedeutet das Symbol ${}\infty$ „unendlich“. Ist die Menge ${}\{\infty \}$ endlich oder unendlich?

Lösung

Die Menge ${}\{\infty \}$ ist endlich mit genau einem Element.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Finde drei Quadratzahlen

${}u^{2}<v^{2}<w^{2}\,$

derart, dass der Abstand von ${}u^{2}$ zu ${}v^{2}$ gleich dem Abstand von ${}v^{2}$ zu ${}w^{2}$ ist.

Lösung

Man kann ${}1^{2}=1$, ${}5^{2}=25$ und ${}7^{2}=49$ nehmen.

Aufgabe (2 Punkte)

Ersetze im Term ${}y^{3}-2y+4$ die Variable ${}y$ durch den Term ${}x^{2}-5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(x^{2}-5\right)}^{3}-2{\left(x^{2}-5\right)}+4&=x^{6}-15x^{4}+75x^{2}-125-2x^{2}+10+4\\&=x^{6}-15x^{4}+73x^{2}-111.\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

In der folgenden Argumentation wird durch Induktion bewiesen, dass alle Pferde die gleiche Farbe haben. „Es sei ${}A(n)$ die Aussage, dass je ${}n$ Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Induktionsanfang: Wenn nur ein Pferd da ist, so hat dieses eine bestimmte Farbe und die Aussage ist richtig. Für den Induktionsschritt sei vorausgesetzt, dass je ${}n$ Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Es seien jetzt ${}n+1$ Pferde gegeben. Wenn man eines herausnimmt, so weiß man nach der Induktionsvoraussetzung, dass die verbleibenden ${}n$ Pferde untereinander die gleiche Farbe haben. Nimmt man ein anderes Pferd heraus, so haben die jetzt verbleibenden Pferde wiederum untereinander die gleiche Farbe. Also haben all diese ${}n+1$ Pferde überhaupt die gleiche Farbe“. Analysiere diese Argumentation.

Lösung Pferde/Farbe/Induktion/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf ${}\mathbb {N}$.

Lösung Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Wir definieren die Folge (der sogenannten Bernoulli-Zahlen) ${}B_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, durch ${}B_{0}=1$ und für ${}n\geq 1$ durch die rekursive Bedingung

${}\sum _{j=0}^{n}{\binom {n+1}{j}}B_{j}=0\,.$

1. Berechne ${}B_{1}$.
2. Berechne ${}B_{2}$.
3. Berechne ${}B_{3}$.
4. Berechne ${}B_{4}$.
5. Zeige, dass alle ${}B_{n}$ rationale Zahlen sind.

Lösung

1. Für ${}n=1$ ist die rekursive Bedingung gleich

   ${}{\begin{aligned}0&=\sum _{j=0}^{1}{\binom {2}{j}}B_{j}\\&=B_{0}+2B_{1}\\&=1+2B_{1},\end{aligned}}$

   also ist ${}B_{1}=-{\frac {1}{2}}$.
2. Für ${}n=2$ ist die rekursive Bedingung gleich

   ${}{\begin{aligned}0&=\sum _{j=0}^{2}{\binom {3}{j}}B_{j}\\&=B_{0}+3B_{1}+3B_{2}\\&=1-{\frac {3}{2}}+3B_{2}\\&=-{\frac {1}{2}}+3B_{2},\end{aligned}}$

   also ist ${}B_{2}={\frac {1}{6}}$.
3. Für ${}n=3$ ist die rekursive Bedingung gleich

   ${}{\begin{aligned}0&=\sum _{j=0}^{3}{\binom {4}{j}}B_{j}\\&=B_{0}+4B_{1}+6B_{2}+4B_{3}\\&=1-2+1+4B_{3}\\&=4B_{3},\end{aligned}}$

   also ist ${}B_{3}=0$.
4. Für ${}n=4$ ist die rekursive Bedingung gleich

   ${}{\begin{aligned}0&=\sum _{j=0}^{4}{\binom {5}{j}}B_{j}\\&=B_{0}+5B_{1}+10B_{2}+10B_{3}+5B_{4}\\&=1-{\frac {5}{2}}+{\frac {10}{6}}+5B_{4}\\&={\frac {6-15+10}{6}}+5B_{4}\\&={\frac {1}{6}}+5B_{4},\end{aligned}}$

   also ist ${}B_{4}=-{\frac {1}{30}}$.
5. Wir zeigen die Aussage durch Induktion nach ${}n$, wobei der Induktionsanfang bereits erledigt ist. Zum Beweis des Induktionsschrittes nehmen wir an, das die Rationalität von ${}B_{0},B_{1},\ldots ,B_{n-1}$ bereits bekannt sei. Die Rekursionsbedingung

   ${}\sum _{j=0}^{n}{\binom {n+1}{j}}B_{j}=0\,$

   schreiben wir als

   ${}{\binom {n+1}{n}}B_{n}=-{\left(\sum _{j=0}^{n-1}{\binom {n+1}{j}}B_{j}\right)}\,$

   bzw. als

   ${}B_{n}=-{\frac {\sum _{j=0}^{n-1}{\binom {n+1}{j}}B_{j}}{\binom {n+1}{n}}}\,.$

   Da die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind, steht hier wieder eine rationale Zahl.

