Kurs:Lineare Algebra/Teil I/27/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 1 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 7 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 1 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 7 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Produktmenge} {} aus zwei Mengen $L$ und $M$.
}{Der von einer Familie von Vektoren
\mathl{v_i,\, i \in I}{,} aus einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$
\stichwort {aufgespannte Untervektorraum} {.}
}{Die \stichwort {Elementarmatrizen} {.}
}{Ein \stichwort {Gruppenhomomorphismus} {} zwischen \definitionsverweis {Gruppen}{}{} \mathkor {} {(G, \circ, e_G)} {und} {(H, \circ, e_H)} {.}
}{Die \stichwort {algebraische Vielfachheit} {} von einem \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Ein
\stichwort {affiner Unterraum} {}
\mathl{F \subseteq E}{} in einem
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
$E$ über dem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Man nennt die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L \times M
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \mid x \in L,\, y \in M \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Produktmenge der Mengen
\mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle v_i ,\, i \in I \rangle
}
{ =} { { \left\{ \sum_{i \in J} s_i v_i \mid s_i \in K , \, J \subseteq I \text{ endliche Teilmenge} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.
}{Mit
\mathl{B_{ij}}{} bezeichnen wir diejenige
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,}
die an der Stelle
\mathl{(i,j)}{} den Wert $1$ und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
\aufzaehlungdrei{$V_{ij} \defeq E_{ n } - B_{ii} -B_{jj} + B_{ij} +B_{ji}$.
}{$S_k (s) \defeq E_{ n } + (s-1) B_{kk} \text{ für } s \neq 0$.
}{$A_{ij}(a) \defeq E_{ n } + a B_{ij} \text{ für } i \neq j \text{ und } a \in K$.
}
}{Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {G} {H
} {}
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi( g \circ g')
}
{ =} { \psi (g) \circ \psi (g')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{g,g' \in G}{} gilt.
}{Den Exponenten des linearen Polynoms
\mathl{X - \lambda}{} im
\definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{}
$\chi_{ \varphi }$ nennt man die
algebraische Vielfachheit
von $\lambda$.
}{Eine Teilmenge
\mathl{F \subseteq E}{} heißt
affiner Unterraum,
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {P+U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, mit einem Punkt $P\in E$ und einem
$K$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mathl{U \subseteq V}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Dimensionsformel} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {.}}{Der Satz über funktorielle Eigenschaften von Homomorphismenräumen.}{Der Satz über die jordansche Normalform.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Unter der Bedingung, dass $V$ endlichdimensional ist, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( \operatorname{kern} \varphi \right) } + \dim_{ K } { \left( \operatorname{bild} \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Dann gelten folgende Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {U} {V
} {}
mit einem weiteren Vektorraum $U$ induziert eine lineare Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( U , W \right) }
} {f} { f \circ \varphi
} {.}
} {Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {W} {T
} {}
mit einem weiteren Vektorraum $T$ induziert eine lineare Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , T \right) }
} {f} { \psi \circ f
} {.}
}}{Zu jedem
\definitionsverweis {trigonalisierbaren Endomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem endlichdimensionalen
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ gibt es eine
\definitionsverweis {Basis}{}{,}
bezüglich der die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{}
besitzt.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Hat die lineare Algebra etwas mit einem Lineal zu tun?
}
{Lineare Algebra/Lineal/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2 (1+1)}
{
Ist die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R } {x} {x^2 } {,} \aufzaehlungzwei {injektiv? } {surjektiv? }
}
{
\aufzaehlungzwei {Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1^2
}
{ =} {(-1)^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung nicht injektiv.
