Kurs:Lineare Algebra/Teil I/19/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	2	4	2	1	2	5	4	6	2	7	4	5	7	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Beweise die Identität

${}A\setminus {\left(B\setminus C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\cap C\right)}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne

$(x+{\mathrm {i} }y)^{n}.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+7y&\,\,\,\,-z&-3w&=&0\\x&+y&+2z&\,\,\,\,-w&=&1\\&+2y&-3z&+2w&=&3\\&\,\,\,\,-y&-5z&+4w&=&-2\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme (ohne Begründung), welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im ${}\mathbb {R} ^{2}$ als Lösungsmenge eines linearen (inhomogenen) Gleichungssystems auftreten können (man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt).

1. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

2. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

3. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

4. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

5. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Superpositionsprinzip für lineare Gleichungssysteme.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es seien ${}s_{1},\ldots ,s_{k}\in K$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zeige

${}{\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Der ${}K$- Vektorraum ${}K^{2}$ sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme die Untervektorräume ${}U\subseteq K^{2}$, die unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ und ${}A={\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}$ Matrizen über einem Körper ${}K$ mit

${}A\circ M={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.$

Zeige, dass dann auch

${}M\circ A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zu jedem ${}k$ gebe es eine Linearform

$\varphi _{k}\colon V\longrightarrow K$

mit

$\varphi _{k}(v_{k})\neq 0{\text{ und }}\varphi _{k}(v_{i})=0{\text{ für }}i\neq k.$

Zeige, dass die ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig sind.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Signum einer Transposition gleich ${}-1$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&4&-5\\0&-1&4\\0&0&7\end{pmatrix}}\,$

gegebenen linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,v\longmapsto Mv.$

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$. Es sei ${}k\leq n$. Zeige, dass es genau dann einen invarianten Untervektorraum ${}U\subseteq V$ der Dimension ${}k$ gibt, wenn es eine Basis von ${}V$ gibt, bezüglich der die beschreibende Matrix von ${}\varphi$ die Gestalt

${\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1k}&a_{1k+1}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{k1}&\ldots &a_{kk}&a_{kk+1}&\ldots &a_{kn}\\0&\ldots &0&a_{k+1k+1}&\ldots &a_{k+1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&\ldots &0&a_{nk+1}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

besitzt.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Lemma von Bezout für Polynome.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

eine Jordan-Matrix. Bestimme die jordansche Normalform der Potenzen ${}M^{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.