Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 34

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung

${}2x-5y-3z=0\,.$

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass ein Körper ${}K$, aufgefasst als Vektorraum, nur zwei Untervektorräume besitzt, nämlich den Nullraum ${}0$ und sich selbst.

Aufgabe

Bestimme, ob die folgenden Teilmengen ${}T=\mathbb {Q} ^{2}$ Untervektorräume sind.

1. ${}\{0\}$,
2. ${}\mathbb {Q} _{\geq 0}\times \mathbb {Q} _{\geq 0}$,
3. Der Graph der linearen Funktion ${}y=7x$,
4. Das Quadrat ${}[0,1]\times [0,1]$,
5. ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$,
6. Die Vereinigung aus der ${}x$-Achse und der ${}y$-Achse (das Achsenkreuz),
7. ${}\mathbb {Q} \times 0$,
8. Die Lösungsmenge zur linearen Gleichung ${}4x-9y=11$.

Aufgabe

Beschreibe sämtliche Untervektorräume des ${}\mathbb {Q} ^{2}$.

Aufgabe *

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.

1. Man gebe zu zwei Punkten ${}(a_{1},a_{2})$ und ${}(b_{1},b_{2})$ die Koordinaten des Mittelpunktes an.
2. Es seien in der Produktmenge ${}\mathbb {Z} ^{2}$ fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
3. Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?

Aufgabe

Zeige, dass ein Untervektorraum ${}U\subseteq K^{n}$ insbesondere eine Untergruppe des ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{k}\in K^{n}$ Vektoren und sei

${}U={\left\{\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}U$ ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten im ${}\mathbb {Q} ^{3}$ die Untervektorräume

${}U=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-2\\7\end{pmatrix}}\rangle \,$

und

${}W=\langle {\begin{pmatrix}5\\-1\\11\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-3\\3\end{pmatrix}}\rangle \,.$

Zeige ${}U=W$.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung

${}3x+4y-2z+5w=0\,.$

Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

$-2x+3y-z+4w=0{\text{ und }}3z-2w=0.$

Aufgabe

Im ${}K^{n}$ seien zwei Vektoren ${}u,v$ gegeben und es sei ${}U=\langle u,v\rangle \subseteq K^{n}$ der von den beiden Vektoren erzeugte Untervektorraum. Zeige, dass die Vektoren ${}u,v$ genau dann eine Basis von ${}U$ bilden, wenn weder ${}u$ ein Vielfaches von ${}v$ noch ${}v$ ein Vielfaches von ${}u$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}U_{1},\ldots ,U_{r}\subseteq K^{n}$ Untervektorräume. Zeige, dass der Durchschnitt ${}U_{1}\cap \ldots \cap U_{r}$ ebenfalls ein Untervektorraum ist.

Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

${\begin{matrix}3x-6y-5z&=&0\\x+7y+4z&=&0\,\end{matrix}}$

über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}4&3&-4\\5&-2&-1\end{pmatrix}}\,$

und

${}c={\begin{pmatrix}-3\\-7\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme eine Basis des Lösungsraums des linearen Gleichungssystems ${}Mv=0$.
2. Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems ${}Mv=c$ mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil.

Aufgabe *

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}4x+7y=3\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Aufgabe

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}-7x+5y=-4\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Aufgabe *

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte ${}(2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft.

Aufgabe

Es seien im ${}K^{2}$ zwei Geraden ${}G$ und ${}H$ in Gleichungsform durch

${}ax+by=c\,$

bzw.

${}rx+sy=d\,$

gegeben. Zeige, dass der Durchschnitt ${}G\cap H$ der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist, das aus beiden Gleichungen besteht. Zeige ferner, dass es hierbei die drei Möglichkeiten gibt:

1. Es ist ${}G=H$.
2. Es ist ${}G\cap H=\emptyset$.
3. Der Durchschnitt besteht aus einem einzigen Punkt.

Aufgabe

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über ${}\mathbb {Q}$ gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.

