Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 24/latex
\setcounter{section}{24}
Wir besprechen weitere polynomiale orthonomale System in $L^2$-Räumen.
\zwischenueberschrift{Legendre-Polynome}
\inputdefinition
{}
{
Unter dem $n$-ten
\definitionswort {Legendre-Polynom}{}
$P_n (t)$ versteht man das Polynom
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2^n (n!) } } ((t^2-1)^n)^{(n)}} { . }
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Legendrepolynomials6.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die ersten sechs Legendre-Polynome im für die Orthogonalitsärelation entscheidenden Intervall $[-1,1]$.} }
\bildlizenz { Legendrepolynomials6.svg } {} {Geek3} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Aus der Definition ist ablesbar, dass das $n$-te Legendre-Polynom den Grad $n$ besitzt. Die ersten Legendre-Polynome lauten.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_0 (t)
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_1(t)
}
{ =} { t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_2(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( 3t^2 - 1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_3(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( 5t^3 - 3t \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_4(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 8 } } { \left( 35t^4-30t^2+3 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_5(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 8 } } { \left( 63t^5-70t^3+15t \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_6(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 16 } } { \left( 231 t^6-315t^4+105t^2-5 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Legendre-Polynom/Orthogonalsystem/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Legendre-Polynome}{}{}
\mathbed {P_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}}
\faktfolgerung {bilden ein Orthogonalsystem in
\mathl{L^2([-1,1])}{.} Die normierten
\zusatzklammer {im Sinne der $L^2$-Norm} {} {}
Legendre-Polynome
\mathl{{ \frac{ \sqrt{2n+1} }{ \sqrt{2} } } P_n}{} entstehen aus den Potenzen
\mathl{t^0,t^1,t^2}{} mit
dem Orthonormalisierungsverfahren
und bilden ein
\definitionsverweis {vollständiges Orthonormalsystem}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ =} { { \left( t^2-1 \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_n
}
{ =} { { \frac{ f_n^{(n)} }{ 2^n (n!) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ m,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich mit iterierter partieller Integration und da $f_n^{(n-k)}$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Faktor $t^2-1$ enthält
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ 2^n (n!) \left\langle t^m , P_n \right\rangle
}
{ =} { \left\langle t^m , f_n^{(n)} \right\rangle
}
{ =} { \int_{-1}^1 t^m f_n^{(n)}(t) dt
}
{ =} { \left( t^m f_n^{(n-1)} (t) \right) | _{ -1 } ^{ 1 } -m \int_{-1}^1 t^{m-1} f_n^{(n-1)}(t) dt
}
{ =} { -m \int_{-1}^1 t^{m-1} f_n^{(n-1)}(t) dt
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (-1)^2 m (m-1) \int_{-1}^1 t^{m-2} f_n^{(n-2)}(t) dt
}
{ =} { \ldots
}
{ =} { (-1)^m (m!) \int_{-1}^1 f_n^{(n-m)} (t)dt
}
{ } {}
}
{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies gleich $0$, da
\mathl{f_n^{(n-m-1)}(t)}{} eine Stammfunktion von
\mathl{f_n^{(n-m)}(t)}{} ist und den Faktor
\mathl{(t-1)^2}{} enthält. Es liegt also ein Orthogonalsystem vor.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Ausdruck nach
Aufgabe 25.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gleich
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (-1)^n (n!) \int_{-1}^1 f_n(t) dt
}
{ =} { (-1)^n (n!) (-1)^n \cdot 2 \cdot { \frac{ 2^n (n!) }{ (2n+1)(2n-1) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1 } }
}
{ =} { 2 \cdot{ \frac{ 2^n (n!)^2 }{ (2n+1)(2n-1) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Somit ist insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle t^n , P_n \right\rangle
}
{ =} { 2 \cdot{ \frac{ n! }{ (2n+1)(2n-1) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist unter Verwendung der bewiesenen Orthogonalitätsrelation und von
Aufgabe 24.2
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \left\langle P_n , P_n \right\rangle
}
{ =} { \left\langle { \frac{ (2n) \cdots (n+1) }{ 2^n (n!) } } t^n , P_n \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ (2n)! }{ 2^n (n!)^2 } } \left\langle t^n , P_n \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ (2n)! }{ 2^n (n!)^2 } } \cdot 2 \cdot{ \frac{ n! }{ (2n+1)(2n-1) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1 } }
}
{ =} { { \frac{ (2n)! }{ 2^n \cdot (n!) \cdot (2n-1) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1 } } \cdot { \frac{ 2 }{ 2n+1 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 2 }{ 2n+1 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Somit bilden die
\mathl{{ \frac{ \sqrt{2n+1} }{ \sqrt{2 } } } P_n}{} ein Orthonormalsystem. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle t^0,t^1 , \ldots , t^n \rangle
}
{ =} { \langle P_0,P_1 , \ldots , P_n \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und da die Leitkoeffizienten der $P_n$ positiv ist, ergeben sich die normierten Legendre-Polynomen auch beim Orthonormalisierungsverfahren. Die Vollständigkeit ergibt sich aus
Korollar 20.12
und aus
dem Weierstrassschen Approximationssatz.
