Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Vorlesung 53/latex
\setcounter{section}{53}
\zwischenueberschrift{Die rationalen Exponentialfunktionen}
Zu einer positiven Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus einem angeordneten Körper $K$ haben wir in der 27. Vorlesung die ganzzahlige Exponentialfunktion
\maabbele {} {\Z} {K
} {n} {b^n
} {,}
zur Basis $b$ besprochen, die einer ganzen Zahl $n$ den Wert
\mathl{b^n}{} zuordnet. Die entscheidende Gesetzmäßigkeit ist dabei
\zusatzklammer {vergleiche
Lemma 27.8 (4)} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^{m+n}
}
{ =} { b^m \cdot b^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für den Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man den Definitionsbereich wesentlich erweitern, und zwar in zwei Schritten. Wir besprechen zunächst die Ausdehnung von $\Z$ auf $\Q$ und anschließend die Ausdehnung von $\Q$ auf $\R$. Ausgangspunkt ist die Bezeichnungsweise
\mathl{b^{1/2}}{} für $\sqrt{b}$, die auf den ersten Blick willkürlich erscheinen mag, die sich aber durch die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } } \cdot b^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }
}
{ =} { \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}
}
{ =} { b
}
{ =} { b^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
überzeugend rechtfertigen lässt.
\inputdefinition
{}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ { \frac{ r }{ s } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ s
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^q
}
{ =} { b^{ { \frac{ r }{ s } } }
}
{ \defeq} { \sqrt[s] {b^r}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Insbesondere setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b^{ { \frac{ 1 }{ s } } }
}
{ =} { \sqrt[s] {b}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stimmt diese Schreibweise mit den früher gemachten Festlegungen überein. Die Existenz und Eindeutigkeit der Zahlen
\mathl{\sqrt[s]{b^r}}{}
\zusatzklammer {wenn also Zähler und Nenner fixiert sind} {} {}
ist durch
Satz 48.7
gesichert
\zusatzklammer {insbesondere sind dies stets positive Zahlen} {} {.}
Auf dieser Eindeutigkeit beruht auch das Potenzprinzip, das wir in der 48. Vorlesung erwähnt haben: Zwei positive reelle Zahlen stimmen bereits dann überein, wenn eine gewisse gleichnamige Potenz von ihnen übereinstimmt. Eine weitere Anwendung dieses Prinzips ist die Wohldefiniertheit der Definition von $b^q$. Man muss sich nämlich noch klar machen, dass bei verschiedenen Bruchdarstellungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} { { \frac{ r }{ s } }
}
{ =} { { \frac{ t }{ u } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das gleiche herauskommt. Dies ergibt sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt[s]{ b^r }
}
{ =} { \sqrt[su]{ b^{ru} }
}
{ =} { \sqrt[su]{ b^{st} }
}
{ =} { \sqrt[ u]{ b^t }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei gilt die erste Gleichung, da die $su$-te Potenz
\zusatzklammer {nach
Lemma 11.8 (2)} {} {}
auch links $b^{ru}$ ergibt
\zusatzklammer {entsprechend für die rechte Gleichung} {} {.}
Statt mit
\mathl{\sqrt[s] {b^r}}{} kann man genauso gut mit
\mathl{{ \left( \sqrt[s]{b} \right) }^r}{} arbeiten. Die $s$-te Potenz von
\mathl{\sqrt[s]{ b^r }}{} ist natürlich $b^r$. Es ist aber nach
Lemma 23.12 (4)
auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \left( \sqrt[s]{b} \right) }^r \right) }^s
}
{ =} { { \left( \sqrt[s]{b} \right) }^{r \cdot s}
}
{ =} { { \left( { \left( \sqrt[s]{b} \right) }^s \right) }^r
}
{ =} { b^r
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Q/q auf b^q/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $b$ eine
\definitionsverweis {positive}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}}
\faktuebergang {Dann besitzt die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\Q} {\R
} {q} {b^q
} {,}
folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{q+q'}
}
{ = }{b^q \cdot b^{q'}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q,q'
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{-q}
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ b^q } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^q
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^q
