Kurs:Lineare Algebra/Teil I/38/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	7	2	4	3	5	0	0	0	2	0	2	3	1	2	4	8	49

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Durchschnitt von Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines ${}K$-Vektorraumes ${}V$.
3. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen den ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

4. Die Permutationsgruppe zu einer Menge ${}M$.
5. Das charakteristische Polynom zu einer ${}n\times n$-Matrix ${}M$ mit Einträgen in einem Körper ${}K$.
6. Eine affin unabhängige Familie von Punkten ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ in einem affinen Raum ${}E$.

Lösung

1. Die Menge

   ${}L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,$

   heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.

2. Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$, wenn man jeden Vektor ${}v\in V$ als Linearkombination der ${}v_{i}$ darstellen kann.
3. Eine Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

   1. ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in V$.
   2. ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in V$.
4. Man nennt die Menge

   ${}\operatorname {Aut} \,(M)=\operatorname {Perm} \,(M)={\left\{\varphi :M\longrightarrow M\mid \varphi {\text{ bijektiv}}\right\}}\,$

   der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu ${}M$.

5. Das Polynom

   ${}\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,$

   heißt charakteristisches Polynom von ${}M$.

6. Man nennt die Punktfamilie affin-unabhängig, wenn eine Gleichheit

   ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}P_{i}\,$

   mit

   ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}=1\,$

   nur bei

   ${}a_{i}=b_{i}\,$

   für alle ${}i=1,\ldots ,n$ möglich ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Dimension des Standardraumes.
2. Der Satz über Basiswechsel bei einem Endomorphismus.
3. Der Satz über die jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Dann besitzt der Standardraum ${}K^{n}$ die Dimension ${}n$.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Abbildung. Es seien ${}{\mathfrak {u}}$ und ${}{\mathfrak {v}}$ Basen von ${}V$. Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich ${}{\mathfrak {u}}$ bzw. ${}{\mathfrak {v}}$ (beidseitig) beschreiben, die Beziehung

   $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine nilpotente lineare Abbildung. Dann gibt es eine Basis von ${}V$, bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt

   ${\begin{pmatrix}0&u_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&u_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&u_{n-2}&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&u_{n-1}\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$

   besitzt, wobei die ${}u_{i}$ gleich ${}0$ oder gleich ${}1$ sind.

Aufgabe weiter

Es sei ${}M$ die Menge der Mäuse und ${}L$ die Menge der Löcher auf einem Feld. Es wird beobachtet, dass jede Maus gewisse Löcher benutzt, andere dagegen vermeidet. Zu einer Teilmenge an Löchern ${}S\subseteq L$ definieren wir

${}S^{\perp }={\left\{m\in M\mid m{\text{ benutzt alle Löcher aus }}S\right\}}\,,$

und zu einer Teilmenge an Mäusen ${}T\subseteq M$ definieren wir

${}T^{\perp }={\left\{\ell \in L\mid \ell {\text{ wird von jeder Maus aus }}T{\text{ benutzt}}\right\}}\,.$

1. Beschreibe zu einem Loch ${}\ell \in L$ die Menge ${}\{\ell \}^{\perp }$ mit einem Satz.
2. Beschreibe die Menge ${}L^{\perp }$ mit einem Satz.
3. Beschreibe die Menge ${}M^{\perp }$ mit einem Satz.
4. Zeige: Zu Teilmengen ${}S_{1}\subseteq S_{2}$ (in ${}L$) ist

   ${}{\left(S_{1}\right)}^{\perp }\supseteq {\left(S_{2}\right)}^{\perp }\,.$

5. Zeige: Für eine beliebige Teilmenge ${}S\subseteq L$ ist

   ${}S\subseteq {\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }\,.$

6. Zeige: Für eine Vereinigung

   ${}S=S_{1}\cup S_{2}\subseteq L\,$

   ist

   ${}{\left(S_{1}\cup S_{2}\right)}^{\perp }={\left(S_{1}\right)}^{\perp }\cap {\left(S_{2}\right)}^{\perp }\,.$

7. Gilt für einen Durchschnitt

   ${}S=S_{1}\cap S_{2}\subseteq L\,.$

   die Beziehung

   ${}{\left(S_{1}\cap S_{2}\right)}^{\perp }={\left(S_{1}\right)}^{\perp }\cup {\left(S_{2}\right)}^{\perp }\,?$

