Kurs:Lineare Algebra/Teil I/28/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 3 | 4 | 3 | 1 | 3 | 3 | 2 | 4 | 4 | 2 | 4 | 6 | 3 | 6 | 3 | 4 | 63 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Negiere den Satz „Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich“ durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.
- „Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen“.
- „Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall“.
- „Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht“.
Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?
Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen
- Es sei die Menge aller
(lebenden oder verstorbenen)
Menschen. Untersuche die Abbildung
die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.
- Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ?
- Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge aller Einzelkinder und auf die Menge aller Mütter einschränkt?
- Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir fassen die Lösung eines Sudokus (unabhängig von Zahlenvorgaben) als eine Abbildung
auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Eine Termitenkönigin legt Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang (am . Februar legt sie keine Eier). Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Matrizen
eine kommutative Gruppe bilden, in der jedes Element zu sich selbst invers ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass das lineare Gleichungssystem
nur die triviale Lösung besitzt.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz über den Basiswechsel.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei mit . Zeige, dass sämtliche normierten Teiler von die Form , , besitzen.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die inverse Matrix zu
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Ein Metallarbeiter hat zwei Metallstäbe zur Verfügung. Wenn er den kleinen siebenmal hintereinanderlegt, erhält er genau drei Meter. Wenn er den großen achtmal hintereinanderlegt, erhält er genau fünf Meter.
- Wie kann er allein mit diesen Stäben eine Länge von einem Meter bestimmen?
- Was ist die kleinste positive Strecke, die er mit den Stäben messen kann?
- Welche Streckenlängen kann er mit seinen beiden Metallstäben messen?
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine lineare Abbildung auf dem - Vektorraum , es seien mit und es sei die Streckung zu . Zeige, dass genau dann ein Eigenwert zu ist, wenn ein Eigenwert zur Hintereinanderschaltung ist.
Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz über die Charakterisierung von diagonalisierbar mit Vielfachheiten.
Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine quadratische Matrix, die in der Diagonalen aus den Jordanblöcken
besteht.
- Bestimme das charakteristische Polynom von .
- Bestimme das Minimalpolynom von .
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung