Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 53

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Berechne

$5^{\frac {2}{3}}$

bis auf einen Fehler von ${}1$.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl und ${}q=n/m\in \mathbb {Q}$. Zeige, dass die durch

${}b^{q}:={\left(b^{n}\right)}^{1/m}\,$

definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ${}q$ ist.

Aufgabe *

Berechne

$2^{\frac {9}{10}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe

Berechne

$5^{\frac {3}{7}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe *

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$

stetig ist.

Aufgabe *

Es sei ${}q\in \mathbb {Q}$ fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{q},$

stetig ist.

Aufgabe *

Entscheide, ob die reelle Folge

${}x_{n}={\frac {5n^{\frac {3}{2}}+4n^{\frac {4}{3}}+n}{7n^{\frac {5}{3}}+6n^{\frac {3}{2}}}}\,$

(mit ${}n\geq 1$) in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe *

Entscheide, ob die reelle Folge

${}x_{n}={\frac {3n^{\frac {5}{4}}-2n^{\frac {4}{3}}+n}{4n^{\frac {7}{5}}+5n^{\frac {1}{2}}+1}}\,$

(mit ${}n\geq 1$) in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Zeige, dass der einzige Gruppenhomomorphismus

$(\mathbb {Q} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {Q} _{+},\cdot ,1)$

die konstante Abbildung auf ${}1$ ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine monotone Funktion und es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass ${}g$ auf ${}\mathbb {Q}$ nicht unbedingt mit ${}f$ übereinstimmen muss.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine monotone Funktion und es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass ${}g$ ebenfalls monoton ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige monotone Funktion und es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass ${}g$ auf ${}\mathbb {Q}$ mit ${}f$ übereinstimmt.

Aufgabe *

Vergleiche die beiden Zahlen

${\sqrt {3}}^{-{\frac {9}{4}}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {3}}^{-{\sqrt {5}}}.$

Aufgabe

Vergleiche die drei Zahlen

$2^{\sqrt {3}},\,4,\,3^{\sqrt {2}}.$

Aufgabe

Berechne

${\sqrt {2}}^{\sqrt {3}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
2. Es ist ${}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion ${}\neq 0$, die die Gleichung

${}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R}$ erfüllt. Zeige, dass ${}f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein ${}b>0$ mit ${}f(x)=b^{x}$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass eine Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto b^{x},$

aus einem arithmetischen Mittel ein geometrisches Mittel macht.

Aufgabe *

Es sei

${}f(x)=a^{x}\,$

eine Exponentialfunktion mit ${}a\neq 1$. Zu jedem ${}x\in \mathbb {R}$ definiert die Gerade durch die beiden Punkte ${}(x,f(x))$ und ${}(x+1,f(x+1))$ einen Schnittpunkt mit der ${}x$-Achse, den wir mit ${}s(x)$ bezeichnen. Zeige

${}s(x+1)=s(x)+1\,.$

Skizziere die Situation.

Aufgabe *

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl und

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

die zugehörige Exponentialfunktion. Zeige

${}{\left(b^{x}\right)}^{x'}=b^{xx'}\,$

für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$ unter Bezug auf die entsprechende Gleichung für rationale Argumente.

Aufgabe

Skizziere die Graphen zu den Funktionen

${}f_{k}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}\,$

für ${}n=2,3,4,5,6$ auf ${}[-3,3]$.

Aufgabe *

Ordne die Zahlen

$\exp \left(0,6\right),\,\exp \left(0,7\right){\text{ und }}2$

gemäß ihrer Größe.

Aufgabe

Für ${}N\in \mathbb {N}$ und ${}x\in \mathbb {R}$ sei

${}R_{N+1}(x)=\exp x-\sum _{n=0}^{N}{\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\,$

das Restglied der Exponentialreihe. Zeige, dass für ${}\vert {x}\vert \leq 1+{\frac {1}{2}}N$ die Restgliedabschätzung

${}\vert {R_{N+1}(x)}\vert \leq {\frac {2}{(N+1)!}}\vert {x}\vert ^{N+1}\,$

gilt.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

mit ${}f(0)=1$ und mit ${}f(x+1)=2f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$, die von ${}2^{x}$ verschieden ist.

Aufgabe

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich ${}2\%$. Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?

Aufgabe

Man bastle einen Rechenschieber, der die Multiplikation von positiven reellen Zahlen ausführt.

Aufgabe

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis ${}b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.

1. Es gilt ${}\log _{b}(y\cdot z)=\log _{b}y+\log _{b}z$.
2. Es gilt ${}\log _{b}y^{u}=u\cdot \log _{b}y$ für ${}u\in \mathbb {R}$.
3. Es gilt

   ${}\log _{a}y=\log _{a}{\left(b^{\log _{b}y}\right)}=\log _{b}y\cdot \log _{a}b\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{u},$

stetig ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne

$3^{\frac {4}{5}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Vergleiche

$5^{-{\frac {4}{7}}}\,\,{\text{ und }}\,\,5^{-{\frac {5}{9}}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine rationale Zahl zwischen den beiden Zahlen ${}2^{\sqrt {5}}$ und ${}3^{\sqrt[{3}]{2}}$ folgere daraus, welche größer ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

${}x_{n}={\frac {-2n^{\frac {6}{5}}+6n^{\frac {5}{3}}+n^{2}}{3n^{\frac {7}{3}}+4n^{\frac {12}{5}}}}\,$

(mit ${}n\geq 1$) in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit der Eigenschaft, dass es keine stetige Funktion

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

gibt, die auf ${}\mathbb {Q}$ mit ${}f$ übereinstimmt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$f\colon (\mathbb {Q} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1)$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein reelles ${}b>0$ mit ${}f(x)=b^{x}$ für alle ${}x\in \mathbb {Q}$ gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne ${}e^{3}$ mit Hilfe der Exponentialreihe bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{1000}}$.

Die Restgliedabschätzung aus Aufgabe 53.23 darf verwendet werden.