Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 54/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe * Aufgabe 54.1 ändern
Es sei eine spaltenstochastische Matrix. Zeige, dass das Bild eines jeden Verteilungsvektors wieder ein Verteilungsvektor ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Menge der spaltenstochastischen Matrizen in der Sphäre zum Radius bezüglich der Spaltensummennorm enthalten ist. Gilt hierbei Gleichheit?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Diskutiere in der Situation von Beispiel 54.2 die Spezialfälle
- und ,
- und ,
- und ,
- und ,
- ,
- .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Was bedeutet es für eine spaltenstochastische Matrix, dass in einer Zeile alle Einträge positiv sind, und was bedeutet es, dass in einer Spalte alle Einträge positiv sind?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man mache sich klar, dass die Konzepte Relation auf einer Menge (im Sinne von Definition 45.1, wobei die beiden beteiligten Mengen gleich sein mögen) und gerichteter Graph (im Sinne eines Pfeildiagrammes, wobei es von einem Punkt zu einem weiteren Punkt maximal einen Pfeil geben darf) mathematisch äquivalent sind.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Erstelle die Adjazenzmatrix zum gerichteten Graphen rechts.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Welche Besonderheiten zeichnet eine Adjazenzmatrix zu einer Äquivalenzrelation aus?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Drücke für die Gruppe der Fußball-Europameisterschaft 2016 die Gewinnstruktur als eine Relation, durch ein Pfeildiagramm (einen gerichteten Graphen) und durch eine Adjazenzmatrix aus.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Erstelle für die Gruppe der Fußball-Europameisterschaft 2016 die stochastische Matrix, die sich aus der erweiterten Adjazenzmatrix zur Gewinnstruktur ergibt, bei der in der Diagonalen überall Einsen (Selbstsieg) stehen (damit keine Nullspalte auftritt). Wie lautet die zugehörige Eigenverteilung?
Aufgabe Referenznummer erstellen
In einer Fußballgruppe mit Mannschaften (beispielsweise einer EM-Gruppe oder einer Bundesligahinrunde) spielt jede Mannschaft gegen jede andere Mannschaft, bei einem Sieg gibt es 3 Punkte, bei einem Unentschieden 1 Punkt und bei einer Niederlage keinen Punkt. Die Ergebnisse werden in einer -Matrix derart verbucht, dass der Eintrag an der Stelle angibt, wie viele Punkte die Mannschaft im Spiel gegen erzielt hat (an der Stelle steht ). Welcher Vektor kommt heraus, wenn man diese Matrix auf den Vektor anwendet? Erstelle diese Matrix für die Gruppe der Fußball-Europameisterschaft 2016.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein Kreis mit sechs (äquidistanten) Knoten gegeben, die mit bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich . Erstelle die zugehörige stochastische Matrix und berechne die Eigenverteilung(en).
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine spaltenstochastische -Matrix. Zeige direkt, dass ein Eigenwert von ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Unter welchen Bedingungen gilt für reelle Zahlen die Gleichheit
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man interpretiere eine Permutationsmatrix als eine stochastische Matrix. Was sind die Eigenverteilungen?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Menge der spaltenstochastischen Matrizen eine abgeschlossene Teilmenge im Matrizenraum ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne die Eigenverteilung zur spaltenstochastischen Matrix
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass das Produkt von zwei spaltenstochastischen Matrizen wieder spaltenstochastisch ist. Ist die inverse Matrix zu einer invertierbaren spaltenstochastischen Matrix wieder spaltenstochastisch?
Aufgabe (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Eine (Fußball-)Spielgruppe bei einer Europa- oder Weltmeisterschaft besteht aus vier Mannschaften, und jede spielt gegen jede. Ein Spiel kann unentschieden oder mit einem Sieg für eine der beiden Mannschaften enden. Wir interessieren uns für die diskrete Struktur einer Spielgruppe, die man durch einen gerichteten Graphen beschreiben kann, wobei man einen Sieg von über durch einen Pfeil von nach (und ein Unentschieden durch keine Verbindung) ausdrücken kann.
Definiere einen Isomorphiebegriff für Spielgruppen und klassifiziere die Spielgruppen entlang geeigneter numerischer Invarianten. Wie viele Spielgruppen gibt es? Aus welchen Isomorphietypen lässt sich die Tabellenordnung ableiten, aus welchen nicht?
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