8. Gilt für eine beliebige Teilmenge ${}S\subseteq L$ die Beziehung

   ${}S^{\perp }={\left({\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\,?$

Lösung

1. Das ist die Menge aller Mäuse, die dieses Loch benutzen.
2. Das ist die Menge derjenigen Mäuse, die jedes Loch benutzen.
3. Das ist die Menge derjenigen Löcher, die von allen Mäusen benutzt werden.
4. Es sei ${}m\in {\left(S_{2}\right)}^{\perp }$. Dies bedeutet, dass ${}m$ alle Löcher aus ${}S_{2}$ benutzt. Dann benutzt ${}m$ erst recht alle Löcher aus der Teilmenge ${}S_{1}$, also gilt ${}m\in {\left(S_{1}\right)}^{\perp }$.
5. Es sei ${}\ell \in S$. Die Menge ${}S^{\perp }$ besteht aus allen Mäusen, die alle Löcher aus ${}S$ benutzen. Diese Mäusemenge benutzt insbesondere ${}\ell$, daher ist ${}\ell \in {\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }$.
6. Wegen ${}S_{1}\subseteq S_{1}\cup S_{2}$ gilt nach Teil (4)

   ${}{\left(S_{1}\cup S_{2}\right)}^{\perp }=S_{1}^{\perp }\,$

   und entsprechend für ${}S_{2}$. Dies ergibt die Inklusion ${}{\left(S_{1}\cup S_{2}\right)}^{\perp }\subseteq S_{1}^{\perp }\cap S_{1}^{\perp }$. Es sei nun ${}m=S_{1}^{\perp }\cap S_{1}^{\perp }$. Dies bedeutet, dass ${}m$ alle Löcher aus ${}S_{1}$ und alle Löcher aus ${}S_{2}$ benutzt. Also benutzt ${}m$ alle Löcher aus ${}S_{1}\cup S_{2}$, also ${}m\in {\left(S_{1}\cup S_{2}\right)}^{\perp }$.

7. Dies muss nicht gelten. Es kann beispielsweise ${}L$ disjunkt zerlegt in ${}S_{1}$ und ${}S_{2}$ sein. Dann ist ${}S_{1}\cap S_{2}=\emptyset$ und ${}\emptyset ^{\perp }=M$. Es kann aber gleichzeitig sein, dass es sowohl in ${}S_{1}$ als auch in ${}S_{2}$ jeweils ein Loch gibt, das von keiner Mausbenutzt wird. Dann ist

   ${}{\left(S_{1}\right)}^{\perp }=\emptyset ={\left(S_{2}\right)}^{\perp }\,.$

8. Das gilt. Nach (4) ist ${}S\subseteq {\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }$, woraus mit (5) die Inklusion

   ${}{\left({\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\subseteq S^{\perp }\,.$

   Die zu (4) analoge Eingenschaft gilt auch für Teilmengen ${}T\subseteq M$. Angewendet auf ${}T=S^{\perp }$, ergibt sich

   ${}S^{\perp }\subseteq {\left({\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls surjektiv ist.

Lösung

Sei ${}z\in N$ gegeben. Aufgrund der Surjektivität von ${}G$ gibt es ein ${}y\in M$ mit

${}G(y)=z\,.$

Aufgrund der Surjektivität von ${}F$ gibt es ein ${}x\in L$ mit

${}F(x)=y\,.$

Insgesamt ist

${}(G\circ F)(x)=G(F(x))=G(y)=z\,,$

es gibt also ein Urbild von ${}z$ und somit ist die Gesamtabbildung surjektiv.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in ${}n$ Variablen über einem Körper ${}K$.

