Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Liste der Hauptsätze/kontrolle
Wachsende nach oben beschränkte Folge ...
Archimedisch angeordneter Körper/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei eine wachsende, nach oben beschränkte Folge.
Dann ist eine Cauchy-Folge.
Frage:
Archimedisch angeordneter Körper/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt/Name
Antwort:
Beweisaufgabe
Existenz der Wurzeln
Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt
Zu jeder nichtnegativen reellen Zahl und jedem
gibt es eine eindeutige nichtnegative reelle Zahl mit
Frage:
Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt/Name
Antwort:
Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt/Name/Inhalt
Beweisaufgabe
Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe
Rechenregeln für stetige Funktionen
Reelle Funktion/Stetigkeit/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt
Es sei und seien
Dann sind auch die Funktionen
stetig. Für eine Teilmenge , auf der keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion
stetig.
Frage:
Die Rechenregeln für stetige Funktionen
Antwort:
Unter der vorausgesetzten Stetigkeit sind auch die Funktionen
stetig. Für eine Teilmenge , auf der keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion
stetig.
Beweisaufgabe
Reelle Funktion/Stetigkeit/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt/Beweis/Aufgabe
Wurzelfunktionen
Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt
Es sei . Für ungerade ist
die Potenzfunktion
stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion
ist streng wachsend und stetig.
Für gerade ist die Potenzfunktion
stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion
ist streng wachsend und stetig.
Frage:
Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt/Name
Antwort:
Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt/Name/Inhalt
Beweisaufgabe
Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe
Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen
Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt
induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion
und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion
Frage:
Der Satz über die Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen.
Antwort:
Die reelle Sinusfunktion induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion
und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion
Beweisaufgabe
Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion
induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion
induziert.
Binomialverteilung/Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte/Fakt
Die Binomialverteilung zu
ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf .
Frage:
Binomialverteilung/Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte/Fakt/Name
Antwort:
Binomialverteilung/Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte/Fakt/Name/Inhalt
Beweisaufgabe
Binomialverteilung/Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte/Fakt/Beweis/Aufgabe
Bernoulli-Verteilung/Produktmenge/Binomialverteilung/Fakt
Es sei mit der Bernoulli-Verteilung zur Wahrscheinlichkeit versehen und es sei . Es sei
das -fache Produkt von mit sich selbst.
Dann besitzt zu das Ereignis
die Wahrscheinlichkeit
Frage:
Bernoulli-Verteilung/Produktmenge/Binomialverteilung/Fakt/Name
Antwort:
Bernoulli-Verteilung/Produktmenge/Binomialverteilung/Fakt/Name/Inhalt
Beweisaufgabe
Bernoulli-Verteilung/Produktmenge/Binomialverteilung/Fakt/Beweis/Aufgabe
Verteilung für das k-fache Eintreten
Experiment/Hintereinanderausführung/Binomialverteilung/Fakt
Es sei ein Experiment gegeben, das nur die Werte und annehmen kann und bei dem der Wert die Wahrscheinlichkeit besitzt.
Dann ist die Verteilung auf , die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass bei der -fachen (unabhängigen) Hintereinaderausführung des Experimentes -fach das Ereignis eintritt, durch die Binomialverteilung zur Stichprobenlänge und zur Erfolgswahrscheinlichkeit gegeben.
Frage:
Der Satz über die Verteilung bei der -fachen Hintereinanderausführung eines Bernoulli-Experimentes.
Antwort:
Es sei ein Experiment gegeben, das nur die Werte und annehmen kann und bei dem der Wert die Wahrscheinlichkeit besitzt. Dann ist die Verteilung auf , die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass bei der -fachen (unabhängigen) Hintereinaderausführung des Experimentes -fach das Ereignis eintritt, durch die Binomialverteilung zur Stichprobenlänge und zur Erfolgswahrscheinlichkeit gegeben.
Beweisaufgabe
Experiment/Hintereinanderausführung/Binomialverteilung/Fakt/Beweis/Aufgabe
Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängigkeit/Eigenschaften/Fakt
Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.
- Jedes Ereignis ist zu und zu unabhängig.
- Wenn die Ereignisse und unabhängig sind, so sind auch und unabhängig.
- Wenn ein Ereignis zu sich selbst unabhängig ist, so ist
Frage:
Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängigkeit/Eigenschaften/Fakt/Name
Antwort:
Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängigkeit/Eigenschaften/Fakt/Name/Inhalt
Beweisaufgabe
Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängigkeit/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe
Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Unabhängigkeit/Fakt
Es seien endliche Wahrscheinlichkeitsräume und
der Produktraum.
Dann sind zu Ereignissen und mit die Zylindermengen und unabhängig.
Frage:
Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Unabhängigkeit/Fakt/Name
Antwort:
Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Unabhängigkeit/Fakt/Name/Inhalt
Beweisaufgabe
Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Unabhängigkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe
Der Satz über die vollständige Unabhängigkeit im Produktraum.
Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Vollständige Unabhängigkeit/Fakt
Es seien endliche Wahrscheinlichkeitsräume und
der Produktraum. Es seien Ereignisse , ,..., gegeben und es seien die zugehörigen Zylindermengen im Produktraum, also
Dann sind die Ereignisse vollständig unabhängig.
Frage:
Der Satz über die vollständige Unabhängigkeit im Produktraum.
Antwort:
Es seien endliche Wahrscheinlichkeitsräume und
der Produktraum. Es seien Ereignisse , , ... , gegeben und es seien die zugehörigen Zylindermengen im Produktraum, also
Dann sind die Ereignisse vollständig unabhängig.
Beweisaufgabe
Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Vollständige Unabhängigkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe
Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Unabhängigkeit/Fakt
Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und eine Teilmenge mit positiver Wahrscheinlichkeit und es sei ein Ereignis.
Dann sind und genau dann unabhängig, wenn
ist, wenn also die Wahrscheinlichkeit von mit der bedingten Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung übereinstimmt.
Frage:
Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Unabhängigkeit/Fakt/Name
Antwort:
Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Unabhängigkeit/Fakt/Name/Inhalt
Beweisaufgabe
Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Unabhängigkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe