Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 29

Aufwärmaufgaben

Die folgende Aufgabe liefert eine Verallgemeinerung von Korollar 80.7 (Mathematik (Osnabrück 2009-2011)).

Aufgabe

Zeige folgende Aussage über das Dachprodukt: Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{r}$ Vektoren in ${}V$, die miteinander in der Beziehung

${}{\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{r}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{r}\end{pmatrix}}\,$

stehen, wobei ${}M$ eine ${}r\times r$- Matrix bezeichnet. Dann gilt in ${}\bigwedge ^{r}V$ die Beziehung

${}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{r}=(\det M)v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{r}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass die multiplikative Gruppe ${}({\mathbb {C} }^{\times },1,\cdot )$ eine lineare Gruppe ist.

Aufgabe

Zeige, dass die additive Gruppe ${}({\mathbb {C} },0,+)$ eine lineare Gruppe ist.

Aufgabe

Zeige, dass ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$ keine lineare Gruppe über ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$ keine affin-algebraische Gruppe über ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$, versehen mit der diskreten Topologie, über keinem Körper ${}K$ eine affin-algebraische Gruppe ist.

Aufgabe

Bestimme den Zariski-Abschluss der von der Matrix ${}{\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}}$ erzeugten Untergruppe ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$.

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von zwei linearen Gruppen wieder eine lineare Gruppe ist.

Aufgabe

a) Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Wir erinnern an zwei Definitionen für Matrizen.

Eine ${}n\times n$- Matrix der Form

${\begin{pmatrix}b_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&b_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}$

nennt man obere Dreiecksmatrix.

Eine ${}n\times n$-Matrix der Form

${\begin{pmatrix}1&*&\cdots &\cdots &*\\0&1&*&\cdots &*\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&*\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}$

nennt man (obere) Scherungsmatrix.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Menge der invertierbaren ${}n\times n$- oberen Dreiecksmatrizen über ${}K$ eine Untergruppe der ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}\operatorname {ODG} _{n}\!{\left(K\right)}$ die Gruppe der invertierbaren ${}n\times n$- oberen Dreiecksmatrizen über ${}K$. Zeige, dass es einen (natürlichen) surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \operatorname {ODG} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow {\left(K^{\times },\cdot ,1\right)}^{n}$

gibt. Bestimme den Kern von ${}\varphi$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Menge der invertierbaren ${}n\times n$- oberen Scherungsmatrizen über ${}K$ eine Untergruppe der ${}\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}\operatorname {OSG} _{n}\!{\left(K\right)}$ die Gruppe der ${}n\times n$- oberen Scherungsmatrizen über ${}K$. Zeige, dass es einen (natürlichen) surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \operatorname {OSG} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow {\left(K,+,0\right)}^{n-1}$

gibt. Bestimme den Kern von ${}\varphi$.

Zeige in den vorstehenden Aufgaben, dass jeweils eine lineare Gruppe (über einem nicht notwendigerweise algebraisch abgeschlossenen Körper) vorliegt, und dass die Gruppenhomomorphismen algebraisch definiert sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}\operatorname {OSG} _{3}\!{\left(K\right)}$ die Gruppe der ${}3\times 3$- oberen Scherungsmatrizen über ${}K$. Zeige, dass es eine kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow K\longrightarrow \operatorname {OSG} _{3}\!{\left(K\right)}\longrightarrow K^{2}\longrightarrow 0$

gibt, und dass ${}\operatorname {OSG} _{3}\!{\left(K\right)}$ nicht isomorph zu ${}K^{3}$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Zariski-Abschluss der von der Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ erzeugten Untergruppe ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine zyklische Untergruppe ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ bei ${}n\geq 2$ nicht Zariski-dicht ist.

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$ keine lineare Gruppe über ${}K$ ist.