Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 20

Moduln

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M=(M,+,0)$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt ${}M$ einen ${}R$-Modul, wenn eine Operation

$R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):

1. ${}r(su)=(rs)u$,
2. ${}r(u+v)=(ru)+(rv)$,
3. ${}(r+s)u=(ru)+(su)$,
4. ${}1u=u$.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt ${}R$-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ${}(M,0,+)$ ist und wenn für jedes ${}u\in U$ und ${}r\in R$ auch ${}ru\in U$ ist.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Eine Familie ${}v_{i}\in M$, ${}i\in I$, heißt Erzeugendensystem für ${}M$, wenn es für jedes Element ${}v\in M$ eine Darstellung

${}v=\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}\,$

gibt, wobei ${}J\subseteq I$ endlich ist und ${}r_{i}\in R$.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Der Modul ${}M$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem ${}v_{i}$, ${}i\in I$, für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).

Ein kommutativer Ring ${}R$ selbst ist in natürlicher Weise ein ${}R$-Modul, wenn man die Ringmultiplikation als Skalarmultiplikation interpretiert. Die Ideale sind dann genau die ${}R$-Untermoduln von ${}R$. Die Begriffe Ideal-Erzeugendensystem und Modulerzeugendensystem stimmen für Ideale überein.

Noethersche Moduln

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Der Modul ${}M$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem ${}v_{i}$, ${}i\in I$, für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).

Wir wollen zeigen, das für einen noetherschen Ring ${}R$ und einen endlich erzeugten ${}R$-Modul jeder ${}R$-Untermodul wieder endlich erzeugt ist. Solche Moduln nennt man noethersch.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Dann heißt ${}M$ noethersch, wenn jeder ${}R$- Untermodul von ${}M$ endlich erzeugt ist.

Für ${}M=R$ stimmt dies mit der Definition eines noetherschen Ringes überein, da ja die ${}R$-Untermoduln von ${}R$ gerade die Ideale sind.

In den folgenden Aussagen verwenden wir folgende Sprech- bzw. Schreibweise.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M_{1},M_{2},M_{3}$ ${}R$- Moduln. Man nennt ein Diagramm der Form

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M_{1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M_{2}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M_{3}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$-Moduln, wenn ${}M_{1}$ ein ${}R$-Untermodul von ${}M_{2}$ ist, und wenn ${}M_{3}$ ein Restklassenmodul von ${}M_{2}$ ist, der isomorph zu ${}M_{2}/M_{1}$ ist.

Die Exaktheit bedeutet, dass an jeder Stelle die Beziehung

${}\operatorname {kern} \varphi _{i+1}=\operatorname {bild} \varphi _{i}\,$

gilt, wenn ${}\varphi _{i}$ die ${}R$- Modulhomomorphismen bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

$0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M\longrightarrow M_{3}\longrightarrow 0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$-Moduln.

Dann ist ${}M$ genau dann noethersch, wenn sowohl ${}M_{1}$ als auch ${}M_{3}$ noethersch sind.

Beweis

Es sei zunächst ${}M$ noethersch, und ${}U\subseteq M_{1}$ ein Untermodul. Dann ist ${}U$ direkt auch ein Untermodul von ${}M$, also nach Voraussetzung endlich erzeugt. Es sei nun ${}V\subseteq M_{3}$ ein Untermodul des Restklassenmoduls. Das Urbild von ${}V$ in ${}M$ unter der Restklassenabbildung sei ${}{\tilde {V}}$. Dieser Modul ist nach Voraussetzung endlich erzeugt, und die Bilder eines solchen Erzeugendensystems erzeugen auch den Bildmodul ${}V$.

