Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 28

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}a\in \mathbb {Z}$, ${}a\neq 0$. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {a}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} /(a)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

$0\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} /(a),\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} \cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} \cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow E\cong \mathbb {Z} /(a)\longrightarrow 0$

führt.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus und

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{n}\,{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{m}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,D\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz

$0\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(D,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{m},\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}$

führt, wobei die Abbildung rechts nicht surjektiv sein muss.

Die nächste Aufgabe beruht auf dem Elementarteilersatz.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus und

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{n}\,{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{m}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,D\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die zugehörige kurze exakte Sequenz, wobei ${}D$ endlich ist. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

$0\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(D,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow E\longrightarrow 0$

führt, wobei ${}E$ isomorph zu ${}D$ ist.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Der ${}R$-Modul

${}{M}^{*}=\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,R\right)}\,$

heißt der duale Modul zu ${}M$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$- Moduln ${}L,M,N$. Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz

$0\longrightarrow {N}^{*}\longrightarrow {M}^{*}\longrightarrow {L}^{*}$

der dualen Moduln führt.

Ein ${}R$- Modul ${}M$ über einem Integritätsbereich heißt Torsionsmodul, wenn es zu jedem ${}v\in M$ ein ${}r\in R$, ${}r\neq 0$, mit ${}rv=0$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}M$ ein ${}R$- Torsionsmodul. Zeige, dass der duale Modul ${}{M}^{*}=0$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein endlich erzeugtes Monoid und

$\gamma \colon M\longrightarrow \mathbb {Z}$

ein Monoidhomomorphismus mit der zugehörigen Spektrumsabbildung

${\mathbb {C} }^{\times }\cong {\left(\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[T,T^{-1}]\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\longrightarrow {\left(\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[M]\right)}\right)}_{\mathbb {C} }$

und dem induzierten stetigen geschlossenen Weg

$S^{1}\longrightarrow {\left(\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[M]\right)}\right)}_{\mathbb {C} }.$

Zeige, dass dieser Weg nullhomotop ist, wenn der Monoidhomomorphismus ${}\gamma$ durch ${}\mathbb {N}$ faktorisiert.

Aufgabe

Es sei ${}M$ das punktierte Spektrum zu ${}R={\mathbb {C} }[U,V,Z]/(U^{2}+V^{2}-Z^{2})$. Man gebe einen expliziten Erzeuger der Fundamentalgruppe von ${}M$ an.

Aufgabe

Es sei

$A={\begin{pmatrix}\xi _{1}&0&\cdots &0\\0&\xi _{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\xi _{n}\end{pmatrix}}$

eine Diagonalmatrix, deren Einträge allesamt Einheitswurzeln ${}\xi _{j}$ in einem Körper ${}K$ seien. Zeige, dass die zugehörige lineare Operation der von ${}A$ erzeugten zyklischen Gruppe auf dem ${}K^{n}\setminus \{0\}$ genau dann fixpunktfrei ist, wenn die Ordnungen der ${}\xi _{j}$ übereinstimmen.

Aufgabe

Wir betrachten die lineare Operation der zyklischen Gruppe ${}\mathbb {Z} /(5)$ auf ${}{\mathbb {C} }^{3}$ durch Potenzen der Matrix

${\begin{pmatrix}\xi &0&0\\0&\xi &0\\0&0&\xi ^{3}\end{pmatrix}},$

wobei ${}\xi$ eine fünfte primitive Einheitswurzel sei. Bestimme den Invariantenring zu dieser Operation. Man gebe einen expliziten Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Spektrums dieses Invariantenringes an.

Aufgabe

Wir betrachten die lineare Operation der symmetrischen Gruppe ${}S_{2}$ auf dem ${}{\mathbb {C} }^{2}$ und es sei

${\mathbb {C} }^{2}\setminus T\longrightarrow {\left({\mathbb {C} }^{2}\backslash S_{2}\right)}\setminus q(T)$

die zugehörige Quotientenabbildung, wobei ${}T$ der Fixraum der Operation sei. Beschreibe die induzierte Abbildung der Fundamentalgruppen.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine nichttriviale Reflektionsgruppe. Zeige, dass zu einer fixpunktfreien, offenen ${}G$- invarianten Teilmenge ${}U\subseteq K^{n}$ das Komplement ${}K^{n}\setminus U$ eine Dimension ${}\geq n-1$ besitzt.

Eine endliche Untergruppe ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ über einem Körper ${}K$ heißt klein, wenn sie keine Pseudoreflektion enthält.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ eine kleine Gruppe. Zeige, dass es eine offene Menge ${}U\subseteq {\left(\operatorname {Spek} {\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\right)}\right)}_{\mathbb {C} }$ gibt, deren Fundamentalgruppe gleich ${}G$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die lineare Operation der zyklischen Gruppe ${}\mathbb {Z} /(3)$ auf ${}{\mathbb {C} }^{4}$ durch Potenzen der Matrix

${\begin{pmatrix}\xi &0&0&0\\0&\xi &0&0\\0&0&\xi ^{2}&0\\0&0&0&\xi ^{2}\end{pmatrix}},$

wobei ${}\xi$ eine dritte primitive Einheitswurzel sei. Bestimme den Invariantenring zu dieser Operation. Man gebe einen expliziten Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Spektrums dieses Invariantenringes an.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass der singuläre Ort der affinen Varietät

${}V{\left(A^{2}-BCD\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}\,$

(über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$) aus drei Geraden besteht, und dass diese die Bilder der Koordinatenachsen des ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ unter der in Beispiel 28.5 besprochenen Quotientenabbildung sind.