Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 30

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es sei ${}E$ ein affiner Raum der Dimension ${}d$ und es seien ${}F,G\subseteq E$ affine Unterräume der Dimension ${}r$ bzw. ${}s$. Zeige, dass ${}F\cap G=\emptyset$ leer ist, oder eine Dimension von zumindest ${}r+s-n$ besitzt.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Überprüfe, ob die Punkte

${\begin{pmatrix}5\\4\\7\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-2\\1\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\-9\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-8\\8\\3\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ affin-unabhängig sind.

Aufgabe *

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und es sei

$P_{1},\ldots ,P_{n}$

eine endliche Familie von Punkten aus ${}E$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Die Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ sind affin unabhängig.
2. Für jedes ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ ist die Vektorfamilie

   ${\overrightarrow {P_{i}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{i-1}}},\,{\overrightarrow {P_{i}P_{i+1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{n}}}$

   linear unabhängig.

3. Es gibt ein ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ derart, dass die Vektorfamilie

   ${\overrightarrow {P_{i}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{i-1}}},\,{\overrightarrow {P_{i}P_{i+1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{n}}}$

   linear unabhängig ist.

4. Die Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ bilden in dem von ihnen erzeugten affinen Unterraum eine affine Basis.

Aufgabe

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und es sei ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ eine endliche Familie von Punkten aus ${}E$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Die Punkte bilden eine affine Basis von ${}E$.
2. Die Punkte bilden ein minimales affines Erzeugendensystem von ${}E$.
3. Die Punkte sind maximal affin unabhängig.

Aufgabe

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und es sei ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ eine endliche Familie von Punkten aus ${}E$. Zeige, dass diese Punkte genau dann eine affine Basis von ${}E$ bilden, wenn sie sowohl affin unabhängig sind als auch ein affines Erzeugendensystem von ${}E$ bilden.

Aufgabe

Bestimme die Polynome ${}P\in \mathbb {R} [X]$, die eine affin-lineare Abbildung

$P\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

definieren.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über den Vektorräumen ${}V$ bzw. ${}W$. Es sei eine Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow F,$

eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

und ein Punkt ${}P\in E$ derart gegeben, dass

${}\psi (P+v)=\psi (P)+\varphi (v)\,$

für alle ${}v\in V$ gilt. Zeige, dass ${}\psi$ affin-linear ist.

Aufgabe *

Es sei ${}\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Abbildung mit

${}\psi (x)=ax+b\,$

für gewisse ${}a,b\in \mathbb {R}$. Zeige direkt, dass ${}\psi$ mit baryzentrischen Kombinationen verträglich ist.

Aufgabe

Bestimme zeichnerisch den Bildpunkt von ${}P$ unter der affinen Abbildung ${}\varphi$, die durch ${}\varphi (P_{i})=Q_{i}$ festgelegt ist.

Aufgabe

Bestimme zeichnerisch den Bildpunkt von ${}P$ unter der affinen Abbildung ${}\varphi$, die durch ${}\varphi (P_{i})=Q_{i}$ festgelegt ist.

Aufgabe

Beschreibe die affine Ebene

${}E={\left\{{\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}2\\7\\-6\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-1\\5\\1\end{pmatrix}}\mid s,t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

als Urbild über ${}1$ einer affinen Abbildung ${}\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$.

Aufgabe *

Beschreibe die affine Gerade

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}6\\2\\3\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}-2\\5\\4\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,$

als Urbild über ${}(1,0)$ einer affinen Abbildung ${}\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$.

Aufgabe

Es seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über dem Körper ${}K$. Zeige, dass die Projektionen

$E\times F\longrightarrow E$

und

$E\times F\longrightarrow F$

affine Abbildungen sind.

Aufgabe

Es seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über dem Körper ${}K$. Zeige, dass die Räume genau dann isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}E$ ein affiner Raum und es sei ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ eine endliche Familie von Punkten aus ${}E$. Es sei

${}F={\left\{\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in K^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}a_{i}=1\right\}}\subset K^{n}\,.$

Zeige, dass durch die Zuordnung

$\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}$

eine wohldefinierte affin-lineare Abbildung von ${}F$ nach ${}E$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon E\longrightarrow F$

eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen ${}E$ und ${}F$ über ${}K$. Zeige, dass zu jedem affinen Unterraum ${}H\subseteq E$ das Bild ${}\varphi (H)$ ein affiner Unterraum von ${}F$ ist.

Aufgabe

Es sei

$\psi \colon E\longrightarrow E$

eine affine Abbildung auf einem affinen Raum ${}E$. Zeige, dass der lineare Anteil ${}\psi _{0}$ genau dann die Identität ist, wenn ${}\psi$ eine Translation ist.

Aufgabe

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige, dass die Abbildung, die einer affinen Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow E$

ihren linearen Anteil ${}\psi _{0}$ zuordnet, folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}{\left(\operatorname {Id} _{E}\right)}_{0}=\operatorname {Id} _{V}\,,$

2. ${}(\psi \circ \varphi )_{0}=\psi _{0}\circ \varphi _{0}\,.$

Aufgabe

Es seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über dem Körper ${}K$, es sei ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in E$ eine affine Basis von ${}E$ und seien ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in F$ Punkte. Es sei

$\psi \colon E\longrightarrow F$

die zugehörige affin-lineare Abbildung mit

${}\psi (P_{i})=Q_{i}\,.$

Zeige die folgenden Aussagen.

a) ${}\psi$ ist genau dann bijektiv, wenn ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ eine affine Basis von ${}F$ ist.

b) ${}\psi$ ist genau dann injektiv, wenn ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ affin unabhängig ist.

c) ${}\psi$ ist genau dann surjektiv, wenn ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ ein affines Erzeugendensystem von ${}F$ ist.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon E\longrightarrow F$

eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen ${}E$ und ${}F$ über ${}K$. Zeige, dass die Urbilder ${}\varphi ^{-1}(Q)$ zu allen ${}Q\in F$ zueinander parallel sind.

Aufgabe

Vergleiche verschiedene Konzepte für Vektorräume und affine Räume einschließlich ihrer Abbildungen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon E\longrightarrow F$

eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen ${}E$ und ${}F$ über ${}K$. Zeige, dass zu jedem affinen Unterraum ${}G\subseteq F$ das Urbild ${}\varphi ^{-1}(G)$ ein affiner Unterraum von ${}E$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die affine Ebene

${}E={\left\{{\begin{pmatrix}5\\6\\-2\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}3\\-4\\8\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}5\\4\\7\end{pmatrix}}\mid s,t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

als Urbild über ${}1$ einer affinen Abbildung ${}\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}E$ ein affiner Raum der Dimension ${}n$ und

$\psi \colon E\longrightarrow E$

eine affine Abbildung. Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n+1}\in E$ affin unabhängige Punkte, die zugleich Fixpunkte von ${}\psi$ seien. Zeige, dass ${}\psi$ die Identität ist.

Aufgabe (6 (3+2+1) Punkte)

Es sei

$\varphi \colon E\longrightarrow F$

eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen ${}E$ und ${}F$ über ${}K$.

a) Zeige, dass der Graph ${}G$ von ${}\varphi$ ein affiner Unterraum des Produktraumes ${}E\times F$ ist.

b) Zeige, dass die Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow G,\,P\longmapsto (P,\varphi (P)),$

ein Isomorphismus von affinen Räumen ist.

c) Zeige

${}\varphi =p_{2}\circ \psi \,,$

wobei ${}p_{2}$ die Projektion auf ${}F$ bezeichne.