Lösung

Durch Umnummerieren kann man ${}x=x_{1}$ erreichen. Es sei ${}G$ die Gleichung

${}ax_{1}+\sum _{i=2}^{n}a_{i}x_{i}=b\,$

(mit $a\neq 0$) und ${}H$ die Gleichung

${}cx_{1}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}x_{i}=d\,.$

Dann hat die Gleichung

${}H'=H-{\frac {c}{a}}G\,$

die Gestalt

${}\sum _{i=2}^{n}{\left(c_{i}-{\frac {c}{a}}a_{i}\right)}x_{i}=d-{\frac {c}{a}}b\,,$

in der ${}x_{1}$ nicht mehr vorkommt. Wegen ${}H=H'+{\frac {c}{a}}G$ sind die Gleichungssysteme äquivalent.

Aufgabe (3 Punkte)

Gibt es eine Lösung ${}(a,b,c)\in \mathbb {Q}$ für das lineare Gleichungssystem

${}a{\begin{pmatrix}1\\2\\11\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}2\\2\\12\\3\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}3\\1\\20\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}15\\11\\106\\31\end{pmatrix}}\,?$

Lösung

${}(2,2,3)$ ist eine Lösung.

Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.

1. Man gebe zu zwei Punkten ${}(a_{1},a_{2})$ und ${}(b_{1},b_{2})$ die Koordinaten des Mittelpunktes an.
2. Es seien in der Produktmenge ${}\mathbb {Z} ^{2}$ fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
3. Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?

Lösung

1. Der Mittelpunkt von ${}(a_{1},a_{2})$ und ${}(b_{1},b_{2})$ besitzt die Koordinaten ${}\left({\frac {a_{1}+b_{1}}{2}},\,{\frac {a_{2}+b_{2}}{2}}\right)$.
2. Wir betrachten für jeden Punkt, ob die Koordinaten gerade oder ungerade sind. Dafür gibt es vier Möglichkeiten ($(g,g),\,(g,u),\,(u,g)\,(u,u)$). Da es ${}5$ Punkte gibt, kommt eine dieser Möglichkeiten zumindest zweimal vor. Seien ${}P$ und ${}Q$ zwei Punkte, die hinsichtlich dieser Eigenschaft übereinstimmen. Da das arithmetische Mittel von zwei geraden Zahlen und von zwei ungeraden Zahlen ganzzahlig ist, besitzt der Mittelpunkt von ${}P$ und ${}Q$ ganzzahlige Koordinaten.
3. Die vier Punkte

   $(0,0),\,(0,1),\,(1,0)\,,(1,1)$

   zeigen, dass dies nicht gelten muss.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&1&1\\0&1&0\end{pmatrix}}.$

Lösung

${}{\begin{pmatrix}2&0&0\\1&1&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&0&1\\-{\frac {1}{2}}&1&-1\end{pmatrix}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Determinante, aufgefasst als Abbildung

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=K^{n^{2}}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

nicht multilinear ist.

Lösung

Es sei ${}n=2$. Die Einheitsmatrix ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ besitzt die Determinante ${}1$. Wenn der Eintrag oben rechts mit einem skalaren Faktor ${}s\in K$ multipliziert wird, so erhält man wieder die Einheitsmatrix mit der Determinante ${}1$, und nicht, wie das im multilinearen Fall sein müsste, den Wert ${}s$.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ an, das nicht zu ${}\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl ${}n$ gilt: ${}P(n)\in \mathbb {Z}$.

Lösung

Betrachte das Polynom

${}P={\frac {X(X-1)}{2}}={\frac {X^{2}}{2}}-{\frac {X}{2}}\,.$

Die Koeffizienten liegen in ${}\mathbb {Q}$, aber nicht in ${}\mathbb {Z}$. Wenn man in dieses Polynom eine ganze Zahl ${}n$ einsetzt, so ist genau eine der Zahlen ${}n$ und ${}n-1$ gerade. Also ist ${}P(n)={\frac {n(n-1)}{2}}$ ganzzahlig.

Aufgabe (1 Punkt)

Man finde ein Polynom ${}f\in \mathbb {R} [X]$ mit ${}f(0)=0$, ${}f(1)=1$, ${}f(-1)=1$ und ${}f(3)=9$.