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $f$
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $f$
\definitionsverweis {streng fallend}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (b^{q})^{q'}
}
{ = }{ b^{ q \cdot q'}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q,q'
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ab)^q
}
{ = }{ a^q \cdot b^q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungacht{Wir können annehmen, dass die Exponenten mit einem gemeinsamen Nenner vorliegen, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ { \frac{ r }{ s } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q'
}
{ = }{ { \frac{ t }{ s } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist unter Verwendung von
Lemma 27.8 (4)
\zusatzklammer {angewendet für die Basis $\sqrt[s]{b}$ und die ganzzahligen Exponenten $r$ und $t$} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ b^q \cdot b^{q'}
}
{ =} { b^{ { \frac{ r }{ s } } } \cdot b^{ { \frac{ t }{ s } } }
}
{ =} { { \left( \sqrt[s]{b} \right) }^r { \left( \sqrt[s]{b} \right) }^t
}
{ =} { { \left( \sqrt[s]{b} \right) }^{r +t}
}
{ =} { b^{ { \frac{ r+t }{ s } } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { b^{q+q'}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ { \frac{ r }{ s } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist unter Verwendung von
Lemma 27.8 (5)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^{-q}
}
{ =} {b^{ - { \frac{ r }{ s } } }
}
{ =} { { \left( \sqrt[s]{b} \right) }^{-r}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \left( \sqrt[s]{b} \right) }^{r} } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ b^{ { \frac{ r }{ s } } } } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { { \frac{ 1 }{ b^q } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}{Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} { { \frac{ r }{ s } }
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach
Lemma 19.13 (8)
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^r
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und davon ist auch die $s$-te Wurzel $> 1$.
}{Wird ähnlich wie (3) begründet.
}{Dies folgt aus (1) und (3). Es sei nämlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q'
}
{ > }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q'
}
{ =} { q +u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^{q'}
}
{ =} { b^{q+u}
}
{ =} { b^q b^u
}
{ >} { b^q
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Wird ähnlich wie (5) begründet.
}{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ { \frac{ r }{ s } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q'
}
{ = }{ { \frac{ t }{ u } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist unter Verwendung von
Lemma 23.12 (4)
und
Satz 48.7 (1)
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( b^q \right) }^{q'}
}
{ =} { { \left( b^{ \frac{ r }{ s } } \right) }^{ { \frac{ t }{ u } } }
}
{ =} { { \left( \sqrt[s]{b}^r \right) }^{ { \frac{ t }{ u } } }
}
{ =} { \sqrt[u] { { \left( \sqrt[s]{b}^r \right) }^{ t } }
}
{ =} { \sqrt[u] { \sqrt[s]{b}^{rt} }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sqrt[u] { \sqrt[s]{b^{rt} } }
}
{ =} { \sqrt[us] { b^{rt} }
}
{ =} { b^{ \frac{ rt }{ us } }
}
{ =} {b^{q q'}
}
}
{}{.}
}{Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} { { \frac{ r }{ s } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist unter Verwendung von
Satz 48.7 (2)
und
Lemma 23.12 (5)
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(ab)^q
}
{ =} { (ab)^{ { \frac{ r }{ s } } }
}
{ =} { { \left( \sqrt[s]{ab} \right) }^r
}
{ =} { { \left( \sqrt[s]{a} \sqrt[s]{b} \right) }^r
}
{ =} { \sqrt[s]{a}^r \sqrt[s]{b}^r
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { a^q b^q
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
Diese Eigenschaften sind für ganzzahlige Argumente aus
Lemma 27.8
und aus
Lemma 27.9
vertraut. Die erste Eigenschaft nennt man auch die \stichwort {Funktionalgleichung der Exponentialfunktion} {.} Sie bedeutet, dass zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {(\Q,+,0)} { (\R_{+}, \cdot, 1)
} {q} {b^q
} {,}
vorliegt. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind diese nach
Satz 53.2 (6)
bzw.
