Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/19/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	5	2	2	3	1	5	6	10	4	7	4	5	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Erzeugendensystem des ${}K^{n}$.
2. Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
3. Ein Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   zwischen Ringen ${}R$ und ${}S$.

4. Die Konvergenz einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ gegen ${}x\in K$.
5. Die Zahl ${}\pi$.
6. Der Produktraum der diskreten Wahrscheinlichkeitsräume ${}(M_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},\mu _{n})$.

Lösung

1. Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$ heißen ein Erzeugendensystem des ${}K^{m}$, wenn man jeden Vektor ${}w\in K^{m}$ als eine Linearkombination mit den Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann.
2. Eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus ${}T$ aus dieser Klasse gibt.
3. Die Abbildung

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

   1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
   2. ${}\varphi (1)=1$
   3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
4. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

5. Unter der Zahl ${}\pi$ versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des Einheitskreises.
6. Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten auf den ${}M_{1},\ldots ,M_{n}$. Dann nennt man die Produktmenge ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ zusammen mit der durch

   ${}f(x_{1},\ldots ,x_{n}):=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n})\,$

   gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichte den Produktraum der Wahrscheinlichkeitsräume.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung ${}f\colon M\rightarrow N$.
2. Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
3. Der Satz über die Homomorphismuseigenschaft der reellen Exponentialfunktionen.

Lösung

1. Durch die Festlegung

   ${}x\sim y\,,$

   wenn

   ${}f(x)=f(y)\,,$

   wird eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert.
2. Es sei ${}n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl ${}n$. Es sei ${}k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ${}\alpha _{i}$ ein Vielfaches von ${}k$ sind. Dann gibt es keine rationale Zahl ${}q$ mit der Eigenschaft

   ${}n=q^{k}\,,$

   d.h. innerhalb der rationalen Zahlen besitzt ${}n$ keine ${}k$-te Wurzel.
3. Es sei ${}b\neq 1$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion

   $f\colon (\mathbb {R} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1),\,x\longmapsto b^{x},$

   ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.

Aufgabe (5 (3+1+1) Punkte)

In der großen Pause fährt das Süßwarenmobil von Raul Zucchero auf den Schulhof. Gabi kauft einen Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und drei saure Zungen und zahlt dafür ${}1,30$ €. Lucy kauft zwei Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür ${}1,60$ €. Veronika kauft drei Packungen Brausepulver und vier saure Zungen und zahlt dafür einen Euro.

1. Kann man daraus die Preise rekonstruieren?
2. Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise volle positive Centbeträge sind?
3. Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise positive Vielfache von Zehn-Cent-Beträgen sind?

Lösung

1. Es sei ${}x$ der Preis für den Schokoriegel, ${}y$ der Preis für die Packung Brausepulver, ${}z$ der Preis für eine saure Zunge. Die drei Einkäufe führen zu den drei Gleichungen

   ${}x+2y+3z=1,3\,,$

   ${}2x+y+2z=1,6\,,$

   ${}3y+4z=1\,.$

   Die Gleichung ${}2I-II$ ergibt

   ${}3y+4z=1\,.$

   Dies stimmt mit der dritten Gleichung überein, daher ist das Gleichungssystem äquivalent zum System

   ${}x+2y+3z=1,3\,,$

   ${}3y+4z=1\,$

   mit zwei Gleichungen. Dabei führt jede Vorgabe von ${}z$ zu einer Lösung und die Preise sind nicht ermittelbar.

2. Es gibt die Lösungen (in Cent) ${}(60,20,10)$ und ${}(61,24,7)$, die Lösungen sind also auch unter der zusätzlichen Bedingung nicht eindeutig.
3. Bei ${}z=10$ haben wir die Lösung ${}(60,20,10)$. Bei ${}z=20$ ist

   ${}y=20/3\,,$

   also kein Vielfaches der ${}10$. Bei ${}z\geq 30$ ist

   ${}4z\geq 120>100\,$

   und die zweite Gleichung kann nicht unter der gegebenen Nebenbedingung erfüllt werden. Es gibt also nur eine Lösung.

