Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 29

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Legen Sie den Verbindungsvektor von ihrem linken Ohr zum rechten kleinen Finger ihres Vordermanns parallel an die Nasenspitze Ihres linken Nachbars an. Was ist das Ergebnis?

Übungsaufgaben

Aufgabe

Die Zeit ist eine affine Gerade über ${}\mathbb {R}$. Legen Sie den Verbindungsvektor vom Zeitpunkt Ihres ersten Milchzahns bis zum Zeitpunkt Ihrer Einschulung an den jetzigen Moment an. Was ist das Ergebnis?

Aufgabe *

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}4x+7y=3\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum, ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum und ${}E=P+U$ ein affiner Unterraum. Zeige, dass man für jeden Punkt ${}Q\in E$ auch ${}E=Q+U$ schreiben kann.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum und ${}E\subseteq V$ ein affiner Unterraum. Zeige, dass ${}E$ genau dann ein Untervektorraum von ${}V$ ist, wenn ${}E$ die ${}0$ enthält.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto 4x-6y+9z.$

Bestimme für die Menge

${}E={\left\{Q\in \mathbb {R} ^{3}\mid \varphi (Q)=5\right\}}\,$

eine Beschreibung mit Hilfe eines Aufpunktes und eines Verschiebungsraumes.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}7x+y-3z\\4x+5y\end{pmatrix}}.$

Bestimme für die Menge

${}E={\left\{Q\in \mathbb {R} ^{3}\mid \varphi (Q)={\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}}\right\}}\,$

eine Beschreibung mit Hilfe eines Aufpunktes und eines Verschiebungsraumes.

Aufgabe *

Wir betrachten die drei Ebenen ${}E,F,G$ im ${}\mathbb {Q} ^{3}$, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.

1. ${}E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-4y+3z=2\right\}}\,,$

2. ${}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 7x-5y+6z=3\right\}}\,,$

3. ${}G={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 2x-y+4z=5\right\}}\,.$

Bestimme sämtliche Punkte ${}E\cap F\setminus E\cap F\cap G$.

Aufgabe

Es sei ${}d\in \mathbb {N} _{+}$ und ein Körper ${}K$ fixiert. Es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass die Menge ${}E$ der Polynome ${}P$ vom Grad maximal ${}d$ mit

${}P(a_{i})=b_{i}\,$

für ${}i=1,\ldots ,n$ einen affinen Unterraum von ${}K[X]_{\leq d}$ bilden. Was ist der zugehörige Untervektorraum? Was kann man über die Dimension von ${}E$ sagen, wann ist ${}E$ leer?

Aufgabe *

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige die folgenden Identitäten in ${}V$.

1. ${}{\overrightarrow {PP}}=0$ für ${}P\in E$.
2. ${}{\overrightarrow {PQ}}=-{\overrightarrow {QP}}$ für ${}P,Q\in E$.
3. ${}{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}={\overrightarrow {PR}}$ für ${}P,Q,R\in E$.

Aufgabe

Zeige, dass die leere Menge ein affiner Raum im Sinne der Definition 29.4 ist, und zwar über jedem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe

Es sei ${}E$ ein nichtleerer affiner Raum über einem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Es sei ${}P\in E$ ein fixierter Punkt und

$\theta \colon V\longrightarrow E,\,v\longmapsto P+v,$

die zugehörige Bijektion. Mit Hilfe dieser Bijektion identifizieren wir ${}E$ mit

${}E'={\left\{(v,1)\in V\times K\mid v\in V\right\}}\,$

durch die Abbildung

$\varphi \colon E\longrightarrow E',\,P\longmapsto (\theta ^{-1}(P),1).$

a) Zeige, dass ${}E'$ ein affiner Unterraum von ${}V\times K$ ist mit dem Translationsraum ${}V\times 0$.

b) Zeige

${}\varphi (Q+v)=\varphi (Q)+v\,$

für alle ${}Q\in E$.

Aufgabe

Bestimme zeichnerisch den Punkt, der durch die baryzentrische Kombination

$0,2P_{1}+0,4P_{2}-0,3P_{3}+0,7P_{4}$

im Bild rechts gegeben ist. Starte dabei mit verschiedenen Aufpunkten.

Aufgabe *

Es sei ${}P_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Punkten in einem affinen Raum ${}E$. Zeige, dass durch eine baryzentrische Kombination ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ ein eindeutiger Punkt in ${}E$ definiert wird.