Aufgabe (2 Punkte)

Heute ist Freitag. Welcher Wochentag ist in ${}1000$ Tagen?

Lösung

Es ist

${}1000=700+280+14+6\,,$

der Rest bei der Division von ${}1000$ durch ${}7$ ist also ${}6$. Daher ist in ${}1000$ Tagen Donnerstag.

Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto (a+b,a-b).$

1. Ist diese Abbildung injektiv?
2. Ist diese Abbildung surjektiv?

Lösung

1. Wir behaupten, dass die Abbildung injektiv ist. Seien ${}(a,b),(a',b')\in \mathbb {Z} ^{2}$ gegeben, die auf das gleiche Element abgebildet werden, also

   ${}(a+b,a-b)=(a'+b',a'-b')\,,$

   was

   ${}a+b=a'+b'\,$

   und

   ${}a-b=a'-b'\,$

   bedeutet. Durch Addition der beiden Gleichungen ergibt sich

   ${}2a=2a'\,$

   und daraus durch Kürzen

   ${}a=a'\,.$

   Aus der ersten Gleichung folgt dann auch

   ${}b=b'\,.$

2. Die Abbildung ist nicht surjektiv, da das Element ${}(1,0)$ nicht getroffen wird. Aus

   ${}(a+b,a-b)=(1,0)\,$

   folgt direkt

   ${}a=b\,$

   und daraus

   ${}2a=1\,,$

   was in ${}\mathbb {Z}$ nicht lösbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Differenz und endliche Mengen.

Lösung

Es ist

${}M=T\uplus (M\setminus T)\,$

eine disjunkte Zerlegung. Daher gilt nach Satz 8.14 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))

${}m={\#\left(M\right)}={\#\left(T\right)}+{\#\left(M\setminus T\right)}=k+{\#\left(M\setminus T\right)}\,.$

Somit erfüllt ${}{\#\left(M\setminus T\right)}$ die charakteristische Eigenschaft der Differenz und ist daher gleich ${}m-k$.

Aufgabe (5 (0.5+0.5+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten auf ${}\mathbb {Z}$ die Verknüpfung

$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto a*b:=10a+b.$

1. Was bedeutet die Verknüpfung für einstellige Ziffern?
2. Ist die Verknüpfung kommutativ?
3. Ist die Verknüpfung assoziativ?
4. Gelten die Distributivgesetze

   ${}(a+b)*c=a*c+b*c\,$

   und

   ${}c*(a+b)=c*a+c*b\,?$

5. Es bezeichne nun zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ das Symbol ${}1^{[n]}$ diejenige Zahl im Dezimalsystem, die aus ${}n$ Einsen besteht. Zeige

   ${}1^{[n]}*1=1^{[n+1]}\,.$

Lösung

1. Dem Paar ${}(a,b)$ zu einstelligen Zahlen wird die Zahl ${}ab$ im Dezimalsystem zugeordnet.
2. Die Verknüpfung ist nicht kommutativ, da ${}1*2=12$ und ${}2*1=21$ ist.
3. Es ist

   ${}(a*b)*c=(10a+b)*c=10(10a+b)+c=100a+10b+c\,$

   und

   ${}a*(b*c)=a*(10b+c)=10a+(10b+c)=10a+10b+c\,,$

   die Verknüpfung ist also nicht assoziativ.

4. Es ist

   ${}(a+b)*c=10(a+b)+c=10a+10b+c\,$

   und

   ${}a*c+b*c=10a+c+10b+c=10a+10b+2c\,$

   sowie

   ${}c*(a+b)=10c+(a+b)=10c+a+b\,$

   und

   ${}c*a+c*b=10c+a+10c+b=20c+a+b\,,$

   die Distributivgesetze gelten also beide nicht.

5. Es ist

   ${}{\begin{aligned}1^{[n]}*1&={\left(\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}\right)}*1\\&=10\cdot {\left(\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}\right)}+1\\&=\sum _{i=0}^{n-1}10^{i+1}+1\\&=\sum _{j=0}^{n}10^{j}\\&=1^{[n+1]}.\end{aligned}}$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ genau die Teilmengen der Form

${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl ${}d$ sind.