Satz 53.2 (7)
und
Lemma 25.15
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}
\zwischenueberschrift{Die reellen Exponentialfunktionen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Exponentials(2).svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Exponentialfunktionen für die Basen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ = }{ 10, { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $e$.} }
\bildlizenz { Exponentials(2).svg } {} {HB} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Die oben auf den rationalen Zahlen definierten Exponentialfunktionen besitzen eine Fortsetzung auf die reellen Zahlen, die entsprechend mit
\maabbeledisp {} { \R } { \R
} { x } { b^x
} {,}
bezeichnet wird. Wie ist diese zu definieren, welche Bedeutung soll beispielsweise der Ausdruck
\mathdisp {2^{\sqrt{3} }} { }
bekommen? Die richtige Idee ist hier, den Exponenten $\sqrt{3}$ durch eine rationale Folge $q_n$ zu approximieren
\zusatzklammer {etwa durch die Dezimalbruchfolge oder eine Heron-Folge} {} {}
und dann die Folge
\mathl{2^{q_n}}{} von Potenzen mit rationalen Exponenten zu betrachten, die wir im ersten Teil der Vorlesung eingeführt haben. Wenn diese Folge konvergiert, so hat man einen sinnvollen Kandidaten für
\mathl{2^{\sqrt{3} }}{.} Dieser Ansatz erfordert aber, dass man zeigen kann, dass dieser Grenzwert unabhängig von der gewählten Folge $q_n$ ist. Dazu dient das folgende Lemma.
\inputfaktbeweis
{Q nach R/Monoton wachsend/Limes von unten/Fortsetzung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {f} {\Q} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {monotone}{}{}
Funktion.}
\faktfolgerung {Dann ist für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jede rationale streng wachsende Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \in }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ < }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die gegen $x$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
die Folge
\mathl{f(x_n)}{} konvergent mit einem nur von $x$ abhängigen Grenzwert.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Ohne Einschränkung sei $f$ wachsend. Es sei $x_n$ eine rationale streng wachsende Folge, die gegen $x$ konvergiert. Dann ist auch
\mathl{f(x_n)}{} eine wachsende Folge. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \geq }{x
}
{ \geq }{x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(z)
}
{ \geq} {f(x_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Bildfolge ist also wachsend und nach oben beschränkt, daher besitzt sie nach
Korollar 47.3
einen Grenzwert in $\R$. Es sei $y_n$ eine weitere rationale streng wachsende Folge, die gegen $x$ konvergiert. Dann gibt es zu jedem $n$ ein $m$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \leq} {y_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der Monotonie von $f$ überträgt sich dies auf die Bildfolgen, d.h. es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x_n)
}
{ \leq} { f(y_m)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n)
}
{ \leq} { \lim_{n \rightarrow \infty} f(y_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wegen der Symmetrie der Situation konvergieren beide Folgen gegen den gleichen Grenzwert.
Die vorstehende Situation bedeutet, dass man für Zahlen $x$ durch die Festlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer beliebigen rationalen streng wachsenden Folge $x_n$, die gegen $x$ konvergiert, eine auf ganz $\R$ definierte Funktion erhält. Da wir für $f$ nicht die Stetigkeit voraussetzen, kann sich für rationale Zahlen $x$ der Funktionswert bei dieser Konstruktion sogar ändern.
Dieses Fortsetzungsverfahren wenden wir auf die Exponentialfunktion an, d.h. für $x$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b^x
}
{ \defeq} { \lim_{n \rightarrow \infty} b^{x_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer beliebigen streng wachsenden Folge aus rationalen Zahlen $x_n$, die gegen $x$ konvergiert. Für rationale Zahlen ändert sich dabei der Wert nicht, da die rationalen Exponentialfunktionen stetig sind. Dies ergibt sich genau so wie die Stetigkeit der auf $\R$ definierten Exponentialfunktionen weiter unten aus der Funktionalgleichung und der Monotonie, siehe
Aufgabe 53.5.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $b$ eine positive \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.} Die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {b^x } {,} heißt \definitionswort {Exponentialfunktion}{} zur \stichwort {Basis} {} $b$.
}
Die in Satz 53.2 gezeigten Eigenschaften übertragen sich auf die reellen Zahlen.
\inputfaktbeweis
{Reelle Exponentialfunktion/Basis/Monotone_Fortsetzung/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $b$ eine
\definitionsverweis {positive}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}}\faktuebergangpos {Dann besitzt die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {b^x
} {,}
folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{x+x'}
}
{ = }{ b^x \cdot b^{x'}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x'
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{-x}
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ b^x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^x
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^x
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $f$
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $f$
\definitionsverweis {streng fallend}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (b^{x})^{x'}
}
{ = }{ b^{ x \cdot x'}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x'
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ab)^x
}
{ = }{ a^x \cdot b^x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen (1), die anderen Eigenschaften ergeben sich ähnlich, siehe
Aufgabe 53.16.
