Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 12/kontrolle



Die Pausenaufgabe

Aufgabe Aufgabe 12.1 ändern

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?




Übungsaufgaben

Aufgabe * Aufgabe 12.2 ändern

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.



Aufgabe Aufgabe 12.3 ändern

Es sei ein Körper und eine - Matrix mit Einträgen in . Zeige, dass die Multiplikation mit - Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung haben.

  1. Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
  2. Multiplikation der -ten Zeile von mit .
  3. Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().



Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.



Zeige, dass man eine Scherungsmatrix

als Matrizenprodukt schreiben kann, wobei und Diagonalmatrizen sind und eine Scherungsmatrix der Form ist.



Bestimme die inverse Matrix zu



Bestimme die inverse Matrix zu



Bestimme die inverse Matrix zu



Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix




a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

invertierbar ist.


b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem



Bestimme explizit den Spaltenrang und den Zeilenrang der Matrix

Beschreibe lineare Abhängigkeiten (falls solche existieren) zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.



Aufgabe Aufgabe 12.12 ändern

Zeige, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen der Spaltenrang nicht ändert.



Es sei eine - Matrix und eine -Matrix. Zeige, dass für den Spaltenrang die Abschätzung

gilt.



Es sei eine - Matrix und eine invertierbare -Matrix. Zeige, dass für den Spaltenrang die Gleichung

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Bestimme die inverse Matrix zu



Zeige, dass die Matrix

für jedes zu sich selbst invers ist.



Führe das Invertierungsverfahren für die Matrix

unter der Voraussetzung durch.



Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 12.18 ändern

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass

gilt.


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