Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 20/latex
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In dieser Vorlesung möchten wir zunächst nachweisen, dass es sich bei einem Kreisteilungskörper über $\Q$ um eine Galoiserweiterung handelt, deren Galoisgruppe abelsch ist und eine Struktur besitzt, die unmittelbar mit den Einheitswurzeln zusammenhängt.
\zwischenueberschrift{Kreisteilungskörper als Galoiserweiterung}
Wir kommen nun zur Galoiseigenschaft der Kreisteilungskörper über $\Q$.
\inputfaktbeweis
{Kreisteilungskörper/Ist Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K_n$ der
$n$-\definitionsverweis {te Kreisteilungskörper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( K_n {{|}} \Q )
}
{ \cong} { { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Dabei entspricht der Einheit
\mathl{a \in { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} derjenige Automorphismus
\mathl{\varphi_a \in \operatorname{Gal}\, ( K_n {{|}} \Q )}{,} der eine $n$-te Einheitswurzel $\zeta$ auf $\zeta^a$ abbildet.}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Korollar 19.12
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K_n
}
{ =} { \Q[X]/ (\Phi_{n})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\Phi_{n}$ das $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynom}{}{}
ist. Dieses ist das Produkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Phi_{n}
}
{ = }{ \prod_{i = 1}^{\varphi (n)} (X- z_i)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über alle
\definitionsverweis {primitiven Einheitswurzeln}{}{}
und damit vom Grad
\mathl{{\varphi (n)}}{.} Da der Kreisteilungskörper all diese primitiven Einheitswurzeln enthält, zerfällt das Kreisteilungspolynom über $K_n$ in Linearfaktoren und daher ist $K_n$ der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
des Kreisteilungspolynoms und somit nach
Satz 16.6
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{.}
Es sei nun $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, und zwar diejenige, die bei der obigen Restklassenidentifizierung der Variablen $X$ entspricht. Zu
\mathl{a \in { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} ist $\zeta^a$ ebenfalls eine primitive Einheitswurzel. Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus
\maabbeledisp {} {\Q[X]} { \Q[X]/( \Phi_{n} )
} {X} { \zeta^a
} {.}
Dieser ist surjektiv, da $\zeta^a$ den Kreisteilungskörper erzeugt. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Phi_{n} { \left( \zeta^a \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
induziert dies einen Automorphismus
\maabbeledisp {} { \Q[X]/( \Phi_{n} ) } { \Q[X]/( \Phi_{n} )
} {\zeta} { \zeta^a
} {.}
Dadurch erhalten wir eine Zuordnung
\maabbeledisp {} {( \Z/(n) )^\times} { \operatorname{Gal}\, ( K_n {{|}} \Q )
} {a} { \varphi_a
} {.}
Für
\mathl{a,a' \in { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_{ a a'} (\zeta)
}
{ =} { \zeta^{a a'}
}
{ =} { { \left( \zeta^{a'} \right) }^{a}
}
{ =} { \varphi_a { \left( \zeta^{a'} \right) }
}
{ =} { \varphi_a ( \varphi_{a'} (\zeta) )
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { (\varphi_a \circ \varphi_{a'} ) (\zeta)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
sodass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_{ a a'}
}
{ = }{ \varphi_a \circ \varphi_{a'}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\zusatzklammer {da die Automorphismen auf dem Erzeuger $\zeta$ festgelegt sind} {} {.}
Die Zuordnung ist also ein Gruppenhomomorphismus. Für verschiedene Einheiten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{a'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\zeta^{a}
}
{ \neq }{ \zeta^{a'}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi_a
}
{ \neq }{ \varphi_{a'}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Abbildung ist also injektiv. Da es links und rechts
\mathl{{\varphi (n)}}{} Elemente gibt, ist die Abbildung eine Bijektion.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten den achten
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
$K_8$. Die Einheitengruppe
\mathl{(\Z/(8))^{\times}}{} ist
\mathl{\{1,3,5,7\}}{,} wobei $3,5,7$ die Ordnung $2$ besitzen. Die nach
Satz 20.1
zugehörigen Körperautomorphismen sind neben der Identität die Abbildungen
\mathl{\varphi_3, \, \varphi_5,\, \varphi_7}{,} die auf den Einheitswurzeln
\zusatzklammer {$\zeta$ sei eine primitive achte Einheitswurzel} {} {}
folgendermaßen wirken.
