Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Vorlesung 28

„Nicht allein in Rechnungssachen Soll der Mensch sich Mühe machen; Sondern auch der Weisheit Lehren Muß man mit Vergnügen hören.“

Wilhelm Busch, Max und Moritz

Aus der Schule wissen wir, dass es neben den abbrechenden Kommazahlen (den Dezimalbrüchen) auch „unendliche Kommazahlen“ gibt, wobei dabei die Ziffernentwicklung wiederum periodisch oder nicht periodisch sein kann. Es ist eine echte Herausforderung, die mathematische Natur solcher Ausdrücke zu verstehen, und wir werden uns einen Großteil des zweiten Semesters damit beschäftigen. Auf den ersten Blick ist jedenfalls eine solche Zahl dadurch gegeben, dass jeder natürlchen Zahl, die eine Nachkommastelle bezeichnet, mehr oder weniger willkürlich eine Ziffer zwischen ${}0$ und ${}9$ zugeordnet wird. Eine solche Zuordnung erfassen wir generell mit dem Konzept einer Folge.

Folgen

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n},$

nennt man auch eine Folge in ${}M$. Eine Folge wird häufig in der Form

${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

geschrieben.

Die Elemente ${}x_{n}$ heißen dabei die Glieder der Folge.

Der Divisionsalgorithmus

Wir besprechen nun das Verfahren des „schriftlichen Dividierens“, den Divisionsalgorithmus.

Verfahren  

Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv. Beim Divisionsalgorithmus ${}a:b$ führt man sukzessive die (unendlich vielen) Divisionen mit Rest

${}a=z_{0}\cdot b+r_{0}\,,$

${}10\cdot r_{0}=z_{-1}\cdot b+r_{-1}\,,$

${}10\cdot r_{-1}=z_{-2}\cdot b+r_{-2}\,,$

${}10\cdot r_{-2}=z_{-3}\cdot b+r_{-3}\,,...$

aus, d.h. man berechnet rekursiv aus ${}r_{-i}$ mittels

${}10\cdot r_{-i}=z_{-i-1}\cdot b+r_{-i-1}\,$

die ${}z_{-i-1}$ und die ${}r_{-i-1}$. Die Folge ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, heißt die Ziffernfolge und die Folge ${}r_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, heißt die Restefolge des Divisionsalgorithmus.

Man schaut also, wie oft ${}b$ in ${}a$ hineinpasst (das ergibt ${}z_{0}$, den ganzzahligen Anteil der Division) und welcher Rest dabei übrigbleibt. Dann schaut man, wie oft ${}b$ in das Zehnfache dieses Restes hineinpasst (das ergibt ${}z_{-1}$, die erste Nachkommaziffer der Division) und welcher Rest dabei übrigbleibt, und wiederholt diesen Rechenschritt unendlich oft. Dieses Verfahren ist aus der Schule bekannt. Als Ergebnis wird die „unendliche Kommazahl“

$z,z_{-1}z_{-2}z_{-3}\ldots$

notiert, wobei die ganze Zahl ${}z$ selbst in ihrer Dezimalentwicklung genommen wird. Unklar ist dabei, welchen genauen Sinn ein solcher Ausdruck besitzt. Dies lässt sich im Rahmen der Konvergenz von Folgen befriedigend präzisieren. Die Indizierung ist hier so gewählt, dass sich die Ziffer ${}z_{-i}$ (für $i\geq 1$) auf ${}10^{-i}$ bezieht. D.h. ${}z_{-i}$ ist die ${}i$-te Nachkommaziffer des Ergebnisses der Division.

Lemma

Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv und es seien ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, und ${}r_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die ${}r_{-i}$ liegen zwischen ${}0$ und ${}b-1$.
2. Die ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N} _{+}$, liegen zwischen ${}0$ und ${}9$.
3. Wenn für ein ${}k$ der Rest ${}r_{-k}=0$ ist, so sind für alle ${}i>k$ auch ${}z_{-i}=0$. und ${}r_{-i}=0$.
4. Es gibt ein ${}k\in \mathbb {N}$ und ein ${}\ell \in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}\ell <b$ derart, dass für die Ziffern mit ${}i>k$ die Beziehung

   ${}z_{-i-\ell }=z_{-i}\,$

   gilt.