\zwischenueberschrift{Tschebyschow-Polynome}
Wir betrachten das Intervall
\mathl{[-1,1]}{} als Maßraum mit dem Maß $\mu$, das durch die
\definitionsverweis {Dichte}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1-t^2} } }}{} bezüglich dem Lebesgue-Maß gegeben ist. Diese Funktion beschreibt den Kehrwert des oberen Halbkreises, dadurch werden die Ränder stark gewichtet, eine Stammfunktion dieser Dichte ist
\mathl{\arcsin t}{} gemäß
Aufgabe 21.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Die Zugehörigkeit einer messbaren Funktion $f$ zu
\mathl{L^2([-1,1], \mu)}{} bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{-1}^1 { \frac{ \betrag { f(t) }^2 }{ \sqrt{1-t^2 } } } dt
}
{ <} { \infty
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieses maßtheoretische Integral ist für eine stetige Funktion $f$ ein
\definitionsverweis {uneigentliches Integral}{}{,}
dessen Existenz aus
Aufgabe 31.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
folgt. Das Skalarprodukt auf
\mathl{L^2([-1,1], \mu)}{} für bezüglich der Dichte quadratintegrierbare Funktionen $f,g$ ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle f , g \right\rangle
}
{ =} { \int_{-1}^1 f(t) \overline{ g(t) } { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1-t^2} } } dt
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben.
\inputdefinition
{}
{
Unter dem $n$-ten
\definitionswort {Tschebyschow-Polynom}{}
versteht man das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_n(t)
}
{ =} { \sum_{k = 0}^{ \left \lfloor n/2 \right \rfloor } \binom { n } { 2k } t^{n-2k} (t^2-1)^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Chebyshev Polynomials of the First Kind.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die ersten fünf Tschebyschow-Polynome im für die Orthogonalitätsrelation entscheidenden Intervall $[-1,1]$. Der Wertebereich auf diesem Intervall ist ebenfalls $[-1,1]$, obwohl die Leitkoeffizienten große Zweierpotenzen sind.} }
\bildlizenz { Chebyshev Polynomials of the First Kind.svg } {} {Rayhem} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Aus der Definition ist ablesbar, dass das $n$-te Tschebyschow-Polynom den Grad $n$ besitzt. Die ersten Tschebyschow-Polynome lauten.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_0 (t)
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_1(t)
}
{ =} { t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_2(t)
}
{ =} { 2 t^2 - 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_3(t)
}
{ =} { 4 t^3 - 3 t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_4(t)
}
{ =} { 8 t^4 - 8 t^2 + 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_5(t)
}
{ =} { 16 t^5 - 20 t^3 + 5 t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_6(t)
}
{ =} { 32 t^6 - 48 t^4 + 18 t^2 - 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Tschebyschow-Polynom/Bezug zum Kosinus/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Für das $n$-te
\definitionsverweis {Tschebyschow-Polynom}{}{}
gilt}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_n( \cos z )
}
{ =} { \cos \left( n z \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz 15.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (1)
und
Satz 15.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \cos \left( n z \right) + { \mathrm i} \sin \left( n z \right)
}
{ =} { e^{ { \mathrm i} n z }
}
{ =} { { \left( e^{ { \mathrm i}z} \right) }^n
}
{ =} { { \left( \cos \left( z \right) + { \mathrm i} \sin \left( z \right) \right) }^n
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn wir die rechte Seite ausmultiplizieren erhalten wir mit
Satz 3.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \sum_{\ell = 0}^n \binom { n } { \ell } { \mathrm i}^\ell \sin^{ \ell } z \cos^{ n-\ell } z