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}6&0&-1&-3\\7&3&0&-7\\6&5&-3&-2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&4&-2\\2&-1&7\\2&4&8\\1&0&1\end{pmatrix}}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{pmatrix}6&0&-1&-3\\7&3&0&-7\\6&5&-3&-2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&4&-2\\2&-1&7\\2&4&8\\1&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&20&-23\\-1&25&0\\2&7&-3\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Wir nennen zwei Flüsse in Europa äquivalent, wenn sie letztlich in das gleiche Meer entwässern, wobei wir die Einteilungen der Karte übernehmen.

1. Wie viele Äquialenzklassen gibt es?
2. Ist der Rhein zur Donau äquivalent?
3. Ist die Hase zur Themse äquivalent?
4. Man gebe zwei Repräsentanten für die Äquivalenzklasse Ostsee an.

Lösung

1. Es gibt ${}8$ Äquivalenzklassen gemäß der Karte: Atlantik, Nordee, Ostsee, Polarmeer, Mittelmeer, Adria, Schwarzes Meer, Kaspisches Meer.
2. Donau und Rhein sind nicht äquivalent, da die Donau in das Schwarze Meer und der Rhein in die Nordsee fließt.
3. Themse und Hase sind äquivalent, da sie beide (die Hase über die Ems) in die Nordsee fließen.
4. Oder und Weichsel sind Repräsentanten für Flüsse, die in die Ostsee fließen.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ideal in ${}R$ ist.

Lösung

Es sei

${}I:=\varphi ^{-1}(0)\,.$

Wegen ${}\varphi (0)=0$. ist ${}0\in I$. Es seien ${}a,b\in I$. Das bedeutet ${}\varphi (a)=0$ und ${}\varphi (b)=0$. Dann ist

${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,$

und daher ${}a+b\in I$.

Es sei nun ${}a\in I$ und ${}r\in R$ beliebig. Dann ist

${}\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,$

also ist ${}ra\in I$.

Aufgabe (1 Punkt)

Negiere die Aussage, dass eine Folge ${}x_{n}$ in einem angeordneten Körper gegen ${}x$ konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.

Lösung

Es gibt ein ${}\epsilon >0$ mit der Eigenschaft, dass es für alle ${}m\in \mathbb {N}$ ein

${}n\geq m\,$

derart gibt, dass

${}\vert {x_{n}-x}\vert >\epsilon \,$

ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$ und sei ${}a\in K$ ein Element mit ${}0\leq a<1$. Es gebe ein ${}N$ derart, dass

${}\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\,$

gelte für alle ${}n\geq N$. Zeige, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist.

Lösung

Die Eigenschaft, eine Cauchy-Folge zu sein, ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder der Folge abändert. Wir können also annehmen, dass

${}\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\,$

für alle ${}n$ gilt. Für ${}m\geq n$ gilt

${}{\begin{aligned}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert &=\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert +\vert {x_{n+2}-x_{n+1}}\vert +\cdots +\vert {x_{m-1}-x_{m-2}}\vert +\vert {x_{m}-x_{m-1}}\vert \\&\leq a^{n}+a^{n+1}+\cdots +a^{m-2}+a^{m-1}\\&=a^{n}{\left(1+a+\cdots +a^{m-n-2}+a^{m-n-1}\right)}.\end{aligned}}$

Der rechte Faktor ist dabei (endliche geometrische Reihe) gleich ${}{\frac {1-a^{m-n}}{1-a}}$. Wegen ${}0\leq a<1$ ist der Nenner wohldefiniert und ${}a^{m-n}$ ist ${}\geq 0$, also kann man diesen Faktor nach oben durch ${}{\frac {1}{1-a}}$ abschätzen. Insgesamt haben wir also

${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}\,.$

Nach Aufgabe 28.31 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) ist ${}a^{n}$ eine Nullfolge und dies gilt auch für ${}a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}$, da man ja mit einer festen Zahl multipliziert. Zum Nachweis, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, sei ein ${}\epsilon >0$ gegeben. Dann gibt es ein ${}n_{0}$ mit ${}a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}\leq \epsilon$ für ${}n\geq n_{0}$ und somit gilt für alle ${}m\geq n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}\leq \epsilon \,.$

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Wir betrachten eine Rekursionsvorschrift, die zu einen Zahlendreieck (analog zum Pascalschen Dreieck) führt. In der ersten Zeile steht zentral die ${}256$, links und rechts davon stehen unendlich viele ${}1$ (die nicht aufgeführt werden müssen). Die jeweils nächste Zeile entsteht, indem man von zwei benachbarten Zahlen der Vorgängerzeile das geometrische Mittel nimmt und das Ergebnis darunter in der neuen Zeile platziert.