5. Wenn man statt ${}a:b$ den Divisionsalgorithmus ${}ma:mb$ mit ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ ausführt, so ändert sich die Ziffernfolge nicht (wohl aber die Restefolge). Die Ziffernfolge ist also für die rationale Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ wohldefiniert.
6. Bei der Division von ${}a=\sum _{j=0}^{t}c_{j}10^{j}$ durch eine Zehnerpotenz ${}b=10^{s}$ ist

   ${}z_{0}=\sum _{j=s}^{t-s}c_{j}10^{j-s}\,$

   (was bei ${}t<s$ als ${}0$ zu lesen ist) und

   ${}z_{-i}=c_{-i+s}\,$

   (was für ${}-i<-s$ als ${}z_{-i}=0$ zu lesen ist). Die Ziffernfolge ${}z_{-i}$ ist also einfach eine verschobene Version der Zifferndarstellung des Dividenden.

7. Der Bruch ${}{\frac {a}{b}}$ ist genau dann ein Dezimalbruch, wenn ein Rest ${}r_{-i}$ gleich ${}0$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Ziffernfolge ${}z_{-i}$ ab einem ${}k$ konstant gleich ${}0$ ist.

Beweis

1. Ist eine Eigenschaft der Division mit Rest.
2. Wegen

   ${}r_{-i}\leq b-1\,$

   ist

   ${}10\cdot r_{-i}\leq 10\cdot (b-1)\,.$

   Bei der Division von ${}10\cdot r_{-i}=z_{-i-1}\cdot b+r_{-i-1}$ durch ${}b$ ist somit der ganzzahlige Anteil ${}z_{-i-1}$ echt kleiner als ${}10$.

3. Dies folgt unmittelbar aus dem rekursiven Aufbau des Divisionsalgorithmus.
4. Im Fall, dass für ein ${}k$ der Rest ${}r_{-k}=0$ ist, ergibt sich dies unmittelbar aus (3), wobei man ${}\ell =1$ wählen kann. Nehmen wir also an, dass alle ${}r_{-i}$ von ${}0$ verschieden sind. Da die Reste

   $r_{-1},r_{-2},r_{-3}$

   allesamt zwischen ${}1$ und ${}b-1$ liegen, muss es in ihnen irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir, dass

   ${}r_{-k-\ell }=r_{-k}\,$

   gilt. Da ${}z_{-i-1}$ und ${}r_{-i-1}$ allein von ${}r_{-i}$ abhängt, wiederholt sich dann die Restfolge und die Ziffernfolge

   $r_{-k},r_{k-1},\ldots ,r_{-k-\ell +1}\,\,{\text{ bzw. }}\,\,z_{-k},z_{k-1},\ldots ,z_{-k-\ell +1}$

   unendlich oft periodisch.

5. Aus der Division mit Rest

   ${}10\cdot r_{-i}=z_{-i-1}\cdot b+r_{-i-1}\,$

   ergibt sich direkt die entsprechende Division mit Rest

   ${}10\cdot {\left(m\cdot r_{-i}\right)}=z_{-i-1}\cdot {\left(m\cdot b\right)}+{\left(m\cdot r_{-i-1}\right)}\,,$

   woraus die Behauptung folgt.

6. Der Divisionsalgorithmus ist in diesem Fall

   ${}\sum _{j=0}^{t}c_{j}10^{j}={\left(\sum _{j=s}^{t}c_{j}10^{j-s}\right)}10^{s}+\sum _{j=0}^{s-1}c_{j}10^{j}\,,$

   ${}10\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-1}c_{j}10^{j}\right)}=c_{s-1}10^{s}+10\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-2}c_{j}10^{j}\right)}\,,$

   ${}10^{2}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-2}c_{j}10^{j}\right)}=c_{s-2}10^{s}+10^{2}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-3}c_{j}10^{j}\right)}\,,$

   u.s.w., woraus die Aussagen ablesbar sind.