\mathdisp {\varphi_3: \zeta \longleftrightarrow \zeta^3, \, \zeta^2 = { \mathrm i} \longleftrightarrow \zeta^6 =- { \mathrm i} , \, \zeta^5 \longleftrightarrow \zeta^7} { , }
\mathdisp {\varphi_5: \zeta \longleftrightarrow \zeta^5, \, { \mathrm i} =\zeta^2 \longleftrightarrow \zeta^{10} = { \mathrm i} , \, \zeta^3 \longleftrightarrow \zeta^{7}, \, - { \mathrm i} \longleftrightarrow - { \mathrm i}} { , }
und
\mathdisp {\varphi_7: \zeta \longleftrightarrow \zeta^7, \, { \mathrm i} =\zeta^2 \longleftrightarrow \zeta^{14}=- { \mathrm i} , \, \zeta^3 \longleftrightarrow \zeta^5} { . }
}
\inputfaktbeweis
{Abelsche Gruppe/Galoisgruppe einer Galoiserweiterung von Q/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Zu jeder
\definitionsverweis {endlichen}{}{}
\definitionsverweis {abelschen Gruppe}{}{}
$G$}
\faktfolgerung {gibt es eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
deren
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
gleich $G$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
einem Satz, den wir hier nicht beweisen,
lässt sich $G$ als
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{} einer
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{{ \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} auffassen. Es sei
\maabbdisp {q} {{ \left( \Z/(n) \right) }^{\times} } {G
} {}
der zugehörige surjektive Restklassenhomomorphismus und $H$ der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
davon. Nach
Satz 20.1
ist
\mathl{{ \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
der $n$-ten
\definitionsverweis {Kreisteilungserweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ K_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ K_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Fixkörper}{}{}
zu $H$. Nach
Satz 17.5
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
mit Galoisgruppe $G$.
Es ist ein offenes Problem, ob jede endliche Gruppe als Galoisgruppe einer Galoiserweiterung von $\Q$ auftritt. Diese Fragestellung gehört zur sogenannten \stichwort {inversen Galoistheorie} {.}
\zwischenueberschrift{Galoiseigenschaften des Kompositums}
Wir betrachten eine wichtige Konstruktion, das sogenannte Kompositum.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M_1,M_2
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei Zwischenkörper. Dann nennt man den von
\mathkor {} {M_1} {und} {M_2} {}
\definitionsverweis {erzeugten Unterkörper}{}{}
das \definitionswort {Kompositum}{} der beiden Körper
\zusatzklammer {in $L$} {} {.}
Es wird mit
\mathl{M_1M_2}{} bezeichnet.
}
Das Kompositum hängt vom Oberkörper ab. Wenn man von endlichen Körpererweiterungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausgeht, so sichert
Aufgabe 10.11,
dass es überhaupt einen gemeinsamen Oberkörper gibt.
\inputfaktbeweis
{Endliche separable Körpererweiterung/Verhalten unter Kompositum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{K'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper $M$, in dem das
\definitionsverweis {Kompositum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L'
}
{ = }{L K'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gebildet sei.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K'
}
{ \subseteq }{L'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls eine endliche separable Körpererweiterung.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ = }{ K[x_1 , \ldots , x_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {separabel}{}{,}
und seien
\mathl{F_i \in K[X]}{} die zu $x_i$ gehörigen
\zusatzklammer {\definitionsverweis {separablen}{}{}} {} {}
\definitionsverweis {Minimalpolynome}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L'
}
{ = }{ K'[x_1 , \ldots , x_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Minimalpolynome $G_i$ der $x_i$ über $K'$ sind in
\mathl{K'[X]}{} Teiler der $F_i$ und daher selbst separabel. Nach
Satz 13.11
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K'
}
{ \subseteq }{L'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Normale endliche Körpererweiterung/Verhalten unter Kompositum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{K'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper $M$, in dem das
\definitionsverweis {Kompositum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L'
}
{ = }{LK'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gebildet sei.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K'
}
{ \subseteq }{L'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls eine normale Körpererweiterung.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir können
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K[x_1 , \ldots , x_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben, und wir wissen, dass es zugehörige Polynome
\mathl{F_i \in K[X]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F_i(x_i)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die über $L$ zerfallen. Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L'
}
{ = }{K'[x_1 , \ldots , x_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dieselben Polynome, aufgefasst in
\mathl{K'[X]}{,} erfüllen die gleichen Eigenschaften. Aus
Satz 15.4 (3)
ergibt sich die Normalität.