1. Bestimme die ersten Zeilen dieses Zahlendreiecks, bis sämtliche Einträge kleiner als ${}6$ sind.
2. Welche Eigenschaft gilt in jeder Zeile? Warum?

Lösung

1. Es ergibt sich das folgende Schema.

   ${\begin{matrix}&&&&&256&&&&&\\&&&&16&&16&&&&\\&&&4&&16&&4&&\\&&2&&8&&8&&2&&\\&{\sqrt {2}}&&4&&8&&4&&{\sqrt {2}}&\\2^{1/4}&&2\cdot 2^{1/4}&&4{\sqrt {2}}&&4{\sqrt {2}}&&2\cdot 2^{1/4}&&2^{1/4}\end{matrix}}$

   Wegen

   ${}(4{\sqrt {2}})^{2}=32\leq 6^{2}\,$

   sind wir fertig.

2. In jeder Zeile ist das Produkt über alle Zahlen gleich ${}256$. Dies beweist man durch Induktion über den Zeilenindex. In der Startzeile ist das richtig (die nicht hingeschriebenen Zahlen sind ${}1$). Es sei also das Produkt der Zahlen in einer Zeile gleich ${}256$. Jede Zahl dieser Zeile geht zweifach in die folgende Zeile ein, einmal als Beitrag zum geometrischen Mittel mit der linken Zahl und einmal als Beitrag zum geometrischen Mittel mit der rechten Zahl. Dabei geht wegen ${}{\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}$ jeweils die Quadratwurzel ein. Das Gesamtprodukt bleibt dabei erhalten.

Aufgabe (10 (1+1+5+2+1) Punkte)

Es sei ${}M$ die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge ${}0,1$ oder ${}3$ besitzt (Periodenlänge ${}0$ bedeutet Dezimalbruch).

1. Gehört ${}{\frac {1}{11}}$ zu ${}M$?
2. Gehört ${}{\frac {1}{37}}$ zu ${}M$?
3. Wie sieht man einem gekürzten Bruch ${}a/b$ an, ob er zu ${}M$ gehört oder nicht?
4. Ist ${}M$ mit der Addition eine Untergruppe von ${}\mathbb {R}$?
5. Ist ${}M$ mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von ${}\mathbb {R}$?

Lösung

1. Es ist

   ${}{\frac {1}{11}}=0,{\overline {09}}\,,$

   die Periodenlänge ist also ${}2$ und somit gehört ${}{\frac {1}{11}}$ nicht zu ${}M$.

2. Es ist

   ${}{\frac {1}{37}}=0,{\overline {027}}\,,$

   die Periodenlänge ist also ${}3$ und somit gehört ${}{\frac {1}{37}}$ zu ${}M$.

3. Ein gekürzter Bruch ${}a/b$ gehört genau dann zu ${}M$, wenn ${}b$ die Primfaktorzerlegung

   ${}b=2^{i}5^{j}3^{k}37^{\ell }\,$

   mit ${}k\leq 3$ und ${}\ell \leq 1$ besitzt. Es sei dazu ${}z\in M$. Wenn ${}x$ die Periodenlänge ${}0$ besitzt, so liegt ein Dezimalbruch vor und ${}x$ erfüllt die angegebene Bruchbeschreibung. Wenn ${}x$ die Periodenlänge ${}3$ besitzt, was den Fall miteinschließt, dass minimale Periodenlänge ${}1$ vorliegt, so liegt eine Dezimalentwicklung der Form

   ${}{\begin{aligned}x&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}{\overline {vwz}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+0,\underbrace {0\ldots 0} _{n{\text{ Nullen}}}{\overline {vwz}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+vwz\cdot 0,0\ldots 0{\overline {001}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+vwz\cdot 10^{n}\cdot 0,{\overline {001}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+vwz\cdot 10^{n}\cdot {\frac {1}{909}}\end{aligned}}$

   vor. Dieser Bruch kann also mit einer Zehnerpotenz mal ${}999=27\cdot 37=3^{3}\cdot 37$ im Nenner geschrieben werden. Das Element ${}x$ erfüllt also die angegebene Bruchbeschreibung.