} {Da alle Quadrate $\geq 0$ sind, werden negative Zahlen durch die Abbildung nicht erreicht. Die Abbildung ist also nicht surjektiv.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & -3 & 7 \\ 8 & 3 & 1 & 0 & -5 \\ 6 & 2 & -1 & -2 & 3 \\ -4 & 5 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 \\ 1 & -1 & 5 \\ 0 & 6 & 1 \\ -5 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & -2 \end{pmatrix}} { . }
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & -3 & 7 \\ 8 & 3 & 1 & 0 & -5 \\ 6 & 2 & -1 & -2 & 3 \\ -4 & 5 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 \\ 1 & -1 & 5 \\ 0 & 6 & 1 \\ -5 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & -2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 69 & -19 & -30 \\ -3 & 34 & -6 \\ 48 & -9 & -21 \\ 11 & -16 & 36 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x &
+2 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 1 \\ -2 x &
-3 y &
\, \, \, \, - z &
\, \, \, \, - w & = & -5 \\ 3 x &
+ y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+2 w & = & 3 \\ - x &
\, \, \, \, - y &
+ z &
-3 w & = & -2 \, . \end{matrix}} { }
}
{
Wir eliminieren zuerst die Variable $z$, indem wir die zweite und die vierten Gleichung addieren. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
x &
+2 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 1 \\
-3 x &
-4 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
-4 w & = & -7 \\
3 x &
+ y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+2 w & = & 3 \, .
\end{matrix}} { }
Nun eliminieren wir die Variable $x$, indem wir
\zusatzklammer {bezogen auf das vorhergehende System} {} {}
\mathl{II+III}{} und
\mathl{III-3I}{} ausrechnen. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
&
-3 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
-2 w & = & -4 \\
&
-5 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
\, \, \, \, - w & = & 0 \, .
\end{matrix}} { }
Mit
\mathl{I-2II}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7 y
}
{ =} {-4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { - { \frac{ 4 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Rückwärts gelesen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { { \frac{ 20 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { { \frac{ 37 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Addiere die beiden folgenden Vektoren graphisch.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Linear unabhängige Vektoren im R^2.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Linear unabhängige Vektoren im R^2.svg } {} {Claudia4} {Commons} {CC-by-sa 1.0} {}
$\,$
}
{Vektor/Graphisch/Addition/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (2+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Bestimme die \definitionsverweis {invertierbaren}{}{} $2\times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper mit zwei Elementen}{}{.} } {Welche davon sind zu sich selbst invers? }
}
{
\aufzaehlungzwei {Die Matrizeneinträge sind
\mathkor {} {0} {oder} {1} {.}
Wenn die $1$ kein- oder einmal vorkommt, so kommt eine Nullzeile vor und die Matrix ist nicht invertierbar. Wenn die $1$ zweimal vorkommt, so darf die $1$ nicht in der gleichen Zeile stehen. Dies ergibt die invertierbaren Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Wenn dreimal die $1$ vorkommen soll, so erhält man die invertierbaren Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Bei vier Einsen liegt eine nichtinvertierbare Matrix vor.
} {Die Einheitsmatrix
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} und die Vertauschungsmatrix
\mathl{\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}{} sind selbstinvers. Wir rechnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit sind auch
\mathkor {} {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} {}
selbstinvers.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.