7. Wenn ein Dezimalbruch vorliegt, so können wir wegen (5) annehmen, dass

   ${}b=10^{s}\,$

   eine Zehnerpotenz ist. Dann folgt die Aussage mit der abbrechenden Ziffernfolge aus (6).

   
   

   Wenn ein ${}r_{-k}=0$, so sind nach (3) alle folgenden Ziffern gleich ${}0$. Wenn umgekehrt ${}z_{-i}=0$ für alle ${}i\geq k$ gilt, so wird die Rekursionsbedingung für ${}i\geq k$ zu

   ${}10\cdot r_{-i}=r_{-i-1}\,.$

   Nehmen wir ${}z_{-k}\neq 0$ an. Dann ist

   ${}r_{-k-1}=10r_{-k}\,,$

   ${}r_{-k-3}=10r_{-k-1}=10^{2}r_{-k}\,,$

   u.s.w., was zu einem Widerspruch führt, da nach Lemma 25.9 die Zehnerpotenzen schließlich die Zahl ${}b$ überschreiten.

   Wenn ein ${}r_{-k}=0$ ist, so folgt rekursiv aus

   ${}10r_{-i}=z_{-i-1}\cdot b+r_{-i-1}\,$

   bzw.

   ${}{\frac {r_{-i}}{b}}={\frac {z_{-i-1}}{10}}+{\frac {r_{-i-1}}{10\cdot b}}\,,$

   dass die Brüche

   ${\frac {r_{-k}}{b}}=0,\,{\frac {r_{-k+1}}{b}},\,{\frac {r_{-k+2}}{b}},\ldots ,{\frac {r_{-1}}{b}}\,,{\frac {r_{0}}{b}}$

   Dezimalbrüche sind. Somit ist auch ${}{\frac {a}{b}}$ ein Dezimalbruch.

$\Box$

Wir haben insbesondere bewiesen, dass beim Divisionsalgorithmus irgendwann eine Periodizität auftritt und gezeigt, wie diese zu finden ist. Das kleinste positve ${}\ell$, das die Eigenschaft aus (4) erfüllt, heißt die Periodenlänge der Division. Die Eigenschaft (6) bedeutet, dass die Ziffernfolge, die sich aus dem allgemeinen Divisionsalgorithmus im Falle der Division durch eine Zehnerpotenz ergibt, mit der endlichen Kommazahl aus Definition 26.4 übereinstimmt. Das Ergebnis des Divisionsalgorithmus wird als

$z_{0},z_{-1}z_{-2}\ldots z_{-k}{\overline {z_{-k-1}\ldots z_{-k-\ell }}}$

notiert, wobei die überstrichenen Zahlen die Periode darstellen.

Bemerkung  

Über die Periodenlänge kann man einige präzise Aussagen machen, die über Lemma 28.3  (4) hinausgehen und die wir im Moment noch nicht beweisen können. Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}b$ sei auch teilerfremd zu ${}10$. Dann hängt die Periodenlänge ${}\ell$ der Division ${}a:b$ allein davon ab, welche minimale Zehnerpotenz ${}10^{k}$ mit ${}k\geq 1$ bei Division durch ${}b$ den Rest ${}1$ besitzt. Für den Fall ${}a=1$ siehe Aufgabe 28.14. Der minimale Exponent ist die Periodenlänge. Wenn ${}b=p$ eine Primzahl ist, so ist diese Periodenlänge ein Teiler von ${}p-1$. Wenn die Periodenlänge von ${}1:p$ genau ${}p-1$ ist, so gilt dies bei sämtlichen Divisionen ${}a:p$ mit ${}a$ teilerfremd zu ${}p$, und die Reihenfolge der Ziffern ist eine zyklische Vertauschung der Reihenfolge der Ziffern zu ${}1:p$. Siehe als Beispiel hierzu Aufgabe 28.3.