}
{ =} { \sum_{k = 0}^{ \left \lfloor n/2 \right \rfloor } (-1)^k \binom { n } { 2k } \sin^{ 2k } z \cos^{ n- 2k } z + { \mathrm i} \sum_{k = 0}^{ \left \lfloor n/2 \right \rfloor } (-1)^k \binom { n } { 2k+1 } \sin^{ 2k+1 } z \cos^{ n- 2k -1 } z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Der Vergleich der Realteile bei $z$ reell und
Satz 15.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (6)
ergibt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \cos nz
}
{ =} { \sum_{k = 0}^{ \left \lfloor n/2 \right \rfloor } (-1)^k \binom { n } { 2k } { \left( 1- \cos^{ 2 } z \right) }^k \cos^{ n- 2k } z
}
{ =} { \sum_{k = 0}^{ \left \lfloor n/2 \right \rfloor } \binom { n } { 2k } \cos^{ n- 2k } z { \left( \cos^{ 2 } z -1 \right) }^k
}
{ =} { T_n( \cos z )
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Als eine Gleichheit für analytische Funktionen gilt sie auch für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für reelles $t$ zwischen $-1$ und $1$ ist der Kosinus
nach Korollar 21.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
bijektiv und es gibt ein eindeutiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ [0, \pi]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ \cos z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ \arccos t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit kann man auf diesen reellen Intervallen
Satz 24.4
auch also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_n(t)
}
{ =} { T_n( \cos z )
}
{ =} { \cos \left( nz \right)
}
{ =} { \cos \left( n \arccos t \right)
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben.
\inputfaktbeweis
{Tschebyschow-Polynom/Rekursionsformel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Tschebyschow-Polynome}{}{}
erfüllen die Rekursionsbedingungen}
\faktfolgerung {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_1(t)
}
{ = }{ t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_{n+1} (t)
}
{ =} { 2 t T_n(t) -T_{n-1}(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Eine doppelte Anwendung
des Additionstheorems für den Kosinus
ergibt mit
Satz 24.4
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ T_{n+1}( \cos z )
}
{ =} { \cos \left( (n+1) z \right)
}
{ =} { \cos \left( n z \right) \cos \left( z \right) - \sin \left( n z \right) \sin z
}
{ =} { 2 \cos \left( n z \right) \cos \left( z \right) - \cos \left( n z \right) \cos \left( z \right) - \sin \left( n z \right) \sin z
}
{ =} { 2 \cos z \cos \left( nz \right) - \cos (n-1) z
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 2 \cos z \cdot T_n( \cos z ) - T_{n-1} ( \cos \left( z \right) )
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ [0 ,\pi]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher muss überhaupt die behauptete polynomiale Identität vorliegen.
Aus dieser Rekursionsformel ergibt sich unmittelbar, dass der Leitkoeffizient von $T_n$ gleich $2^{n-1}$ ist. Gelegentlich betrachtet man auch die normierten Tschebyschow-Polynome, bei denen man einfach durch $2^{n-1}$ teilt.
\inputfaktbeweis
{Tschebyschow-Polynom/Nullstellen/Maxima/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Tschebyschow-Polynome}{}{}
$T_n$ erfüllen im Reellen die folgenden Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Das Bild von $[-1,1]$ unter $T_n$ liegt in $[-1,1]$.
}{$T_n$ besitzt die $n$ reellen Nullstellen
\mathbed {\cos \left( { \frac{ 2k-1 }{ 2n } } \pi \right)} {}
{k = 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
die alle in $[-1,1]$ liegen. Diese Nullstellen sind einfach und $T_n$ besitzt
\zusatzklammer {auch in ${\mathbb C}$} {} {}
keine weiteren Nullstellen.
