Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 28

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Betrachte die Matrix

${\begin{pmatrix}2&3\\0&5\end{pmatrix}}$

und die drei Zerlegungen

${}{\begin{pmatrix}2&3\\0&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&3\\0&0\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{pmatrix}2&3\\0&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3\\0&5\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,.$

Welche ist (sind) die kanonische additive Zerlegung im Sinne von Satz 28.1 (und bezüglich welcher Basis)?

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei

${}D={\begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&a_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}\,.$

Zeige, dass ${}D$ mit jeder anderen ${}n\times n$-Matrix ${}M$ genau dann kommutiert, wenn alle Diagonaleinträge übereinstimmen.

Aufgabe

Beschreibe die direkte Summenzerlegung der ${}p_{i}$ bezüglich der Haupträume aus dem Beweis zu Satz 28.1.

Aufgabe

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}3&5\\0&3\end{pmatrix}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}-2&2&7\\0&-2&-6\\0&0&-2\end{pmatrix}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}-2&1&0\\0&-2&1\\0&0&-2\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe *

Bestimme zur reellen Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&5&2&4\\0&3&6&-1\\0&0&3&2\\0&0&0&3\end{pmatrix}}\,$

die jordansche Normalform. (Es muss keine Basis angegeben werden, bezüglich der jordansche Normalform vorliegt.)

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine nilpotente ${}n\times n$- Jordanmatrix. Zeige, dass die Kerne ${}\operatorname {kern} M^{i}$ eine Fahne in ${}K^{n}$ bilden.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Jordanmatrix zum Eigenwert ${}\lambda$. Bestimme das Minimalpolynom von ${}M$.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix mit den Jordanblöcken ${}J_{1},\ldots ,J_{k}$, wobei die Diagonaleinträge konstant gleich ${}\lambda$ seien. Bestimme das Minimalpolynom von ${}M$.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine Matrix in jordanscher Normalform, wobei nur ein Eigenwert auftrete. Zeige, dass die Anzahl der Jordanblöcke in ${}M$ gleich der Dimension des Eigenraumes ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von zwei Matrizen in jordanscher Normalform nicht in jordanscher Normalform sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix in jordanscher Normalform und es sei ${}D$ die zugehörige Diagonalmatrix. Zeige, dass die kanonische additive Zerlegung im Sinne von Satz 28.1 gleich

${}M=D+(M-D)\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine trigonalisierbare lineare Abbildung mit der kanonischen additiven Zerlegung

${}\varphi =\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\,$

im Sinne von Satz 28.1. Zeige, dass die Eigenwerte von ${}\varphi$ und von ${}\varphi _{\rm {diag}}$ übereinstimmen. Gilt dies auch für ihre algebraische Vielfachheit, gilt dies für ihre geometrische Vielfachheit?

Aufgabe *

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix}}\,$

mit ${}\lambda \in K$. Zeige durch Induktion, dass

${}M^{n}={\begin{pmatrix}\lambda ^{n}&n\lambda ^{n-1}\\0&\lambda ^{n}\end{pmatrix}}\,$

ist.

Aufgabe

Die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\,$

beschreibt eine Vierteldrehung in der reellen Ebene. Diagonalisiere diese Matrix über den komplexen Zahlen.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann endliche Ordnung besitzt, wenn das Minimalpolynom von ${}\varphi$ ein Teiler von ${}X^{n}-1$ für ein ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum ${}V$ mit endlicher Ordnung. Zeige, dass das charakteristische Polynom von ${}\varphi$ ein Polynom der Form ${}{\left(X^{n_{1}}-1\right)}\cdots {\left(X^{n_{r}}-1\right)}$ teilt. Zeige, dass das charakteristische Polynome im Allgemeinen nicht ein Polynom der Form ${}X^{n}-1$ teilt.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${}\mathbb {R}$- Vektorraum ${}V$ mit endlicher Ordnung. Zeige, dass das charakteristische Polynom von ${}\varphi$ ein Polynom der Form ${}{\left(X^{n_{1}}-1\right)}\cdots {\left(X^{n_{r}}-1\right)}$ teilt.

Man sagt, dass ein Körper ${}K$ positive Charakteristik besitzt, wenn für eine positive natürliche Zahl ${}p\in \mathbb {N} _{+}$ die Gleichung ${}p=0$ gilt. Die Körper ${}\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} }$ haben diese Eigenschaft nicht, man sagt, dass sie Charakteristik ${}0$ haben. Endliche Körper haben positive Charakteristik, und zwar ist die Charakteristik immer eine Primzahl.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper mit positiver Charakteristik ${}p>0$. Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$

die endliche Ordnung ${}p$ besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}2&3&4\\0&2&5\\0&0&2\end{pmatrix}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Basis, bezüglich der die durch

${}M={\begin{pmatrix}4&-6&0&-1\\0&5&2&7\\0&0&4&4\\0&0&0&5\end{pmatrix}}\,$

gegebene lineare Abbildung jordansche Normalform besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Jordanmatrix zum Eigenwert ${}\lambda$. Zeige, dass der Eigenraum von ${}M$ zum Eigenwert ${}\lambda$ eindimensional ist und dass es keine weiteren Eigenvektoren gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus, der bezüglich einer geeigneten Basis durch eine ${}n\times n$- Jordanmatrix beschrieben wird. Zeige, dass es keine direkte Summenzerlegung

${}V=U\oplus W\,$

in ${}\varphi$- invariante Untervektorräume ${}U,W\subset V$ gibt.

Aufgabe (8 (4+2+2) Punkte)

Es seien ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ein Körper ${}K$ der Charakteristik ${}0$ fixiert. Zu einer nilpotenten ${}n\times n$-Matrix ${}M$ sei ${}\exp M$ durch

${}\exp M=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}M^{k}\,$

definiert.

a) Zeige, dass für vertauschbare nilpotente Matrizen ${}M,N$ die Gleichheit

${}\exp {\left(M+N\right)}=\exp M\circ \exp N\,$

gilt.

b) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix ${}M$ die Matrix ${}\exp M$ invertierbar ist.

c) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix ${}M$ die Matrix ${}\exp M$ unipotent ist.