Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 12/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?
- Übungsaufgaben
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.
Es sei ein Körper und eine - Matrix mit Einträgen in . Zeige, dass die Multiplikation mit - Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung haben.
- Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
- Multiplikation der -ten Zeile von mit .
- Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().
Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.
Zeige, dass man eine Scherungsmatrix
als Matrizenprodukt schreiben kann, wobei und Diagonalmatrizen sind und eine Scherungsmatrix der Form ist.
Bestimme die inverse Matrix zu
Bestimme die inverse Matrix zu
Bestimme die inverse Matrix zu
Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix
a) Bestimme, ob die komplexe Matrix
invertierbar ist.
b) Finde eine Lösung für das
inhomogene lineare Gleichungssystem
Bestimme explizit den Spaltenrang und den Zeilenrang der Matrix
Beschreibe lineare Abhängigkeiten (falls solche existieren) zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.
Zeige, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen der Spaltenrang nicht ändert.
Es sei eine - Matrix und eine invertierbare -Matrix. Zeige, dass für den Spaltenrang die Gleichung
gilt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die inverse Matrix zu
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass
gilt.
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