}{Die Extrema von $T_n$ auf $[-1,1]$ werden in den Punkten
\mathbed {\cos \left( { \frac{ k }{ n } } \pi \right)} {}
{k = 0 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
mit den Werten $(-1)^k$ angenommen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 1 , \ldots , n-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind dies die lokalen Extrema von $T_n$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir arbeiten für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ [-1,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_n(t)
}
{ =} { \cos \left( n \arccos t \right)
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{,}
die sich aus
Satz 24.4
ergibt. Die Aussagen folgen dann aus
Korollar 21.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Dass die Nullstellen einfach sind und dass es auch im Komplexen keine weiteren Nullstellen gibt folgt aus
Korollar 11.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)),
da $T_n$ den Grad $n$ besitzt. Dass es nicht mehr lokale Extrema geben kann folgt aus
Satz 19.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
\inputfaktbeweis
{Normiertes Polynom/R/Betragsmaximum auf -1 bis 1/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $P$ ein reelles
\definitionsverweis {normiertes Polynom}{}{}
vom Grad $n$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{max} \left( \betrag { P(t) } {{|}} -1 \leq t \leq 1 \right)
}
{ \geq} { { \frac{ 1 }{ 2^{n-1 } }}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten die normierten Tschebyschow-Polynome
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2^{n-1} } } T_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die normiert sind und deren Bild von $[-1,1]$ nach
Lemma 24.6
in
\mathl{[ -{ \frac{ 1 }{ 2^{n-1} } } , { \frac{ 1 }{ 2^{n-1} } } ]}{} liegt, wobei die Maxima bzw. Minima in den $n+1$ Punkten
\mathbed {\cos \left( { \frac{ k }{ n } } \pi \right)} {mit}
{k = 0 , \ldots , n} {}
{} {} {} {}
abwechselnd angenommen werden. Nehmen wir an, es gebe ein normiertes Polynom $P(t)$, dessen Betrag auf $[-1,1]$ überall echt kleiner als ${ \frac{ 1 }{ 2^{n-1} } }$ ist. Wir betrachten das Differenzpolynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D(t)
}
{ = }{ Q(t)-P(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dieses Polynom hat an den Stellen, wo $Q(t)$ den maximalen Wert ${ \frac{ 1 }{ 2^{n-1} } }$ annimmt, einen positiven Wert, und an den Stellen, wo $Q(t)$ den minimalen Wert $- { \frac{ 1 }{ 2^{n-1} } }$ annimmt, einen negativen Wert. Da die Extrema von $Q$ sich abwechseln, besitzt $D$ zumindest $n$ Vorzeichenwechsel und somit nach
dem Zwischenwertsatz
zumindest $n$ Nullstellen. Da aber $D$ die Differenz von zwei normierten Polynomen vom Grad $n$ ist, besitzt $D$ höchstens den Grad $n-1$ und kann nach
Korollar 11.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
höchstens $n-1$ Nullstellen besitzen.
\inputfaktbeweis
{Tschebyschow-Polynom/Orthogonalsystem/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Tschebyschow-Polynome}{}{}
$T_n$}
\faktfolgerung {bilden ein
\definitionsverweis {Orthogonalsystem}{}{}
in $L^2[-1,1]$ bezüglich des Maßes mit der Dichte ${ \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1-t^2} } }$.}
\faktzusatz {Die Familie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ T_0 }{ \sqrt{\pi} } }
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ \sqrt{\pi} } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathbed {{ \frac{ \sqrt{2}T_n }{ \sqrt{\pi} } }} {}
{n \geq 1} {}
{} {} {} {,}
bilden ein
\definitionsverweis {vollständiges Orthonormalsystem}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle T_n , T_m \right\rangle
}
{ =} { \int_{-1}^1 T_n(t) T_m(t) { \frac{ 1 }{ \sqrt{1-t^2} } } dt
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit der Substitution
\zusatzklammer {vergleiche
Lemma 27.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ \cos z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man dies unter Verwendung von
Satz 24.4
überführen in
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^\pi T_n( \cos z ) T_m(\cos z ) dz
}
{ =} { \int_0^\pi \cos \left( nz \right) \cos \left( mz \right) dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit
dem Additionstheorem für den Kosinus
in der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( x+y \right) + \cos \left( x-y \right)
}
{ = }{ 2 \cos x \cos y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man dies als
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \int_0^\pi \cos \left( (n+m)z \right) dz + { \frac{ 1 }{ 2 } } \int_0^\pi \cos \left( (n-m)z \right) dz} { . }
schreiben. Beide Integral sind gleich $0$, außer bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
in diesem Fall ist bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} das Ergebnis $\pi/2$ und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich $\pi$. Die Vollständigkeit ergibt sich aus
dem Weierstrassschen Approximationssatz
und aus
Korollar 20.10.