Kurs:Lineare Algebra/Teil I/21/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 4 | 5 | 7 | 4 | 3 | 1 | 8 | 4 | 3 | 3 | 4 | 3 | 4 | 2 | 3 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Vereinigung zu einer Mengenfamilie , , in einer Grundmenge .
- Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
- Ein Untervektorraum in einem -Vektorraum .
- Die Spur zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum .
- Eine Fahne in einem - dimensionalen - Vektorraum .
- Die baryzentrischen Koordinaten zu einem Punkt in einem affinen Raum über dem - Vektorraum bezüglich einer affinen Basis , .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Charakterisierungssatz für eine Basis in einem - Vektorraum .
- Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.
- Der Satz über die
Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein Körper und
ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?
Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)
Der - Vektorraum sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme, welche der folgenden Teilmengen unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.
- Die Punktmenge .
- Die Gerade
- Das Achsenkreuz
- Die Hyperbel
- Die Parabel
Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein endlicher Körper mit Elementen. Bestimme die Anzahl der nicht invertierbaren - Matrizen über .
Aufgabe * (3 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für einen - Vektorraum und eine lineare Abbildung , die surjektiv, aber nicht injektiv ist.
Aufgabe * (8 (3+3+2) Punkte)
- Beweise den Determinantenmultiplikationssatz
für den Fall, dass eine Elementarmatrix ist.
- Beweise den Determinantenmultiplikationssatz
für den Fall, dass ein Produkt aus Elementarmatrizen ist.
- Beweise den Determinantenmultiplikationssatz mit Hilfe von (2).
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme im Polynomring über einem Körper die invertierbaren Elemente, also Polynome , für die es ein weiteres Polynom mit gibt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei
eine quadratische Gleichung über einem Körper , und es sei eine Lösung davon. Zeige, dass auch eine Lösung der Gleichung ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Satz über die Diagonalisierbarkeit und Eigenräume.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
Aufgabe * (4 Punkte)
Es seien und Vektorräume über der gleichen Dimension und es seien
und
Fahnen in bzw. . Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung
mit
für alle gibt.