Dezimalbruchfolgen

Die Ziffern ${}z_{-i}$, die sich beim Divisionsalgorithmus ${}a:b$ ergeben, sind in ihrer genauen Bedeutung nicht einfach zu verstehen. Im Spezialfall, dass ein Dezimalbruch vorliegt, erhalten wir nach Lemma 28.3  (6) eine abbrechende Entwicklung ${}z_{0},z_{-1}z_{-2}z_{-3}\ldots z_{-n}$, wobei wir diese Ziffern direkt aus der Dezimalentwicklung des Zählers ablesen können. Wenn kein Dezimalbruch vorliegt, so erhalten wir eine unendliche Ziffernfolge ${}z_{-i}$. Zunächst muss man sich klar machen, dass jeder an einer bestimmten Ziffer abbrechende Ausschnitt daraus, also

$z_{0},z_{-1}z_{-2}z_{-3}\ldots z_{-n},$

nicht die Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ ist, obwohl es sich in einem zu präzisierenden Sinn um eine Approximation davon handelt. Eine Formulierung wie

$z_{0},z_{-1}z_{-2}z_{-3}\ldots z_{-n}\ldots$

hingegen ist ziemlich aussagelos. Eine Formulierung wie

$z_{0},z_{-1}z_{-2}z_{-3}\ldots z_{-k}{\overline {z_{-k-1}\ldots z_{-k-\ell }}}$

kodiert zwar die volle Information aus dem Divisionsalgorithmus, das Problem ist aber, ob und inwiefern dies eine Zahl ist.

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge der Form

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$

mit ${}a_{n}\in \mathbb {Z}$ und

${}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,$

heißt Dezimalbruchfolge.

Achtung! Eine Dezimalbruchfolge ist nicht das gleiche wie eine Folge von Dezimalbrüchen. Die Folge, die abwechselnd die Werte ${}0$ und ${}1$ besitzt, besteht auch nur aus Dezimalbrüchen. Hier ist wichtig, das bei einer Dezimalbruchfolge bei jedem Folgenglied sich die „Genauigkeit“ um ein ${}{\frac {1}{10}}$ erhöht, das folgende Glied ${}x_{n+1}$ liegt im Intervall

${}[{\frac {a_{n}}{10^{n}}},{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}[=[x_{n},x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}[\,$

der Länge ${}{\frac {1}{10^{n}}}$, das vom Vorgänger ${}x_{n}$ festgelegt ist.

Wir werden zeigen, dass es für jedes Element ${}x$ in einem archimedisch angeordneten Körper eine zugehörige kanonische Dezimalbruchfolge gibt, und dass diese im Fall einer rationalen Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ aus dem Divisionsalgorithmus ablesbar ist. Die Folge

${\frac {9}{10}},\,{\frac {99}{100}},\,{\frac {999}{1000}},\,{\frac {9999}{10000}},\,{\frac {99999}{100000}},\ldots ,$

ist eine Dezimalbruchfolge, aber nicht die kanonische Dezimalbruchfolge zu ${}1$, diese ist nämlich einfach die konstante Folge.

Verfahren  

Es sei ${}x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$. Dann nennt man die über ${}n\in \mathbb {N}$ durch

${}x=u_{n}\cdot 10^{-n}+v_{n}\,$

mit ${}u_{n}\in \mathbb {Z}$ und ${}0\leq v_{n}<10^{-n}$ gegebene Folge

${}x_{n}=u_{n}\cdot 10^{-n}\,$

die (kanonische) Dezimalbruchfolge zu ${}x$.

Die definierende Gleichung in diesem Verfahren kann man auch als von der Gleichung

${}10^{n}x=u_{n}+v_{n}\cdot 10^{n}\,$

herstammend interpretieren. Es ist also einfach

${}u_{n}=\left\lfloor x\cdot 10^{n}\right\rfloor \,$

und

${}x_{n}=u_{n}10^{-n}=\left\lfloor x\cdot 10^{n}\right\rfloor \cdot 10^{-n}\,,$

was zugleich zeigt, dass diese Folge existiert und eine Dezimalbruchfolge im Sinne der obigen Definition ist. Die Glieder ${}x_{n}$ dieser Folge approximieren die gegebene Zahl ${}x$ optimal unter allen Dezimalbrüchen mit dem vorgegebenen Nenner ${}10^{n}$, wie die folgende Aussage zeigt.