Aufgabe *

1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.

Aufgabe

Es seien ${}n$ Geraden in der Ebene gegeben. Was kann man über die mögliche Anzahl von Schnittpunkten aussagen? Man mache sich die Situation für ${}n=2,3,4,5$ klar und versuche, Gesetzmäßigkeiten zu erkennen, diese für beliebiges ${}n$ zu formulieren und zu beweisen.

Aufgabe *

Es seien ${}n$ Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von ${}n$) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.

Aufgabe

Wir betrachten die beiden Mengen

${}E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0\right\}}\,$

und

${}F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid 7x-5y-4z=0\right\}}\,.$

Finde eine Beschreibung für den Durchschnitt

${}G:=E\cap F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0{\text{ und }}7x-5y-4z=0\right\}}\,$

wie in Beispiel *****.

Aufgabe *

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ seien die beiden Untervektorräume

${}U={\left\{s{\begin{pmatrix}2\\1\\7\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4\\-2\\9\end{pmatrix}}\mid s,t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

und

${}V={\left\{p{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}}+q{\begin{pmatrix}5\\2\\-4\end{pmatrix}}\mid p,q\in \mathbb {R} \right\}}\,$

gegeben. Bestimme eine Basis für ${}U\cap V$.

Aufgabe *

Wir betrachten die drei Ebenen ${}E,F,G$ im ${}\mathbb {Q} ^{3}$, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.

1. ${}E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-4y+3z=2\right\}}\,,$

2. ${}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 7x-5y+6z=3\right\}}\,,$

3. ${}G={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 2x-y+4z=5\right\}}\,.$

Bestimme sämtliche Punkte ${}E\cap F\setminus E\cap F\cap G$.

Aufgabe

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im ${}\mathbb {R} ^{3}$, auf der die drei Punkte

$(1,0,0),\,\,(0,1,2)\,{\text{ und }}\,(2,3,4)$

liegen.

Aufgabe

Erstelle ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsraum die Gerade ${}U={\begin{pmatrix}2\\5\\-1\end{pmatrix}}\mathbb {R}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau

${\left\{\lambda {\begin{pmatrix}3\\2\\-5\end{pmatrix}}\mid \lambda \in K\right\}}$

ist.

Aufgabe

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

${}x\geq 0\,,$

${}y\geq 0\,,$

${}x+y\leq 1\,,$

gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

Aufgabe

Es sei

${}a_{1}x+b_{1}y\geq c_{1}\,,$

${}a_{2}x+b_{2}y\geq c_{2}\,,$

${}a_{3}x+b3y\geq c_{3}\,,$

ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung ${}\geq$ durch ${}\leq$ ersetzt?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten im ${}\mathbb {Q} ^{4}$ die Untervektorräume

${}U=\langle {\begin{pmatrix}3\\1\\-5\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-2\\4\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\3\\2\end{pmatrix}}\rangle \,$

und

${}W=\langle {\begin{pmatrix}6\\-1\\2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-2\\-2\\-7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}9\\2\\-1\\10\end{pmatrix}}\rangle \,.$

Zeige ${}U=W$.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}2&-7&8\\5&9&-3\end{pmatrix}}\,$

und

${}c={\begin{pmatrix}4\\-5\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme eine Basis des Lösungsraums des linearen Gleichungssystems ${}Mv=0$.
2. Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems ${}Mv=c$ mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}-2x+9y=5\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die beiden Ebenen

$E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 3x+4y+5z=2\right\}}{\text{ und }}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 2x-y+3z=-1\right\}}.$

Bestimme die Schnittgerade ${}E\cap F$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im ${}\mathbb {R} ^{3}$, auf der die drei Punkte

$(1,0,2),\,\,(4,-3,2)\,{\text{ und }}\,(2,1,-1)$

liegen.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

${}x\geq 0\,,$

${}y+x\geq 0\,,$

${}-1-y\leq -x\,,$

${}5y-2x\geq 3\,,$

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.