Aufgabe *

Es sei ${}P$ ein Punkt in einem affinen Raum ${}E$ über ${}V$. Zeige, dass die folgenden Ausdrücke baryzentrische Kombinationen für ${}P$ sind (es sei ${}Q\in E$ und ${}v\in V$).

1. ${}P$.
2. ${}P+Q-Q$.
3. ${}(P+v)-(Q+v)+Q$.

Statt ${}{\overrightarrow {QP}}$ schreibt man häufig auch ${}P-Q$. Die folgenden Aufgaben zeigen, dass dies bei einem Vektorraum und bei baryzentrischen Kombinationen nicht zu Verwechslungen führen kann.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum, den wir als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien ${}P,Q\in V$ Punkte. Zeige ${}{\overrightarrow {PQ}}=Q-P$.

Aufgabe *

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Es seien ${}P_{i}$, ${}i\in I$, und ${}P,Q$ Punkte in ${}E$ und ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ eine baryzentrische Kombination. Zeige, dass

${}P-Q+\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}={\overrightarrow {QP}}+{\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}\,,$

wobei der linke Ausdruck als baryzentrische Kombination zu lesen ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}K$, den wir als einen affinen Raum auffassen. Es sei ${}\sum _{i\in I}a_{i}v_{i}$ mit ${}v_{i}\in V$, ${}a_{i}\in K$ und ${}\sum _{i\in I}a_{i}=1$ eine baryzentrische Kombination. Zeige, dass der dadurch definierte Punkt im affinen Raum gleich der Vektorsumme ${}\sum _{i\in I}a_{i}v_{i}$ ist.

Aufgabe

Geben Sie die baryzentrischen Koordinaten Ihrer Lieblingsfarbe bei additiver Farbmischung an.

Aufgabe

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und es sei ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ eine endliche Familie von Punkten aus ${}E$. Für ${}j=1,\ldots ,k$ sei durch

${}Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}P_{i}\,,$

mit ${}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}=1$ für jedes ${}j$, eine Familie von baryzentrischen Kombinationen der ${}P_{i}$ gegeben. Es seien ${}b_{1},\ldots ,b_{k}\in K$ mit ${}\sum _{j=1}^{k}b_{j}=1$. Zeige, dass man

$\sum _{j=1}^{k}b_{j}Q_{j}$

als baryzentrische Kombination der ${}P_{i}$ schreiben kann.

Aufgabe

Stellen Sie sich vier Punkte im Anschauungsraum vor, die eine affine Basis bilden.

Aufgabe

Stellen Sie sich vier Punkte im Anschauungsraum vor, die keine affine Basis des Raumes bilden, wo aber je drei der Punkte eine affine Basis einer affinen Ebene bilden.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}6x-5y-3z+8w\\x+5y+4z-2w\end{pmatrix}}.$

Bestimme für die Menge

${}E={\left\{Q\in \mathbb {R} ^{4}\mid \varphi (Q)={\begin{pmatrix}-3\\-7\end{pmatrix}}\right\}}\,$

eine Beschreibung mit Hilfe eines Aufpunktes und eines Verschiebungsraumes.

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Wir betrachten die Menge

${}E={\left\{(v,1)\mid v\in V\right\}}\subset V\times K\,,$

die ein affiner Raum über ${}V$ ist.

a) Zeige, dass die Punkte

$P_{i}=(v_{i},1),\,i=1,\ldots ,n,$

genau dann eine affine Basis von ${}E$ bilden, wenn die ${}P_{i}$ (aufgefasst als Vektoren in ${}V\times K$) eine Vektorraumbasis von ${}V\times K$ bilden.

b) Zeige, dass in diesem Fall zu einem Punkt ${}P\in E$ die baryzentrischen Koordinaten von ${}P$ bezüglich ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ gleich den Koordinaten von ${}P$ bezüglich der Vektorraumbasis ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über dem Körper ${}K$. Zeige, dass der Produktraum ${}E\times F$ ebenfalls ein affiner Raum ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über dem Körper ${}K$ mit einer affinen Basis ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ von ${}E$ und einer affinen Basis ${}Q_{1},\ldots ,Q_{m}$ von ${}F$. Zeige, dass

$(P_{1},Q_{1}),\,(P_{1},Q_{2}),\ldots ,(P_{1},Q_{m}),\,(P_{2},Q_{1}),\,(P_{3},Q_{1}),\ldots ,(P_{n},Q_{1})$

eine affine Basis des Produktraumes ${}E\times F$ ist.