   Es sei umgekehrt ein Bruch der Form

   ${\frac {a}{10^{i}}}\cdot {\frac {1}{3^{k}\cdot 37^{\ell }}}$

   mit ${}k\leq 3$ und ${}\ell \leq 1$ gegeben, wobei in ${}a$ die Primfaktoren ${}3$ und ${}37$ nicht mehr vorkommen. Der Dezimalbruch links ändert nichts an der Periodenlänge, und die Brüche

   ${\frac {1}{3}},\,{\frac {1}{9}},\,{\frac {1}{27}},\,{\frac {1}{37}},\,{\frac {1}{111}},\,{\frac {1}{333}},\,{\frac {1}{999}}$

   besitzen die Periodenlänge ${}1$ oder ${}3$.

4. Die Null (Periodenlänge null) gehört zu ${}M$ und das Negative zu einer Zahl besitzt die gleiche Periodenlänge. Zwei Elemente aus ${}M$ kann man nach Teil (3) als (nicht unbedingt gekürzt) ${}x={\frac {c}{10^{i}\cdot 27\cdot 37}}$ und ${}y={\frac {d}{10^{j}\cdot 27\cdot 37}}$ schreiben. Durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz können wir ${}i=j$ annehmen. Daher ist

   ${}x+y={\frac {c}{10^{i}\cdot 27\cdot 37}}+{\frac {d}{10^{i}\cdot 27\cdot 37}}={\frac {c+d}{10^{i}\cdot 27\cdot 37}}\,$

   und dies gehört wieder zu ${}M$. Somit handelt es sich um eine Untergruppe von ${}\mathbb {R}$.

5. Es liegt kein Unterring vor, da ${}{\frac {1}{9}}$ und ${}{\frac {1}{9}}$ beide zu ${}M$ gehören, ihr Produkt, also ${}{\frac {1}{81}}$, hat aber nicht die angegebene Bruchdarstellung und gehört nicht zu ${}M$. (${}{\frac {1}{81}}=0,{\overline {012345679}}$ besitzt die Periodenlänge ${}9$).

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ besteht.

Lösung

Es sei ${}x_{n}\in I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem ${}\epsilon >0$ sei ${}n_{0}$ derart, dass

${}b_{n_{0}}-a_{n_{0}}\leq \epsilon \,.$

Für ${}m\geq n\geq n_{0}$ ist dann

${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq b_{n}-a_{n}\leq \epsilon \,,$

da ja ${}x_{m},x_{n}\in I_{n}$ ist. Es sei ${}x$ der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre ${}x\notin I_{m}$ für ein ${}m$, so wäre

${}x<a_{m}\,$

(oder $x>b_{m}$), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen ${}x$ würden dann auch die Folgenglieder für ${}n$ hinreichend groß echt unterhalb von ${}a_{m}$ und damit von ${}a_{n}$ liegen, im Widerspruch zu ${}x_{n}\in I_{n}$. Also ist ${}x\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$. Würden zwei Zahlen ${}x<y$ zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre

${}y-x\leq b_{n}-a_{n}\,$

für alle ${}n$ im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen ${}0$ konvergieren.

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

Lösung

Es bezeichne (1) die Stetigkeit von ${}f$ im Punkt ${}x$ und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen ${}x$ konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}f(x)$ konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.

Es sei (1) erfüllt und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R}$, die gegen ${}x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass

${}\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(x)\,$

ist. Dazu sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein ${}\delta >0$ mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ gibt es eine natürliche Zahl ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}d(x_{n},x)\leq \delta \,$

gilt. Nach der Wahl von ${}\delta$ ist dann

$d(f(x_{n}),f(x))\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0},$

sodass die Bildfolge gegen ${}f(x)$ konvergiert.
Es sei (2) erfüllt.  Wir nehmen an, dass ${}f$ nicht stetig ist. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es für alle ${}\delta >0$ Elemente ${}z\in \mathbb {R}$ gibt, deren Abstand zu ${}x$ maximal gleich ${}\delta$ ist, deren Wert ${}f(z)$ unter der Abbildung aber zu ${}f(x)$ einen Abstand besitzt, der größer als ${}\epsilon$ ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche ${}\delta =1/n$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. D.h. für jede natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein ${}x_{n}\in \mathbb {R}$ mit

$d(x_{n},x)\leq {\frac {1}{n}}{\text{ und mit }}d(f(x_{n}),f(x))>\epsilon .$

Diese so konstruierte Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen ${}x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen ${}f(x)$, da der Abstand der Bildfolgenglieder zu ${}f(x)$ zumindest ${}\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

1. Skizziere die Graphen der Funktionen

   $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x-1,$

   und

   $g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},$

2. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen.

