Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 35

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es sei eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ mit

$\varphi {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}=5{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}=4$

gegeben. Berechne

$\varphi {\begin{pmatrix}7\\6\end{pmatrix}}.$

Übungsaufgaben

Aufgabe

Welche der folgenden Figuren können als Bild eines Quadrates unter einer linearen Abbildung von ${}\mathbb {R} ^{2}$ nach ${}\mathbb {R} ^{2}$ auftreten?

Aufgabe *

Es sei eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit

$\varphi {\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}},\,\varphi {\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}}$

gegeben. Berechne

$\varphi {\begin{pmatrix}3\\-5\\4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass zu ${}v\in K^{n}$ die Abbildung

$K\longrightarrow K^{n},\,\lambda \longmapsto \lambda v,$

linear ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass zu ${}a\in K$ die Abbildung

$K^{n}\longrightarrow K^{n},\,v\longmapsto av,$

linear ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ und ${}\psi \colon K^{n}\rightarrow K^{\ell }$ lineare Abbildungen. Zeige, dass auch die Abbildung

$K^{n}\longrightarrow K^{m}\times K^{\ell },\,v\longmapsto (\varphi (v),\psi (v)),$

eine lineare Abbildung ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ eine lineare Abbildung. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist ${}\varphi (0)=0$.
2. Für jede Linearkombination ${}\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}$ in ${}K^{n}$ gilt

   ${}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}\psi \colon K^{p}\rightarrow K^{n}$ und ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ lineare Abbildungen. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Die Hintereinanderschaltung

   $\varphi \circ \psi \colon K^{p}\longrightarrow K^{m}$

   ist ebenfalls linear.

2. Wenn ${}\varphi$ bijektiv ist, so ist auch die Umkehrabbildung

   $\varphi ^{-1}\colon K^{m}\longrightarrow K^{n}$

   linear.

Aufgabe

Lucy Sonnenschein arbeitet als Fahrradkurier und bekommt einen Stundenlohn von ${}12$ €. Am Obststand kosten Himbeeren ${}3$ €, Erdbeeren kosten ${}2$ € und Äpfel ${}0,4$ € (jeweils pro Hundert Gramm). Beschreibe die Abbildung, die einem Einkauf die Zeit zuordnet, die Lucy für den Einkauf arbeiten muss, als eine Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen.

Aufgabe

In Beispiel 35.12 wurde beschrieben, welche Zutaten für Himbeerkuchen, Käsekuchen und Apfelkuchen benötigt werden. Die folgende Tabelle zeigt die Preise der einzelnen Zutaten (pro Kilogramm).

Produkt	${}{\text{ Mehl}}$	${}{\text{Zucker}}$	${}{\text{Butter}}$	${}{\text{Milch}}$	${}{\text{Himbeeren}}$	${}{\text{Quark}}$	${}{\text{Äpfel}}$	${}{\text{Haselnüsse}}$
Preis	${}0{,}7$	${}0{,}9$	${}7$	${}0{,}8$	${}12$	${}3$	${}2$	${}11$

Beschreibe die Abbildung, die einem Kuchentupel den Preis zuordnet, als Hintereinanderschaltung der Zutatenabbildung und der Preisabbildung.

Aufgabe

Im Laden kostet Schokolade ${}1$ €, Kartoffeln ${}4$ € und Spinat ${}2$ € pro Tafel bzw. Sack bzw. Packung. Oma Müller kauft zwei Tafeln Schokolade, drei Säcke Kartoffeln und drei Packungen Spinat und zahlt dafür ${}20$ €. Mustafa ist vom Einkauf etwas enttäuscht und sagt: „wenn du zwei Säcke Kartoffeln und eine Packung Spinat weniger und dafür zehn Tafeln mehr gekauft hättest, so hätte das genau gleich viel gekostet“. Gabi Hochster ist zu Besuch und sagt: „oder wenigstens einen Sack Kartoffeln weniger und dafür vier Tafeln mehr, das hätte den Preis auch nicht geändert“.

1. Finde weitere Möglichkeiten, den Einkauf abzuändern, ohne den Gesamtpreis zu ändern.
2. Bestimme den Kern ${}K\subseteq \mathbb {Q} ^{3}$ der Preisabbildung.
3. Welche Elemente des Kerns lassen sich im eingangs beschriebenen Kontext sinnvoll interpretieren (wenn nur ganzzahlige Einkäufe möglich sind)?

