Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 38

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Wir betrachten die Relation auf der Menge der quadratischen ${}n\times n$-Matrizen, bei der Matrizen ${}M$ und ${}N$ als äquivalent angesehen werden, wenn es Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ mit ${}M=E_{k}\circ \cdots \circ E_{1}\circ N$ gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}p$ und ${}q$ zwei nichtäquivalente Aussagen. Welche der folgenden zusammengesetzten Aussagen sind zueinander äquivalent, welche nicht?

$p,\,q,\,p\wedge q,\,p\vee q,\,p\rightarrow q,\,p\rightarrow (q\rightarrow p),\,\neg p\vee q,\,p\vee \neg p.$

Aufgabe

Betrachte die zweielementige Menge ${}M=\{a,b\}$.

1. Bestimme alle Relationen auf ${}M$.
2. Welche dieser Relationen sind symmetrisch, reflexiv, transitiv?
3. Bei welchen Relationen handelt es sich um Äquivalenzrelationen?

Aufgabe *

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und sei ${}f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

${}x\sim y\,,$

wenn

${}f(x)=f(y)\,,$

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert wird.

Aufgabe

Zeige, dass die folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf ${}\mathbb {Z}$ ist:

$x\sim y,{\text{ falls }}5{\text{ teilt }}x-y.$

Welche Zahlen sind bei dieser Relation äquivalent zueinander?

Aufgabe

Wir betrachten auf dem weißen Teil des angegebenen Labyrinths die Äquivalenzrelation, die dadurch festgelegt ist, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn man durch eine stetige Bewegung (also ohne Sprünge) von einem Punkt zum anderen Punkt gelangen kann. Zeige, dass ein Punkt außerhalb des äußeren Kreises und ein Punkt des inneren Kreises zueinander äquivalent sind.

Aufgabe

Wir betrachten die Produktmenge ${}M=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$. Wir fixieren wie in Beispiel 38.14 die Sprünge

$\pm (2,0)\,\,{\text{ und }}\,\,\pm (3,3),$

und sagen, dass zwei Punkte ${}P=(a,b),\,Q=(c,d)\in M$ äquivalent sind, wenn man ausgehend von ${}P$ den Punkt ${}Q$ mit einer Folge von diesen Sprüngen aus erreichen kann.

1. Zeige, dass die Punkte ${}P=(4,-3)$ und ${}P=(3,6)$ zueinander äquivalent sind.
2. Zeige, dass die Punkte ${}P=(4,-3)$ und ${}P=(3,7)$ nicht zueinander äquivalent sind.

Aufgabe

Die Äquatorflöhe leben auf den vollen Metern eines ${}40000$ Kilometer langen kreisrunden Bandes. Sie verfügen nur über einen Sprung, der sie sieben Meter nach vorne oder nach hinten bringt (und der beliebig oft wiederholt werden kann). Können sich alle Flöhe begegnen?

Aufgabe

Wir betrachten die rationalen Zahlen

${\frac {7}{3}},\,{\frac {5}{3}},\,3,\,{\frac {5}{2}},\,{\frac {4}{3}},\,4,\,{\frac {3}{4}},\,{\frac {1}{3}},\,{\frac {3}{2}},\,{\frac {5}{4}},\,-{\frac {1}{3}},\,{\frac {4}{5}}.$

1. Welche dieser Zahlen sind unter der Gaußklammeräquivalenzrelation („Vorkommaäquivalenzrelation“, siehe Beispiel 38.11) zueinander äquivalent?
2. Welche dieser Zahlen sind unter der Bruchanteiläquivalenzrelation („Nachkommaäquivalenzrelation“) zueinander äquivalent?

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}U\subseteq K^{n}$ ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf dem ${}K^{n}$, die durch

$v_{1}\sim v_{2}{\text{ genau dann, wenn }}v_{1}-v_{2}\in U$

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Wir betrachten die folgende Relation auf ${}\operatorname {Mat} _{n}(K)$.

$M\sim N,{\text{ falls es eine invertierbare Matrix }}B{\text{ gibt mit }}M=BNB^{-1}.$

Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Betrachte die Relation ${}\sim$ auf ${}G$, die durch

$x\sim y{\text{ genau dann, wenn }}x=y{\text{ oder }}x=y^{-1}$

erklärt ist. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Es seien ${}M_{1}$ und ${}M_{2}$ Mengen und ${}\sim _{1}$ sei eine Äquivalenzrelation auf ${}M_{1}$ und ${}\sim _{2}$ sei eine Äquivalenzrelation auf ${}M_{2}$. Betrachte die Relation ${}\sim$ auf der Produktmenge ${}M_{1}\times M_{2}$, die durch

$(a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2}),{\text{ falls }}a_{1}\sim _{1}b_{1}{\text{ und }}a_{2}\sim _{2}b_{2}{\text{ gilt}},$

definiert ist. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Zeige ferner, dass auf ${}M_{1}\times M_{2}$ die durch

$(a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2}),{\text{ falls }}a_{1}\sim _{1}b_{1}{\text{ oder }}a_{2}\sim _{2}b_{2}{\text{ gilt}},$

definierte Relation keine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}(R_{i})_{i\in I}$ eine Familie von Äquivalenzrelationen auf ${}M$. Zeige, dass durch den Durchschnitt ${}R:=\bigcap _{i\in I}R_{i}$ wieder eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert ist. Gilt dies auch für ${}\bigcup _{i\in I}R_{i}$?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten für je zwei Teilmengen ${}A,B\subseteq \mathbb {N}$ die symmetrische Differenz

${}A\triangle B:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\,.$

Wir setzen ${}A\sim B$, falls ${}A\triangle B$ endlich ist. Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf ${}{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )$ definiert wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Alle Springmäuse leben in ${}\mathbb {Z} ^{2}$ und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung ${}\pm (3,4)$ und den Sprung ${}\pm (5,2)$. Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen

$(14,11),\,(13,15),\,(17,12),\,(15,19),\,(16,16){\mbox{ und }}(12,20).$

Welche Springmäuse können sich begegnen?

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und sei ${}f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung. Es sei ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation auf ${}N$. Zeige, dass durch ${}x\equiv x'$, falls ${}f(x)\sim f(x')$ gilt, eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert wird.

Aufgabe (2 Punkte)

Finde neben den beiden Matrizen ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ vier weitere Matrizen ${}M$ mit der Eigenschaft ${}M^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$.