Kurs:Körper- und Galoistheorie/16/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 0 | 6 | 0 | 18 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Das Teilen in einem kommutativen Ring .
- Die Ordnung eines Elements in einer Gruppe .
- Ein Algebraautomorphismus auf einer - Algebra .
- Der -te Kreisteilungskörper (über ).
- Ein auflösbares Polynom über einem Körper .
- Der rationale Funktionenkörper in Variablen.
- Man sagt, dass das Element teilt, wenn es ein derart gibt, dass ist.
- Man nennt die kleinste positive Zahl mit die Ordnung von . Wenn alle positiven Potenzen von vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man .
- Ein
bijektiver
-
Algebrahomomorphismus
heißt -Algebraautomorphismus.
- Der -te Kreisteilungskörper ist der
Zerfällungskörper
des Polynoms
über .
- Man sagt, dass das Polynom auflösbar ist, wenn die Körpererweiterung auflösbar ist.
- Unter dem rationalen Funktionenkörper in Variablen versteht man den Quotientenkörper des Polynomringes über einem Körper .
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
- Das Eisensteinsche Irreduzibilitätskriterium (über bzw. ).
- Die Transzendenzgradformel.
- Seien
und
Gruppen,
es sei
ein
Gruppenhomomorphismus
und
ein
surjektiver
Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
- Es sei ein Polynom. Es sei eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass den Leitkoeffizienten nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass nicht den konstanten Koeffizienten teilt. Dann ist irreduzibel in .
- Es sei
eine Kette von
Körpererweiterungen.
Dann ist
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Beweise den Satz, dass der Kern eines Gruppenhomomorphismus ein Normalteiler ist.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise den Satz über die Galoisgruppe zu endlichen Körpern.
Es sei
der Frobeniushomomorphismus, der nach Lemma 16.8 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ein -Automorphismus ist. Daher sind auch die Iterationen Automorphismen, und zwar gilt
Bei ist nach Korollar 4.17 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) für alle , also ist . Für kann nicht die Identität sein, da dies sofort Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) widersprechen würde. Also gibt es verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. Nach Satz 14.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) kann es keine weiteren Automorphismen geben und die Körpererweiterung ist galoissch mit der vom Frobenius erzeugten Gruppe als Galoisgruppe.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (6 Punkte)
Beweise den Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.
Es sei die Primfaktorzerlegung von mit den verschiedenen ungeraden Primzahlen , , und positiven Exponenten (und ). Nach Satz 27.3 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) muss die eulersche Funktion eine Zweierpotenz sein, also
Andererseits gilt nach Lemma 19.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) die Beziehung
(bei
ist der Ausdruck zu streichen).
Da dies eine Zweierpotenz sein muss, dürfen die ungeraden Primzahlen nur mit einem Exponenten
(oder )
auftreten. Ferner muss jede beteiligte Primzahl die Gestalt
haben, also eine Fermatsche Primzahl sein.
Für die andere Richtung muss man aufgrund von
Lemma 27.2 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl
das regelmäßige -Eck konstruierbar ist. Der -te Kreisteilungskörper besitzt nach
Lemma 19.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
den Grad
,
und dieser ist der Zerfällungskörper des -ten Kreisteilungspolynoms und wird von der -ten primitiven Einheitswurzel
erzeugt. Aufgrund von
Satz 26.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
ist somit konstruierbar.
Aufgabe (0 Punkte)