Es sei $x_n$ eine wachsende rationale Folge, die gegen $x$ konvergiert, und $y_n$ eine wachsende Folge, die gegen $x'$ konvergiert. Dann ist nach
Lemma 44.12 (1)
die Folge
\mathl{x_n+y_n}{} eine wachsende rationale Folge, die gegen
\mathl{x+x'}{} konvergiert. Somit ist unter Verwendung
der rationalen Funktionalgleichung
und von
Lemma 44.12 (2)
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ b^{x+x'}
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} b^{ x_n+y_n}
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( b^{ x_n} \cdot b^{y_n} \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} b^{ x_n} \right) } \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} b^{y_n} \right) }
}
{ =} { b^x b^{x'}
}
}
{}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Reelle Exponentialfunktion/Stetigkeit/Nullpunkt und Funktionalgleichung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $b$ eine
\definitionsverweis {positive}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}}\faktuebergangpos {Dann ist die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R } {\R
} {x} {b^x
} {,}}
\faktfolgerung {\definitionsverweis {stetig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir zeigen zuerst die Stetigkeit im Nullpunkt. Da nach
Aufgabe 48.22
die Folge
\mathbed {\sqrt[n]{b}} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
gegen $1$ konvergiert, und da die Exponentialfunktion wachsend ist, gibt es zu jedem positiven $\epsilon$ ein positives $\delta$ mit der Eigenschaft, dass aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ \leq} { \delta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\betrag { 1 - b^x }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt. Es sei nun $x$ beliebig und $\epsilon$ vorgegeben. Wir betrachten ein $\delta$, das zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon'
}
{ =} { { \frac{ \epsilon }{ b^x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Stetigkeit im Nullpunkt sichert. Dann gilt unter Verwendung von
Satz 53.5 (1)
für $x'$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x'-x }
}
{ \leq} { \delta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { b^x - b^{x'} }
}
{ =} { \betrag { b^x { \left( 1 - b^{x'-x } \right) } }
}
{ =} { \betrag { b^x } \cdot \betrag { 1 - b^{x'-x } }
}
{ \leq} { b^x \cdot { \frac{ \epsilon }{ b^x } }
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Reelle Exponentialfunktion/Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {positive}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}}\faktuebergangpos {Dann ist die Exponentialfunktion
\maabbeledisp {f} {(\R,+,0) } {(\R_+, \cdot, 1)
} {x} {b^x
} {,}}
\faktfolgerung {ein
\definitionsverweis {bijektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Homomorphieeigenschaft folgt direkt aus
der Funktionalgleichung,
die Injektivität folgt aus der
der Monotonieeigenschaft
in Zusammenhang mit
Lemma 25.15.
Zum Nachweis der Surjektivität sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Nach
Lemma 27.10
gibt es ganze Zahlen
\mathl{n,m}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^n
}
{ \leq} {y
}
{ \leq} {b^m
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund
des Zwischenwertsatzes,
den wir wegen der in
Satz 53.6
bewiesenen Stetigkeit der Exponentialfunktionen anwenden können, gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^x
}
{ =} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was die Surjektivität bedeutet.
Eine besonders wichtige Exponentialfunktion ergibt sich, wenn man als Basis die
\definitionsverweis {Eulersche Zahl}{}{}
$e$ nimmt, die wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e
}
{ \defeq} { \lim_{ n \rightarrow \infty} { \left( 1+ { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eingeführt haben. In
Bemerkung 48.13
haben wir erwähnt, dass diese Zahl mit
\mathdisp {\sum_{k = 0}^\infty { \frac{ 1 }{ k ! } }} { }
übereinstimmt. Für diese Exponentialfunktion gibt es ebenfalls eine weitere Darstellung, die sich an dieser Reihe orientiert, die Darstellung als Potenzreihe. Diese Übereinstimmung können wir hier nicht beweisen.
\inputfakt{Reelle Exponentialfunktion/Grenzwert und Potenzreihe/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Für die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
zur Basis $e$ gilt die Darstellung}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e^x
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty { \frac{ x^k }{ k! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Eine Besonderheit dieser Funktion ist, dass sie mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Die Steigung der Tangenten an einem Punkt des Graphen stimmt also stets mit dem Funktionswert überein. Der Satz bedeutet insbesondere, dass die Reihe für jedes $x$ konvergiert, wobei diese Konvergenz im Allgemeinen recht schnell ist.