Satz

Es sei ${}x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$ und es sei ${}(x_{n})$, ${}n\in \mathbb {N}$, die zugehörige (kanonische) Dezimalbruchfolge.

Dann ist

${}x_{n}\leq x<x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\,,$

d.h. der ${}n$-te Dezimalbruch der Folge approximiert die Zahl ${}x$ bis auf einen Fehler von maximal ${}{\frac {1}{10^{n}}}$. Es liegt eine Dezimalbruchfolge im Sinne von Definition 28.5 vor.

Beweis

In der Definition der Dezimalbruchfolge wird

${}x=u_{n}\cdot 10^{-n}+v_{n}\,$

mit ${}u_{n}\in \mathbb {Z}$ und ${}0\leq v_{n}<10^{-n}$ berechnet. Daher ist einerseits

${}x_{n}=u_{n}\cdot 10^{-n}\leq x\,$

und andererseits

${}x=u_{n}\cdot 10^{-n}+v_{n}=x_{n}+v_{n}<x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\,.$

Die Eigenschaft

${}x_{n}\leq x_{n+1}\,$

ergibt sich auch unmittelbar.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv und es seien ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, und ${}r_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen.

Dann ist

${}x_{n}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\,$

die Dezimalbruchfolge zu ${}{\frac {a}{b}}$. Insbesondere ist für jedes ${}n\in \mathbb {N}$

${}\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\leq {\frac {a}{b}}<\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}+10^{-n}\,.$

Beweis

Aus den definierenden Gleichungen des Divisionsalgorithmus ergibt sich sukzessive

${}{\begin{aligned}a&=z_{0}b+r_{0}\\&=z_{0}b+{\frac {10\cdot r_{0}}{10}}\\&=z_{0}b+{\frac {z_{-1}\cdot b+r_{-1}}{10}}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+r_{-1}10^{-1}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+10\cdot r_{-1}10^{-2}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+{\left(z_{-2}b+r_{-2}\right)}10^{-2}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+z_{-2}b10^{-2}+r_{-2}10^{-2}\end{aligned}}$

und insgesamt

${}a=b{\left(\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\right)}+r_{-n}10^{-n}\,.$

Division durch ${}b$ ergibt

${}{\frac {a}{b}}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}+{\frac {r_{-n}}{b}}10^{-n}={\left(\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{n-i}\right)}10^{-n}+{\frac {r_{-n}}{b}}10^{-n}\,.$

Dies stimmt mit den Festlegungen aus dem Verfahren überein, in dem die Dezimalbruchfolge zu ${}{\frac {a}{b}}$ definiert wurde.

$\Box$

Konvergente Folgen

Die oben beschriebene Eigenschaft, dass eine rationale Zahl durch die zugehörige (im Divisonsalgorithmus berechneten) Dezimalbruchfolge beliebig genau approximiert wird, wird durch folgenden Begriff präzisiert, der im zweiten Semester eine tragende Rolle spielen wird.

Definition

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei ${}x\in K$. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.

Korollar

Es sei ${}x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$.

Dann konvergiert die zugehörige Dezimalbruchfolge ${}(x_{n})$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}x$.

Beweis

Nach Satz 28.7 ist

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {1}{10^{n}}}\,.$

Wenn ein ${}\epsilon >0$ vorgegeben ist, so gibt es nach Korollar 25.10 ein ${}m$ mit

${}{\frac {1}{10^{m}}}\leq \epsilon \,.$

Für alle ${}n\geq m$ ist dann

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {1}{10^{n}}}\leq {\frac {1}{10^{m}}}\leq \epsilon \,.$

$\Box$

Korollar

Zu einer rationalen Zahl ${}x={\frac {a}{b}}$

konvergiert die Dezimalbruchfolge, die man aus dem Divisionsalgorithmus erhält, gegen ${}x$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Korollar 28.10 in Verbindung mit Lemma 28.8.

$\Box$

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