Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Arbeitsblatt 19



Die Pausenaufgabe

Formuliere die zweite binomische Formel für einen kommutativen Ring und führe sie auf die erste binomische Formel zurück.




Übungsaufgaben

Formuliere und beweise die dritte binomische Formel für einen kommutativen Ring .


Es sei ein kommutativer Ring und seien und Elemente in . Berechne


Es sei ein kommutativer Ring, und . Zeige die Gleichheit


Zeige, dass mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein kommutativer Ring ist. Gilt in diesem Ring die Eigenschaft, dass aus folgt, dass oder gleich ist?


Lucy Sonnenschein befindet sich in Position , wobei sich im Folgenden die erste Komponente auf links/rechts und die zweite Komponente auf vorne/hinten bezieht. Sie geht vier Schritte nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, dann einen Schritt nach links, einen (etwas größeren) Diagonalschritt nach links hinten und schließlich zwei Schritte nach vorne. In welcher Position befindet sie sich zum Schluss? Durch welche möglichst einfache Bewegung kann sie die Gesamtbewegung rückgängig machen?


Es sei eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge mit dem Durchschnitt als Multiplikation und der symmetrischen Differenz

als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.


Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Multiplikation mit , also die Abbildung

bijektiv ist.


Diskutiere, welche Bedeutungen die Begriffe positiv und negativ in einem kommutativen Ring besitzen. Wie sieht es in aus? Welche Bedeutung ist relativ, welche absolut?


Es sei ein kommutativer Ring und es seien ganze Zahlen und . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Zu ist (also die -fache Summe von mit sich selbst) gleich , wobei links die -fache Summe der mit sich selbst steht.
  2. Zu ist (also die -fache Summe des Negativen von mit sich selbst) gleich dem Negativen (in ) von .
  3. Es ist
  4. Es ist
  5. Es ist


Es sei ein kommutativer Ring. Zu jedem sei

die Multiplikation mit . Zeige, dass genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.


Gabi Hochster hat heute keine Lust, bei der Addition von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem die Überträge zu berücksichtigen. Sie addiert einfach ziffernweise und schreibt nur die Endziffern der Einzelsummen an die richtige Stelle hin. Sie sagt: „Meine neue Verknüpfung ist viel besser als die übliche Addition: Sie ist einfacher zu berechnen, sie ist assoziativ und kommutativ und sie besitzt ein neutrales Element. Darüber hinaus gibt es zu jeder natürlichen Zahl eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass deren Summe die ergibt. Es liegt also sogar eine Gruppe vor und die ganzen Zahlen braucht man gar nicht mehr“. Sind ihre Beobachtungen korrekt?


Es sei eine Gruppe. Zeige, dass

für alle ist.


Es sei eine Menge und es sei die Menge aller bijektiven Abbildungen von nach . Zeige, dass mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist. Was ist das neutrale Element, was ist das inverse Element zu ?


Sei eine Gruppe und sei ein Element und sei

die Verknüpfung mit . Zeige, dass bijektiv ist. In welcher Beziehung steht diese Aussage zu Lemma 19.8?


Person wird Jahre alt und Person wird Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

  1. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.
  2. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.


Zeige, dass die Größergleichrelation auf den ganzen Zahlen eine totale Ordnung ist.


Es sei ein angeordneter Ring. Zeige, dass für jedes die Beziehung gilt.


Zeige, dass in einem angeordneten Ring aus und die Beziehung folgt.


Es sei ein angeordneter Ring und . Zeige, dass dann ist.


Es sei ein angeordneter Ring und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn gilt.


Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.

a) ,


b) ,


c) .

Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?


Wir betrachten die ganzen Zahlen mit der Ordnung , bei der

gilt und die auf den Teilmengen und mit der Ordnung übereinstimmt.

  1. Zeige, dass eine totale Ordnung auf ist.
  2. Zeige, dass mit auch

    gilt.

  3. Zeige, dass mit auch

    gilt.

  4. Ist ein angeordneter Ring?


Diskutiere Grenzen des Permanenzprinzips angesichts der Definition 19.9 in Bezug zu Lemma 10.5.


Welche Teilerbeziehung besteht zwischen und einer beliebigen ganzen Zahl und welche Teilerbeziehung besteht zwischen und einer beliebigen ganzen Zahl ?


Beweise die Teilbarkeitsregeln für ganze Zahlen, die in Lemma 19.15 aufgelistet sind.


Zeige, dass für je zwei ganze Zahlen aus

die Beziehung folgt.


Zeige, dass für jede ungerade Zahl die Zahl ein Vielfaches von ist.


Rechne im Dezimalsystem


Rechne im Dezimalsystem


Berechne


Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl

im Zehnersystem.


Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl

im Zehnersystem.


Es liegen zwei ganze Zahlen und im Dezimalsystem vor. Lässt sich die letzte Ziffer der Summe allein aus den beiden letzten Ziffern der beiden Zahlen bestimmen?


Gilt für ganze Zahlen, die im Dezimalsystem gegeben sind, für die Teilbarkeit durch ein Quersummentest? Wie ist dieser zu formulieren?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Ring und seien und Elemente in . Berechne das Produkt

Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für ganze Zahlen genau dann das „umgekehrte Distributivgesetz“

gilt, wenn

oder

ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.

a) ,


b) ,


c) .

Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?


Aufgabe (2 Punkte)

Welche Ordnungseigenschaften erfüllt die Teilarkeitsbeziehung auf , welche nicht?


Aufgabe (2 Punkte)

Rechne im Dezimalsystem


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl

im Zehnersystem.


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass es für jede ganze Zahl eine eindeutige Darstellung

mit

für alle gibt.



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