Aufgabe *

Bestimme den Kern der durch die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&3&0&-1\\4&2&2&5\end{pmatrix}}\,$

gegebenen linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}.$

Aufgabe *

Bestimme den Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}2&1&5&2\\3&-2&7&-1\\2&-1&-4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Es sei ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die durch die lineare Gleichung ${}5x+7y-4z=0$ gegebene Ebene. Bestimme eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

derart, dass das Bild von ${}\varphi$ gleich ${}E$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Bild einer Geraden ${}G\subseteq K^{n}$ unter einer linearen Abbildung ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ entweder eine Gerade oder ein Punkt im ${}K^{m}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix über dem Körper ${}K$, ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ die zugehörige lineare Abbildung und ${}Mx=0$ das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem. Zeige, dass die Lösungsmenge des Systems gleich dem Kern von ${}\varphi$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix über dem Körper ${}K$, ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ die zugehörige lineare Abbildung und ${}Mx=c$ das (vom Störvektor ${}c\in K^{m}$ abhängige) zugehörige lineare Gleichungssystem. Zeige, dass die Lösungsmenge des Systems gleich dem Urbild von ${}c$ unter der linearen Abbildung ${}\varphi$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ eine lineare Abbildung. Zeige, dass das Urbild eines Punktes ${}Q\in K^{m}$ ein affiner Unterraum des ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe *

Ergänze den Beweis zu Satz 35.10 um die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n\in \mathbb {N}$. Es sei ${}v_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, eine Basis des ${}K^{n}$ und seien ${}w_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, Elemente in ${}K^{m}$. Zeige, dass es genau eine lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

mit

$\varphi (v_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$

gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die Addition

$+\colon \mathbb {Q} ^{2}=\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q}$

eine lineare Abbildung ist. Wie sieht die Matrix dieser Abbildung bezüglich der Standardbasis aus?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen. Bestimme die Anzahl der linearen Abbildungen

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}m,n\in \mathbb {N}$ und ${}\varphi \colon K^{m}\rightarrow K^{n}$ eine lineare Abbildung. Zeige, dass der Graph der Abbildung ein Untervektorraum von ${}K^{m}\times K^{n}$ ist.

Aufgabe

Mustafa Müller hat seinen neunten Geburtstag. Für die Feier backt seine Oma drei Himbeerkuchen, zwei Käsekuchen und vier Apfelkuchen. Berechne die insgesamt benötigten Zutaten mit Hilfe von Beispiel 35.12.

Aufgabe

Beschreibe die Situation aus Beispiel 31.4 mit Hilfe einer linearen Abbildung.

Aufgabe

In einer Kekspackung befinden sich Schokokekse, Waffelröllchen, Mandelsterne und Nougatringe. Die Kalorien, der Vitamin C-Gehalt und der Anteil an linksdrehenden Fettsäuren werden durch folgende Tabelle (in geeigneten Maßeinheiten) wiedergegeben:

Sorte	Kalorien	Vitamin C	Fett
Schokokeks	10	5	3
Waffelröllchen	8	7	6
Mandelstern	7	3	1
Nougatring	12	0	5

a) Beschreibe mit einer Matrix die Abbildung, die zu einem Verzehrtupel ${}(x,y,z,w)$ das Aufnahmetupel ${}(K,V,F)$ berechnet.

b) Heinz isst ${}100$ Schokokekse. Berechne seine Vitaminaufnahme.

c) Ludmilla isst ${}10$ Nougatringe und ${}11$ Waffelröllchen. Berechne ihre Gesamtaufnahme an Nährstoffen.

d) Peter isst ${}5$ Mandelsterne mehr und ${}7$ Schokokekse weniger als Fritz. Bestimme die Differenz ihrer Kalorienaufnahme.

Aufgabe *

Aus den Rohstoffen ${}R_{1},R_{2}$ und ${}R_{3}$ werden verschiedene Produkte ${}P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
${}P_{1}$	${}6$	${}2$	${}3$
${}P_{2}$	${}4$	${}1$	${}2$
${}P_{3}$	${}0$	${}5$	${}2$
${}P_{4}$	${}2$	${}1$	${}5$

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

	${}P_{1}$	${}P_{2}$	${}P_{3}$	${}P_{4}$
	${}6$	${}4$	${}7$	${}5$

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
	${}12$	${}9$	${}13$

Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?

