Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 16

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}L$ ein Körper und ${}M$ eine Menge von Ringhomomorphismen von ${}L$ nach ${}L$. Zeige, dass die Menge

${\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x{\text{ für alle }}\varphi \in M\right\}}$

ein Unterkörper von ${}L$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}L$ ein Körper, es sei ${}M$ eine Menge von Automorphismen von ${}L$ nach ${}L$ und es sei ${}H$ die von ${}M$ erzeugte Untergruppe der Automorphismengruppe. Zeige die Gleichheit

$\operatorname {Fix} \,(H)={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x{\text{ für alle }}\varphi \in M\right\}}.$

Aufgabe

Es sei ${}L$ ein Körper und ${}G=\operatorname {Aut} \,L$ die Automorphismengruppe von ${}L$. Begründe die folgenden Beziehungen.

1. Für Untergruppen ${}H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq G$ ist ${}\operatorname {Fix} \,(H_{1})\supseteq \operatorname {Fix} \,(H_{2})$.
2. Für Unterkörper ${}M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq L$ ist ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M_{1})\supseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}M_{2})$.
3. Für eine Untergruppe ${}H\subseteq G$ ist ${}H\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}\operatorname {Fix} \,(H))$.
4. Für einen Unterkörper ${}M\subseteq L$ ist ${}M\subseteq \operatorname {Fix} \,(\operatorname {Gal} \,(L{|}M))$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}H$ eine endliche Gruppe von Körperautomorphismen. Es sei ${}x\in K$. Zeige, dass

$\sum _{\varphi \in H}\varphi (x)\,\,{\text{ und }}\,\,\prod _{\varphi \in H}\varphi (x)$

zum Fixkörper ${}\operatorname {Fix} \,(H)$ gehören.

Aufgabe

Es sei ${}L$ ein Körper und sei

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

ein Automorphismus. Zeige, dass die Einschränkung von ${}\varphi$ auf den Primkörper von ${}L$ die Identität ist.

Aufgabe

Beweise Lemma 11.8 mit Hilfe von Fixkörpern.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}q=p^{e}$, ${}e\geq 1$, eine Primzahlpotenz. Beweise mit Hilfe der verschiedenen äquivalenten Eigenschaften aus Satz 16.6, dass die Körpererweiterung ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ galoissch ist.

Aufgabe

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

$\Phi \colon {\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q}$

bezüglich einer geeigneten ${}{\mathbb {F} }_{p}$- Basis von ${}{\mathbb {F} }_{q}$ für ${}p=2$ und ${}q=4$ bzw. ${}q=8$.

Aufgabe *

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

$\Phi \colon {\mathbb {F} }_{49}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{49}$

bezüglich einer geeigneten ${}{\mathbb {F} }_{7}$- Basis von ${}{\mathbb {F} }_{49}$.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass zwischen ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ und der Multiplikationsabbildung ${}\mu _{f}$, ${}f\in L$, beide aufgefasst als ${}K$- lineare Abbildung von ${}L$ nach ${}L$, weder die Beziehung

${}\mu _{\varphi (f)}=\mu _{f}\circ \varphi \,$

noch die Beziehung

${}\mu _{\varphi (f)}=\varphi \circ \mu _{f}\,$

gelten muss.

Aufgabe *

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und es sei ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ein ${}K$- Automorphismus. Zeige, dass für die Multiplikationsabbildungen zu ${}f\in L$ die Beziehung

${}\mu _{\varphi (f)}=\varphi \circ \mu _{f}\circ \varphi ^{-1}\,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}L$ und ${}L'$ isomorphe Körper. Zeige, dass dann auch die Automorphismengruppen ${}\operatorname {Aut} _{}^{}{\left(L\right)}$ und ${}\operatorname {Aut} _{}^{}{\left(L'\right)}$ in natürlicher Weise zueinander isomorph sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Körperautomorphismen von ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

$\Phi \colon {\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q}$

bezüglich einer geeigneten ${}{\mathbb {F} }_{p}$- Basis von ${}{\mathbb {F} }_{q}$ für ${}p=3$ und ${}q=9$ bzw. ${}q=27$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe. Zeige, dass für jeden Zwischenkörper ${}M$ auch die Erweiterung ${}K\subseteq M$ galoissch ist mit einer ebenfalls zyklischen Galoisgruppe.