Lösung

1. ${}\,$
2. Die Schnittbedingung führt auf

   ${}{\frac {1}{x}}=x-1\,$

   bzw. auf

   ${}1=x^{2}-x\,.$

   Quadratisches Ergänzen führt auf

   ${}1={\left(x-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}\,,$

   also

   ${}{\left(x-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}={\frac {5}{4}}\,.$

   Somit ist

   ${}x={\frac {\sqrt {5}}{2}}+{\frac {1}{2}}\,$

   die ${}x$-Koordinate des einzigen Schnittpunktes (die negative Wurzel führt zu einem Punkt außerhalb des Definitionsbereiches). Der einzige Schnittpunkt ist

   $\left({\frac {\sqrt {5}}{2}}+{\frac {1}{2}},\,{\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right).$

Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Gabi Hochster möchte heute abend mit einem Jungen ihrer Klasse ins Kino. Erfahrungsgemäß sagt ein Junge, den sie fragt, mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{3}}$ zu und mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {2}{3}}$ ab. Einerseits möchte sie eine Begleitung haben, andererseits möchte sie auch ungern bei vielen selbst absagen, falls zu viele zusagen. Deshalb fragt sie ${}5$ Jungs.

1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass alle ${}5$ absagen (als Bruch und als Prozentangabe).
2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer zusagt.
3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens einem Jungen absagen muss.

Lösung

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle ${}5$ absagen, beträgt

   ${}{\left({\frac {2}{3}}\right)}^{5}={\frac {32}{243}}\,.$

   In Prozent sind das ${}13,17\%$.

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer zusagt, beträgt

   ${}5{\left({\frac {1}{3}}\right)}{\left({\frac {2}{3}}\right)}^{4}={\frac {80}{243}}\,.$

3. Sie muss genau dann mindestens einmal absagen, wenn zumindest zwei Jungs zusagen. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Jungs zusagen, ist komplementär zu dem Ereignis, dass keiner oder genau einer zusagt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist

   ${}{\frac {32}{243}}+{\frac {80}{243}}={\frac {112}{243}}\,,$

   die Wahrscheinlichkeit, dass sie also mindestens einmal absagen muss, ist ${}{\frac {131}{243}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}B\subseteq M$ eine Teilmenge eines endlichen Wahrscheinlichkeitsraumes ${}M$ mit positiver Wahrscheinlichkeit. Es sei ${}E$ ein weiteres Ereignis und es gelte

${}P(E{|}B)\geq P(E)\,.$

Zeige, dass dann

${}P(E{|}M\setminus B)\leq P(E)\,$

gilt.

Lösung

Die Voraussetzung bedeutet

${}P(E{|}B)={\frac {P(E\cap B)}{P(B)}}\geq P(E)\,$

bzw.

${}P(E\cap B)\geq P(E)\cdot P(B)\,.$

Wir multiplizieren diese Abschätzung mit ${}-1$ und erhalten

${}-P(E\cap B)\leq -P(E)\cdot P(B)\,.$

Durch Addition mit ${}P(E)$ ergibt sich

${}P(E)-P(E\cap B)\leq P(E)-P(E)\cdot P(B)=P(E)(1-P(B))\,.$

Auf der rechten Seite ist

${}1-P(B)=P(M\setminus B)\,.$

Wegen ${}E=E\cap B\uplus E\cap (M\setminus B)$ ist

${}P(E)=P(E\cap B)+P(E\cap (M\setminus B))\,,$

auf der rechten Seite steht also ${}P(E\cap (M\setminus B))$. Deshalb liegt die Abschätzung

${}P(E\cap (M\setminus B))\leq P(E)\cdot P(M\setminus B)\,$

vor. Dies bedeutet

${}P(E{|}M\setminus B)\leq {\frac {P(E\cap (M\setminus B))}{P(M\setminus B)}}=P(E)\,.$