Aufgabe *

Die Zeitungen ${}A,B$ und ${}C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit ${}100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

1. Die Abonnenten von ${}A$ bleiben zu ${}80\%$ bei ${}A$, ${}10\%$ wechseln zu ${}B$, ${}5\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}5\%$ werden Nichtleser.
2. Die Abonnenten von ${}B$ bleiben zu ${}60\%$ bei ${}B$, ${}10\%$ wechseln zu ${}A$, ${}20\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}10\%$ werden Nichtleser.
3. Die Abonnenten von ${}C$ bleiben zu ${}70\%$ bei ${}C$, niemand wechselt zu ${}A$, ${}10\%$ wechseln zu ${}B$ und ${}20\%$ werden Nichtleser.
4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je ${}10\%$ für ein Abonnement von ${}A,B$ oder ${}C$, die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je ${}20000$ Abonnenten und es gibt ${}40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls ${}100000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Aufgabe

Die Telefonanbieter ${}A,B$ und ${}C$ kämpfen um einen Markt, wobei die Marktaufteilung im Jahr ${}j$ durch das Kundentupel ${}K_{j}=(a_{j},b_{j},c_{j})$ ausgedrückt wird (dabei steht ${}a_{j}$ für die Anzahl der Kunden von ${}A$ im Jahr ${}j$ usw.). Es sind regelmäßig folgende Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres zu beobachten.

1. Die Kunden von ${}A$ bleiben zu ${}80\%$ bei ${}A$ und wechseln zu je ${}10\%$ zu ${}B$ bzw. zu ${}C$.
2. Die Kunden von ${}B$ bleiben zu ${}70\%$ bei ${}B$ und wechseln zu ${}10\%$ zu ${}A$ und zu ${}20\%$ zu ${}C$.
3. Die Kunden von ${}C$ bleiben zu ${}50\%$ bei ${}C$ und wechseln zu ${}20\%$ zu ${}A$ und zu ${}30\%$ zu ${}B$.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die das Kundentupel ${}K_{j+1}$ aus ${}K_{j}$ berechnet.

b) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel ${}(12000,10000,8000)$ innerhalb eines Jahres?

c) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel ${}(10000,0,0)$ in vier Jahren?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit

$\varphi {\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\7\end{pmatrix}},\,\varphi {\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}}$

gegeben. Berechne

$\varphi {\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ eine lineare Abbildung. Zeige, dass der Kern von ${}\varphi$ ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Auf dem reellen Vektorraum

${}G=\mathbb {R} ^{4}\,$

der Glühweine betrachten wir die beiden linearen Abbildungen

$\pi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}z\\n\\r\\s\end{pmatrix}}\longmapsto 8z+9n+5r+s,$

und

$\kappa \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}z\\n\\r\\s\end{pmatrix}}\longmapsto 2z+n+4r+8s.$

Wir stellen uns ${}\pi$ als Preisfunktion und ${}\kappa$ als Kalorienfunktion vor. Man bestimme Basen für ${}\operatorname {kern} \pi$, für ${}\operatorname {kern} \kappa$ und für ${}\operatorname {kern} (\pi \times \kappa )$.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Familie von Vektoren im ${}K^{n}$. Zeige, dass für die lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{m}\longrightarrow K^{n},\,(s_{1},\ldots ,s_{m})\longmapsto \sum _{i=1}^{m}s_{i}v_{i},$

die folgenden Beziehungen gelten.

1. ${}\varphi$ ist surjektiv genau dann, wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ ein Erzeugendensystem von ${}K^{n}$ ist.
2. ${}\varphi$ ist bijektiv genau dann, wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr ${}j$ wird daher durch ein ${}5$-Tupel

${}B_{j}=\left(b_{1,j},\,b_{2,j},\,b_{3,j},\,b_{4,j},\,b_{5,j}\right)\,$

angegeben.

Von den Traglingen erreichen ${}7/8$-tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen ${}9/10$-tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen ${}5/6$-tel das reife Alter und von den Reifen erreichen ${}2/3$-tel das fünfte Jahr.

Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und ${}10$ Halbstarke zeugen ${}5$ Nachkommen und ${}10$ Reife zeugen ${}8$ Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand ${}B_{j+1}$ aus dem Bestand ${}B_{j}$ berechnet.

b) Was wird aus dem Bestand ${}\left(200,\,150,\,100,\,100,\,50\right)$ im Folgejahr?

c) Was wird aus dem Bestand ${}\left(0,\,0,\,100,\,0,\,0\right)$ in fünf Jahren?