\zwischenueberschrift{Logarithmen}
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die reellen Exponentialfunktionen
\maabbeledisp {} {\R} {\R_+
} {x} {b^x
} {,}
stetig, streng wachsend oder streng fallend und bijektiv. Wir betrachten die Umkehrfunktionen dazu.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer positiven reellen Zahl
\mathbed {b>0} {}
{b \neq 1} {}
{} {} {} {,}
wird der
\definitionswort {Logarithmus zur Basis}{}
$b$ als
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
zur
\definitionsverweis {reellen Exponentialfunktion}{}{}
zur Basis $b$ definiert. Der Wert dieser Funktion an der Stelle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird mit
\mathdisp {\log_{ b } x} { }
bezeichnet.
}
Aus der Umkehreigenschaft ergeben sich direkt die Beziehungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \log_{ b } b^x
}
{ =} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b^{ \log_{ b } y }
}
{ =} { y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Logarithmus zur Basis $e$ wird auch als \stichwort {natürlicher Logarithmus} {,} geschrieben
\mathl{\ln x}{,} bezeichnet. Die Logarithmen sind nach
Satz 53.6
und
Satz 52.11
stetige, bijektive Abbildungen
\maabbeledisp {} {\R_+} { \R
} {x} { \log_{ b } x
} {.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Fonctionslog3.svg} }
\end{center}
\bildtext {Logarithmen zu verschiedenen Basen} }
\bildlizenz { Fonctionslog3.svg } {} {HB} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Die folgenden Regeln ergeben sich direkt aus der Definition der Logarithmen als Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen.
{Logarithmus/Umkehrfunktion/Rechenregeln/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Logarithmen zur Basis}{}{}
$b$}
\faktuebergang {erfüllen die folgenden Rechenregeln.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \log_{ b } (y \cdot z)
}
{ = }{ \log_{ b } y + \log_{ b } z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\log_{ b } y^u
}
{ = }{u \cdot \log_{ b } y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\log_{ a } y
}
{ =} { \log_{ a } { \left( b^{ \log_{ b } y } \right) }
}
{ =} { \log_{ b } y \cdot \log_{ a } b
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 53.27. }
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Sliderule 2005.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Ein Rechenschieber kann eine Multiplikation durch eine vektorielle Addition (verschieben) ausführen, da die Zahlen logarithmisch angeordnet sind.} }
\bildlizenz { Sliderule 2005.jpg } {} {Roger McLassus 1951} {Commons} {} {}
\inputbemerkung
{}
{
Das Prinzip des Rechenschiebers beruht auf den Logarithmen. Man möchte die reellen Zahlen
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
miteinander multiplizieren. Man berechnet zu einer fixierten Basis $b$ die zugehörigen Logarithmen, also
\mathkor {} {r = \log_{ b } x} {und} {s = \log_{ b } y} {.}
Dann addiert man
\mathl{r+s}{} und berechnet davon den Wert der Exponentialfunktion zur Basis $b$. Dies ist nach
Lemma 53.10 (1)
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b^{r+s}
}
{ =} { b^{ \log_{ b } x + \log_{ b } y }
}
{ =} { b^{ \log_{ b } xy }
}
{ =} { xy
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also das gesuchte Produkt. Die Berechnungen des Logarithmus und der Exponentialfunktion können dabei durch hinreichend genaue Wertetabellen oder eben durch eine logarithmische Skala auf dem Rechenschieber ersetzt werden. Die Addition der Logarithmen wird dabei mechanisch durch das Verschieben der beweglichen Skala bewerkstelligt. Auf einer logarithmischen Skala werden die Zahlen zwischen
\mathkor {} {1} {und} {10} {}
auf einer Strecke so angeordnet, dass die
\zusatzklammer {auf der üblichen Skala} {} {}
Stelle
\mathl{\log_{ 10 } y}{} mit $y$ bezeichnet wird. Die Skala ergibt sich auch, wenn man auf dem Graphen des Logarithmus die Werte an den Stellen zwischen
\mathkor {} {1} {und} {10} {}
markiert und diese Punkte auf die $y$-Achse projiziert.
}