Aus diesen zwei Lemmata ergibt sich der folgende Satz, der für die Charakterisierung der auflösbaren Körpererweiterungen wichtig ist.
\inputfaktbeweis
{Endliche Galoiserweiterung/Übertragung auf Kompositum/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{K'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper $M$, in dem das
\definitionsverweis {Kompositum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L'
}
{ = }{LK'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gebildet sei.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K'
}
{ \subseteq }{L'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls eine endliche Galoiserweiterung, und für ihre
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
gilt die
\definitionsverweis {natürliche}{}{}
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( L' {{|}} K' )
}
{ \cong} {\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} L \cap K' )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Die Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K'
}
{ \subseteq }{L'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\definitionsverweis {normal}{}{}
nach
Lemma 20.6
und
\definitionsverweis {separabel}{}{}
nach
Lemma 20.5,
also eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
aufgrund von
Satz 16.6.}
{}
Zur Berechnung der Galoisgruppe gehen wir von der Einschränkungsabbildung
\maabbeledisp {\Psi} { \operatorname{Gal}\, ( L' {{|}} K' ) } { \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
} {\varphi} { \varphi {{|}}_L
} {,}
aus, die wegen der
\definitionsverweis {Normalität}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Satz 15.4 (4)
ein wohldefinierter
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L' {{|}} K' )}{} ein Automorphismus, dessen Bild unter diesem Homomorphismus trivial sei, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi {{|}}_L
}
{ = }{
\operatorname{Id}_{ L }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi {{|}}_{K'}
}
{ = }{
\operatorname{Id}_{ K' }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, ist $\varphi$ auf dem Kompositum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L'
}
{ = }{LK'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Identität, also das neutrale Element. Daher ist $\Psi$ nach
dem Kernkriterium
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
von $\Psi$ ist eine Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{ \operatorname{bild} \Psi
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund
der Galoiskorrespondenz
gibt es einen Zwischenkörper
\mathbed {Z} {}
{K \subseteq Z \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} Z )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und zwar ist $Z$ der
\definitionsverweis {Fixkörper}{}{}
von $H$. Es liegt also insgesamt die Situation
\mathdisp {\operatorname{Gal}\, ( L' {{|}} K' ) \stackrel{\cong}{\longrightarrow} \operatorname{bild} \Psi = H =\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} Z ) \subseteq \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )} { }
vor. Wir behaupten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L \cap K'
}
{ = }{ Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für jedes
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L' {{|}} K' )}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi {{|}}_{K'}
}
{ = }{
\operatorname{Id}_{ K' }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und daher ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\varphi {{|}}_{L} ){{|}}_{L \cap K'}
}
{ = }{
\operatorname{Id}_{ L \cap K' }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L \cap K'
}
{ \subseteq }{ Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mathl{x \in Z}{} ist, so bedeutet dies, dass für jedes
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L' {{|}} K' )}{} die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\varphi {{|}}_L) (x)
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Dann ist aber
\mathl{x \in K'}{} nach
Satz 16.6,
da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K'
}
{ \subseteq }{L'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
ist. Somit ist
\mathl{x \in L \cap K'}{.} Insgesamt ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( L' {{|}} K' )
}
{ \cong} { \operatorname{bild} \Psi
}
{ =} { \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} L \cap K' )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}