Lösung

Das Polynom ${}X^{2}$ erfüllt offenbar diese Eigenschaften.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die reelle Zahl ${}{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}$ eine Nullstelle des Polynoms ${}X^{4}-20X^{2}+16$ ist.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}X^{2}&={\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}\right)}^{2}\\&={\sqrt {3}}^{2}+{\sqrt {7}}^{2}+2{\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {7}}\\&=3+7+2{\sqrt {21}}\\&=10+2{\sqrt {21}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}X^{4}&={\left(X^{2}\right)}^{2}\\&={\left(10+2{\sqrt {21}}\right)}^{2}\\&=100+4\cdot 21+40{\sqrt {21}}\\&=184+40{\sqrt {21}}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}{\begin{aligned}X^{4}-20X^{2}+16&=184+40{\sqrt {21}}-20{\left(10+2{\sqrt {21}}\right)}+16\\&=184-200+16+{\left(40-20\cdot 2\right)}{\sqrt {21}}\\&=0.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix

${\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$

Lösung

Das charakteristische Polynom ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}x&-1&0\\-1&x&0\\0&0&x\end{pmatrix}}&=x^{3}-x\\&=x(x^{2}-1)\\&=x(x-1)(x+1).\end{aligned}}$

Somit sind ${}0,1,-1$ Eigenwerte mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit ${}1$.

Der Eigenraum zu ${}0$ ist der Kern von ${}{\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$. Dieser ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.$

Der Eigenraum zu ${}1$ ist der Kern von ${}{\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$. Dieser ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}.$

Der Eigenraum zu ${}-1$ ist der Kern von ${}{\begin{pmatrix}-1&-1&0\\-1&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$. Dieser ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung einer affinen Abbildung mit baryzentrischen Kombinationen.

Lösung

Es seien ${}V$ und ${}W$ die Vektorräume zu ${}E$ bzw. zu ${}F$. Es sei zunächst ${}\psi$ affin-linear mit linearem Anteil

$\psi _{0}\colon V\longrightarrow W$

und eine baryzentrische Kombination ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ mit ${}P_{i}\in E$ und ${}\sum _{i\in I}a_{i}=1$ gegeben. Dann ist (mit einem beliebigen Punkt ${}Q\in E$)

${}{\begin{aligned}\psi {\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}&=\psi {\left(Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\psi _{0}{\left(\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\sum _{i\in I}a_{i}\psi _{0}{\left({\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {\psi (Q)\psi (P_{i})}}\\&=\sum _{i\in I}a_{i}\psi (P_{i}).\end{aligned}}$

Es sei nun umgekehrt die Abbildung ${}\psi$ mit den baryzentrischen Kombinationen verträglich. Wir setzen

${}\varphi (v):={\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}\,$

für ${}v\in V$, mit einem ${}P\in E$. Wir zeigen zunächst, dass dies unabhängig von dem gewählten Punkt ${}P$ ist. Es ist

$(P+v)-(Q+v)+Q$

eine baryzentrische Kombination für den Punkt ${}P$, siehe Aufgabe *****. Daher ist in ${}F$

${}\psi (P+v)-\psi (Q+v)+\psi (Q)=\psi (P)\,.$

Somit ist in ${}V$

${}{\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}-{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}+{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}=0\,$

und daher

${}{\begin{aligned}{\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}&={\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}-{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}\\&={\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}+{\overrightarrow {\psi (Q)\psi (P)}}\\&={\overrightarrow {\psi (Q)\psi (Q+v)}}.\end{aligned}}$

Es bleibt zu zeigen, dass ${}\varphi$ linear ist. Für ${}u={\overrightarrow {PQ}}$ und ${}v={\overrightarrow {PR}}$ ist

${}{\begin{aligned}\psi (P)+\varphi (au+bv)&=\psi (P+au+bv)\\&=\psi {\left(P+a{\overrightarrow {PQ}}+b{\overrightarrow {PR}}\right)}\\&=\psi ((1-a-b)P+aQ+bR)\\&=(1-a-b)\psi (P)+a\psi (Q)+b\psi (R)\\&=\psi (P)+a{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}+b{\overrightarrow {\psi (P)\psi (R)}}\\&=\psi (P)+a\varphi {\left({\overrightarrow {PQ}}\right)}+b\varphi {\left({\overrightarrow {PR}}\right)}\\&=\psi (P)+a\varphi (u)+b\varphi (v).\end{aligned}}$

Also ist

${}\varphi (au+bv)=a\varphi (u)+b\varphi (v)\,.$