}
{
Es sei
\mathl{w_1 , \ldots , w_k}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von
\mathl{U_1 \cap U_2}{.} Diese ergänzen wir gemäß
Satz 8.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
einerseits zu einer Basis
\mathl{w_1 , \ldots , w_k, u_1 , \ldots , u_n}{} von $U_1$ und andererseits zu einer Basis
\mathl{w_1 , \ldots , w_k, v_1 , \ldots , v_m}{} von $U_2$. Dann ist
\mathdisp {w_1 , \ldots , w_k, u_1 , \ldots , u_n , v_1 , \ldots , v_m} { }
ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von
\mathl{U_1+U_2}{.} Wir behaupten, dass es sich sogar um eine Basis handelt. Es sei dazu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_1w_1 + \cdots + a_k w_k + b_1 u_1 + \cdots + b_n u_n + c_1 v_1 + \cdots + c_mv_m
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich, dass das Element
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ a_1w_1 + \cdots + a_k w_k + b_1 u_1 + \cdots + b_n u_n
}
{ =} {- c_1 v_1 - \cdots - c_mv_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu
\mathl{U_1 \cap U_2}{} gehört. Daraus folgt direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_j
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ = }{ 1 , \ldots , m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ergibt sich dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_\ell
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $\ell$. Also liegt
\definitionsverweis {lineare Unabhängigkeit}{}{}
vor. Insgesamt ist also
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \dim_{ K } { \left( U_1 \cap U_2 \right) } + \dim_{ K } { \left( U_1 + U_2 \right) }
}
{ =} { k + k +n +m
}
{ =} { k+n +k+m
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( U_1 \right) } + \dim_{ K } { \left( U_2 \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $V$ ein zweidimensionaler
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem Körper $K$. Es seien
\mathl{v_1,v_2,v_3}{} und
\mathl{w_1,w_2,w_3}{} Vektoren in $V$, die jeweils paarweise
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
seien. Zeige, dass es eine bijektive
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi (v_i)
}
{ \in} { Kw_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1,2,3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Da
\mathl{v_1,v_2}{} und
\mathl{w_1,w_2}{} Basen sind, gibt es nach
dem Festlegungsatz
eine bijektive lineare Abbildung
\maabb {\psi} {V} {V
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(v_1)
}
{ = }{ w_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(v_2)
}
{ = }{ w_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Unter $\psi$ bleiben die Voraussetzungen über die paarweise lineare Unabhängigkeit erhalten. Daher müssen wir nur noch die Situation von zwei Vektorfamilien der Form
\mathl{v_1,v_2,y}{} und
\mathl{v_1,v_2,z}{} betrachten. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {av_1+bv_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} {cv_1+dv_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c,d
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da andernfalls $y$ bzw. $z$ zu einem der $v_i$ linear abhängig wäre. Wir betrachten nun die lineare Abbildung $\varphi$, die durch
\mathkor {} {v_1 \mapsto { \frac{ c }{ a } } v_1} {und} {v_2 \mapsto { \frac{ d }{ b } } v_2} {}
gegeben ist. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi (y)
}
{ =} { \varphi (av_1+bv_2)
}
{ =} { a \varphi(v_1) +b \varphi(v_2)
}
{ =} { a { \frac{ c }{ a } } v_1 + b { \frac{ d }{ b } } v_2
}
{ =} { cv_1+bv_2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { z
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Somit erfüllt $\varphi$ die geforderte Bedingung.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathkor {} {I} {und} {J} {}
endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) } \times \operatorname{Abb} \, { \left( J , K \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( I \times J , K \right) }
} {(f,g)} { f \otimes g
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( f \otimes g ) (i,j)
}
{ \defeq} { f(i) \cdot g(j)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {multilinear}{}{}
ist.
}
{
Da die Situation symmetrisch ist, genügt es, die Linearität im ersten Eintrag bei fixiertem zweiten Eintrag zu zeigen. Es seien also
\mathl{f_1,f_2 \in \operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) }}{,}
\mathl{g \in \operatorname{Abb} \, { \left( J , K \right) }}{} und
\mathl{a_1,a_2 \in K}{.} Die Gleichheit ist in
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( I \times J , K \right) }}{} zu zeigen. Dazu sei
\mathl{i \in I}{} und
\mathl{j \in J}{.} Dann ist insgesamt, wobei wir die Vektorraumstruktur auf den Abbildungsräumen und das Distributivgesetz in $K$ verwenden,
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \left( a_1f_1+a_2f_2 \right) } \otimes g \right) } (i,j)
}
{ =} { { \left( a_1f_1+a_2f_2 \right) } (i) \cdot g(j)
}
{ =} { { \left( a_1f_1(i)+a_2f_2 (i) \right) } \cdot g(j)
}
{ =} { a_1f_1(i) g(j)+a_2f_2 (i) g(j)
}
{ =} { a_1 { \left( f_1 \otimes g \right) } (i,j) + a_2 { \left( f_2 \otimes g \right) } (i,j)
}
}
{}
{}{,}
was die Linearität zeigt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Beweise den Satz über die Anzahl der Permutationen auf einer endlichen Menge.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die $1$ gibt es $n$ mögliche Bilder, für $2$ gibt es noch
\mathl{n-1}{} mögliche Bilder, für $3$ gibt es noch
\mathl{n-2}{} mögliche Bilder, usw. Daher gibt es insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1
}
{ =} { n !
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mögliche Permutationen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Beweise die Leibniz-Formel für die \definitionsverweis {Determinante}{}{} direkt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left( a_{ij} \right) }_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben die $i$-te Zeile der Matrix als
\mathl{\sum_{j=1}^n a_{ij} e_j}{.} Damit ist unter Verwendung der Multilinearität in den Zeilen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det M
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} \sum_{ j = 1}^n a_{1j} e_j \\ \vdots \\ \sum_{ j = 1}^n a_{nj} e_j \end{pmatrix}
}
{ =} { \sum_{ (j_1 , \ldots , j_n) \in \{1 , \ldots , n \}^n} a_{1 j_1} \cdots a_{n j_n} \det \begin{pmatrix} e_{j_1} \\ \vdots \\ e_{j_n} \end{pmatrix}
}
{ =} { \sum_{\pi \in S_n} a_{1 \pi(1)} \cdots a_{n \pi(n) } \det \begin{pmatrix} e_{\pi (1)} \\ \vdots \\ e_{\pi (n)} \end{pmatrix}
}
{ =} { \sum_{\pi \in S_n} a_{1 \pi(1)} \cdots a_{n \pi(n) } \operatorname{sgn}(\pi)
}
}
{}
{}{.}
Hierbei beruht die vorletzte Gleichung darauf, dass die Determinante von
\mathl{\begin{pmatrix} e_{j_1} \\ \vdots \\ e_{j_n} \end{pmatrix}}{} gleich $0$ ist, sobald ein Vektor $e_j$ mehrfach vorkommt, und man daher nur über die Permutationen aufsummieren muss. Die letzte Gleichung beruht darauf, dass man durch eine Anzahl an Zeilenvertauschungen aus
\mathl{\begin{pmatrix} e_{j_1} \\ \vdots \\ e_{j_n} \end{pmatrix}}{} die Einheitsmatrix mit Determinante $1$ erhält. Bei jeder Zeilenvertauschung ändert sich die Determinante um $-1$ und dies entspricht der Änderung des Signums bei einer Transposition.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Finde eine Darstellung der $1$ für das Zahlenpaar \mathkor {} {11} {und} {13} {.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6 \cdot 11 -5 \cdot 13
}
{ =} {66-65
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Nullstelle des Polynoms
\mathdisp {X^3+3X+2} { }
ist.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ { \left( \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } \right) }^3 +3 { \left( \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } \right) } + 2
}
{ =} { -1 + \sqrt{2} +3 \sqrt[3]{ -1 + \sqrt{2} }^2 \cdot \sqrt[3]{ -1 - \sqrt{2} } + 3 \sqrt[3]{ -1 + \sqrt{2} } \cdot \sqrt[3]{ -1 - \sqrt{2} }^2 -1 - \sqrt{2} +3 \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } +3 \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } +2
}
{ =} { 3 { \left( \sqrt[3]{ { \left( -1+ \sqrt{2} \right) }^2 { \left( -1-\sqrt{2} \right) } } + \sqrt[3]{ { \left( -1+ \sqrt{2} \right) } { \left( -1-\sqrt{2} \right) }^2 } + \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } \right) }
}
{ =} { 3 { \left( \sqrt[3]{ { \left( 3-2 \sqrt{2} \right) } { \left( -1-\sqrt{2} \right) } } + \sqrt[3]{ { \left( -1+ \sqrt{2} \right) } { \left( 3+ 2\sqrt{2} \right) } } + \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } \right) }
}
{ =} {3 { \left( \sqrt[3]{ 1- \sqrt{2} } + \sqrt[3]{ 1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {3 { \left( \sqrt[3]{ 1- \sqrt{2} } + \sqrt[3]{ 1 + \sqrt{2} } - \sqrt[3]{1 - \sqrt{2} } - \sqrt[3]{1 + \sqrt{2} } \right) }
}
{ =} {0
}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 10 & 4 & 0 \\ -9 & -2 & 0 \\0 & 0 & 11 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
und ob sie
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist.
