Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 33
- Übungsaufgaben
Es sei ein Körper. Zeige, dass das Kreuzprodukt auf dem bilinear ist.
Es sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension . Zeige, dass eine Vektorfamilie genau dann eine Orthonormalbasis von ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung
eine Isometrie zwischen und ist.
Es seien und euklidische Vektorräume und sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- ist eine Isometrie.
- Für jede Orthonormalbasis , von ist , Teil einer Orthonormalbasis von .
- Es gibt eine Orthonormalbasis , von derart, dass , Teil einer Orthonormalbasis von ist.
Es sei ein euklidischer Vektorraum und sei
eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass die Determinante von gleich oder ist. Ferner besitze die Eigenschaft, dass zueinander orthogonale Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass eine Isometrie ist.
Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung
an, die keine Isometrie ist, für die aber für alle die Beziehung
gilt.
Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung
derart, dass flächentreu, aber keine Isometrie ist.
Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge der invertierbaren Matrizen eine Gruppe ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei nicht kommutativ ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei , , eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass für Vektoren und die Gleichheit
gilt.
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass die Menge der Isometrien auf eine Gruppe unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei
eine eigentliche Isometrie. Es sei vorausgesetzt, dass trigonalisierbar ist. Zeige, dass dann sogar diagonalisierbar ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien komplexe Vektorräume mit Skalarprodukten und
eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Isometrie bezüglich der gegebenen komplexen Skalarprodukte ist, wenn eine Isometrie bezüglich der zugehörigen reellen Skalarprodukte ist.
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