Es seien nun die äußeren Moduln ${}M_{1}$ und ${}M_{3}$ noethersch, und sei ${}U\subseteq M$ ein Untermodul. Es sei ${}U_{3}\subseteq M_{3}$ der Bild-Untermodul davon. ${}U_{3}$ wird von endlich vielen Elementen ${}s_{1},\ldots ,s_{n}$ erzeugt, und wir können annehmen, dass diese ${}s_{i}={\overline {r}}_{i}$ die Bilder von Elementen ${}r_{i}\in U$ sind. Betrachte ${}U\cap M_{1}$. Dies ist ein Untermodul von ${}M_{1}$, und daher endlich erzeugt, sagen wir von ${}t_{1},\ldots ,t_{k}$, die wir als Elemente in ${}U$ auffassen. Wir behaupten, dass

$r_{1},\ldots ,r_{n},t_{1},\ldots ,t_{k}$

ein Erzeugendensystem von ${}U$ bilden. Es sei dazu ${}m\in U$ ein beliebiges Element. Dann ist ${}{\overline {m}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}$ und daher geht das Element ${}m-\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}$ rechts auf ${}0$. Dann gehört es aber zum Kern der Restklassenabbildung, also zu ${}M_{1}$. Andererseits gehört dieses Element auch zu ${}U$, also zum Durchschnitt ${}M_{1}\cap U$, der ja von den ${}t_{1},\ldots ,t_{k}$ erzeugt wird. Also kann man

${}m-\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}=\sum _{j=1}^{k}b_{j}t_{j}\,$

bzw. ${}m=\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}+\sum _{j=1}^{k}b_{j}t_{j}$ schreiben.

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Satz

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul.

Dann ist ${}M$ ein noetherscher Modul.

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl ${}n$ der Modulerzeuger von ${}M$. Bei ${}n=0$ liegt der Nullmodul vor. Es sei ${}n=1$. Dann gibt es eine surjektive Abbildung ${}R\rightarrow M\cong R/{\mathfrak {a}}$. Nach Lemma 20.8 ist aber ein Restklassenmodul eines noetherschen Moduls wieder noethersch, und der Ring selbst ist nach Voraussetzung noethersch, also ist ${}M$ noethersch.

Es sei nun ${}n\geq 2$ und die Aussage für kleinere ${}n$ bereits bewiesen. Es sei ${}m_{1},\ldots ,m_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}M$. Wir betrachten den durch ${}m_{1},\ldots ,m_{n-1}$ erzeugten ${}R$-Untermodul, den wir mit ${}M_{1}$ bezeichnen. Dieser Untermodul gibt Anlass zu einer kurzen exakten Sequenz, nämlich

$0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M\longrightarrow M/M_{1}=:M_{3}\longrightarrow 0.$

Hier wird der linke Modul von ${}n-1$ Elementen erzeugt und ist nach Induktionsvoraussetzung noethersch. Der rechte Modul wird von der Restklasse von ${}m_{n}$, also von einem Element erzeugt, ist also auch noethersch. Nach Lemma 20.8 ist dann ${}M$ noethersch.

$\Box$

Freie Moduln

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. ${}M$ heißt frei (über ${}R$), wenn er eine ${}R$- Basis besitzt.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Es sei ${}V$ ein freier Modul und ${}W$ ein Modul über ${}R$. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}V$ und es seien ${}w_{i}$, ${}i\in I$, Elemente in ${}W$.

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W$

mit ${}f(v_{i})=w_{i}$ für alle ${}i\in I$.

Beweis

Da ${}f(v_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft

${}f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}\,$

erfüllt, und jeder Vektor ${}v\in V$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W,$

indem wir jeden Vektor ${}v\in V$ mit der gegebenen Basis als

${}v=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\,$

schreiben und

${}f(v):=\sum _{i\in I}s_{i}w_{i}\,$

ansetzen. Da die Darstellung von ${}v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren ${}u=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}$ und ${}v=\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}$ gilt

${}{\begin{aligned}f{\left(u+v\right)}&=f{\left({\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=f{\left(\sum _{i\in I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}(s_{i}+t_{i})f{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i\in I}t_{i}f(v_{i})\\&=f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+f{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\\&=f(u)+f(v).\end{aligned}}$

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe 20.1.

$\Box$

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