Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 53

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Berechne

$5^{\frac {2}{3}}$

bis auf einen Fehler von ${}1$.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl und ${}q=n/m\in \mathbb {Q}$. Zeige, dass die durch

${}b^{q}:={\left(b^{n}\right)}^{1/m}\,$

definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ${}q$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}b>0$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die durch

${}{\sqrt[{k}]{b}}=b^{1/k}\,$

definierte Folge gegen ${}1$ konvergiert.

Aufgabe *

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$

stetig ist.

Aufgabe *

Entscheide, ob die reelle Folge

${}x_{n}={\frac {5n^{\frac {3}{2}}+4n^{\frac {4}{3}}+n}{7n^{\frac {5}{3}}+6n^{\frac {3}{2}}}}\,$

(mit ${}n\geq 1$) in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe *

Entscheide, ob die reelle Folge

${}x_{n}={\frac {3n^{\frac {5}{4}}-2n^{\frac {4}{3}}+n}{4n^{\frac {7}{5}}+5n^{\frac {1}{2}}+1}}\,$

(mit ${}n\geq 1$) in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine monotone Funktion und es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass ${}g$ auf ${}\mathbb {Q}$ nicht unbedingt mit ${}f$ übereinstimmen muss.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine monotone Funktion und es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass ${}g$ ebenfalls monoton ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige monotone Funktion und es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass ${}g$ auf ${}\mathbb {Q}$ mit ${}f$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
2. Es ist ${}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion ${}\neq 0$, die die Gleichung

${}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R}$ erfüllt. Zeige, dass ${}f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein ${}b>0$ mit ${}f(x)=b^{x}$ gibt.

Aufgabe *

Berechne

$2^{\frac {9}{10}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe *

Vergleiche die beiden Zahlen

${\sqrt {3}}^{-{\frac {9}{4}}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {3}}^{-{\sqrt {5}}}.$

Aufgabe

Berechne

${\sqrt {2}}^{\sqrt {3}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe

Zeige, dass eine Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto b^{x},$

aus einem arithmetischen Mittel ein geometrisches Mittel macht.

Aufgabe *

Es sei

${}f(x)=a^{x}\,$

eine Exponentialfunktion mit ${}a\neq 1$. Zu jedem ${}x\in \mathbb {R}$ definiert die Gerade durch die beiden Punkte ${}(x,f(x))$ und ${}(x+1,f(x+1))$ einen Schnittpunkt mit der ${}x$-Achse, den wir mit ${}s(x)$ bezeichnen. Zeige

${}s(x+1)=s(x)+1\,.$

Skizziere die Situation.

Aufgabe

Skizziere die Graphen zu den Funktionen

${}f_{k}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}\,$

für ${}n=2,3,4,5,6$ auf ${}[-3,3]$.

Aufgabe *

Ordne die Zahlen

$\exp \left(0,6\right),\,\exp \left(0,7\right){\text{ und }}2$

gemäß ihrer Größe.

Aufgabe

Wir betrachten die Exponentialreihe

${}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}\,.$

Zeige, dass die Ableitung von ${}f$ mit ${}f$ übereinstimmt. Verwende dabei, dass in diesem Fall die Ableitung einer unendlichen Summe von Polynomen gleich der Summe der einzelnen Ableitungen ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

mit ${}f(0)=1$ und mit ${}f(x+1)=2f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$, die von ${}2^{x}$ verschieden ist.

Aufgabe

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich ${}2\%$. Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?

Aufgabe

Man bastle einen Rechenschieber, der die Multiplikation von positiven reellen Zahlen ausführt.

Aufgabe

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis ${}b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.

1. Es gilt ${}\log _{b}(y\cdot z)=\log _{b}y+\log _{b}z$.
2. Es gilt ${}\log _{b}y^{u}=u\cdot \log _{b}y$ für ${}u\in \mathbb {R}$.
3. Es gilt

   ${}\log _{a}y=\log _{a}{\left(b^{\log _{b}y}\right)}=\log _{b}y\cdot \log _{a}b\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit der Eigenschaft, dass es keine stetige Funktion

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

gibt, die auf ${}\mathbb {Q}$ mit ${}f$ übereinstimmt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$f\colon (\mathbb {Q} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1)$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein reelles ${}b>0$ mit ${}f(x)=b^{x}$ für alle ${}x\in \mathbb {Q}$ gibt.

Aufgabe (2 Punkte)

Vergleiche

$5^{-{\frac {4}{7}}}\,\,{\text{ und }}\,\,5^{-{\frac {5}{9}}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne

$3^{\frac {4}{5}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne ${}e^{3}$ mit Hilfe der Exponentialreihe bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{1000}}$.