Lösung

Eine Teilmenge der Form ${}\mathbb {Z} d$ ist aufgrund der Distributivgesetze eine Untergruppe. Es sei umgekehrt ${}H\subseteq \mathbb {Z}$ eine Untergruppe. Bei ${}H=0$ kann man ${}d=0$ nehmen, so dass wir voraussetzen dürfen, dass ${}H$ neben ${}0$ noch mindestens ein weiteres Element ${}x$ enthält. Wenn ${}x$ negativ ist, so muss die Untergruppe ${}H$ auch das Negative davon, also ${}-x$ enthalten, welches positiv ist. D.h. ${}H$ enthält auch positive Zahlen. Es sei nun ${}d$ die kleinste positive Zahl aus ${}H$. Wir behaupten ${}H=\mathbb {Z} d$. Dabei ist die Inklusion ${}\mathbb {Z} d\subseteq H$ klar, da mit ${}d$ alle (positiven und negativen) Vielfachen von ${}d$ dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei ${}h\in H$ beliebig. Nach der Division mit Rest gilt

$h=qd+r{\text{ mit }}0\leq r<d.$

Wegen $h\in H$ und $qd\in H$ ist auch ${}r=h-qd\in H$. Nach der Wahl von ${}d$ muss wegen ${}r<d$ gelten: ${}r=0$ Dies bedeutet ${}h=qd$ und damit ${}h\in \mathbb {Z} d$, also ${}H\subseteq \mathbb {Z} d$.

Aufgabe (2 Punkte)

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge ${}21,7$ Meter beträgt. Wenn man alles Gold von Deutschland zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge ${}8,6$ Meter beträgt. Wie viel Prozent des weltweiten Goldes besitzt Deutschland?

Lösung

Der Anteil am weltweiten Gold ist

${}\left({\frac {86}{217}}\right)^{3}=0,396^{3}=0,062\,,$

also etwa ${}6,2\%$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Prof. Knopfloch und Dr. Eisenbeis basteln einen Adventskalender mit ${}24$ Türen für ihren Neffen Willem, der sich für Hunde und für Primzahlen interessiert. Dr. Eisenbeis legt in die Fächer zu den geradzahligen Tagen jeweils ein lustiges Hundebild. Prof. Knopfloch legt in die Fächer zu den ungeradzahligen Tagen jeweils eine bunt gemalte Primzahl, und zwar in aufsteigender natürlicher Reihenfolge.

1. Welche Primzahl befindet sich hinter dem ${}23$. Türchen?
2. Hinter welchem Türchen befindet sich die ${}23$?
3. Für welche Türchen stimmt die Nummer der Türe mit dem Inhalt überein?
4. Ist die Summe aller verwendeten Primzahlen gerade oder ungerade?

Lösung

1. Hinter dem 23. Türchen befindet sich die zwölfte Primzahl, das ist die ${}37$.
2. Die ${}23$ befindet sich hinter dem 17. Türchen.
3. Für ${}3,5,7$.
4. Es werden zwölf Primzahlen verwendet, davon ist eine gerade, daher ist ihre Summe ungerade.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

In Winnetou II lesen wir: „Deshalb werden wir nicht alle fünf zugleich schlafen, sondern einer muss wachen, und die Wache wird von Stunde zu Stunde abgelöst. [...] Das gibt fünf Stunden Schlaf für jeden.“

Was fällt auf? Wie lange muss der Schlafzeitraum der fünf Leute sein, wenn stets einer davon wacht und jeder auf fünf Stunden Schlafenszeit kommt? Wie lange muss dann jeder Wache schieben?

Lösung

Karl May hat sich verrechnet. Wenn der gesamte Schlafzeitraum fünf Stunden ist und stets einer Wache hält, kommt jeder nur auf vier Stunden Schlaf. Bei dem angegebenen Modus besitzt das Verhältnis von Schlafzeitraum ${}x$ zur wirklichen Schlafenszeit ${}y$ die Form

${}{\frac {4}{5}}x=y\,.$

Wenn jeder auf fünf Stunden Schlafenszeit kommt, muss man den Gesamtzeitraum als

${}{\frac {5}{4}}5={\frac {25}{4}}=6+{\frac {1}{4}}\,$

ansetzen. Die Schlafzeitraum ist also ${}6$ Stunden und eine Viertelstunde, jeder muss eine und eine Viertel Stunde Wache schieben.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe eine typische Fehlvorstellung, die man zu der Dezimalentwicklung von natürlichen (oder rationalen) Zahlen haben kann. Wie kann man diese erkennen und gegebenenfalls ausräumen?

Lösung Zehnersystem/Fehlvorstellung/Aufgabe/Lösung