}
{
Das charakteristische Polynom der Matrix ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} X-10 & -4 & 0 \\ 9 & X+2 & 0 \\0 & 0 & X-11 \end{pmatrix}
}
{ =} { ( (X-10)(X+2)+36) (X-11)
}
{ =} { ( X^2-8X+16) (X-11)
}
{ =} { (X-4)^2 (X-11)
}
}
{}
{}{.}
Damit ist die Matrix jedenfalls trigonalisierbar. Zur Frage die Diagonalisierbarkeit betrachten wir den Eigenwert $4$. Der Rang von
\mathdisp {\begin{pmatrix} -6 & -4 & 0 \\ 9 & 6 & 0 \\0 & 0 & -7 \end{pmatrix}} { }
ist offenbar $2$ und somit ist der Eigenraum eindimensional. Daher ist die
\definitionsverweis {geometrische Vielfachheit}{}{}
echt kleiner als die
\definitionsverweis {algebraische Vielfachheit}{}{}
und die Matrix ist nach
Satz 23.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
nicht diagonalisierbar.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Summe von Haupträumen.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ \varphi }
}
{ =} { (X-\lambda_1)^{k_1} \cdots (X-\lambda_m)^{k_m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,}
das nach
Satz 25.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
in Linearfaktoren zerfällt, wobei die
\mathl{\lambda_i}{} verschieden seien. Wir führen Induktion über $m$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es nur einen Eigenwert $\lambda$ und nur einen Hauptraum. Nach
Korollar 24.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist dann auch das Minimalpolynom von der Form
\mathl{(X- \lambda)^s}{} und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei die Aussage nun für kleineres $m$ bewiesen. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (X- \lambda_1)^{k_1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ (X-\lambda_2)^{k_2} \cdots (X-\lambda_m)^{k_m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sind damit in der Situation von
Lemma 26.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
und
Satz 26.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
Wir haben also eine direkte Summenzerlegung in
$\varphi$-\definitionsverweis {invariante}{}{}
Untervektorräume
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda_1 } (\varphi) \oplus \operatorname{kern} Q(\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das charakteristische Polynom ist nach
Lemma 23.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
das Produkt der charakteristischen Polynome der Einschränkungen auf die beiden Räume. Nach
Satz 26.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist
\mathl{(X- \lambda_1)^{k_1}}{} das charakteristische Polynom der Einschränkung auf den ersten Hauptraum, daher muss $Q$ das charakteristische Polynom der Einschränkung auf
\mathl{\operatorname{kern} Q(P)}{} sein. Das heißt insbesondere, dass diese Einschränkung ebenfalls trigonalisierbar ist. Nach der Induktionsvoraussetzung ist also
\mathl{\operatorname{kern} Q(P)}{} die direkte Summe der Haupträume zu
\mathl{\lambda_2 , \ldots , \lambda_m}{} und daraus ergibt sich insgesamt die direkte Summenzerlegung für $V$ und für $\varphi$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {}
werde bezüglich der Standardbasis durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine
\definitionsverweis {Basis}{}{,}
bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}}{} gehört nicht zum Kern von $M^2$, daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\2\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2 \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 \\0\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\0\\ 0 \end{pmatrix}\, , \begin{pmatrix} 4 \\2\\ 0 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}} { }
eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix}} { }
vorliegt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x+7y
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.
}
{
Es ist
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\ { \frac{ 3 }{ 7 } } \end{pmatrix}}{} eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}}{} ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist
\mathdisp {{ \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ { \frac{ 3 }{ 7 } } \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix} \mid t \in \Q \right\} }} { }
eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.
}