Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 24

Wir besprechen weitere polynomiale orthonomale System in ${}L^{2}$-Räumen.

Legendre-Polynome

Definition

Unter dem ${}n$-ten Legendre-Polynom ${}P_{n}(t)$ versteht man das Polynom

${\frac {1}{2^{n}(n!)}}((t^{2}-1)^{n})^{(n)}.$

Die ersten sechs Legendre-Polynome im für die Orthogonalitsärelation entscheidenden Intervall ${}[-1,1]$.

Aus der Definition ist ablesbar, dass das ${}n$-te Legendre-Polynom den Grad ${}n$ besitzt. Die ersten Legendre-Polynome lauten.

${}P_{0}(t)=1\,,$

${}P_{1}(t)=t\,,$

${}P_{2}(t)={\frac {1}{2}}{\left(3t^{2}-1\right)}\,,$

${}P_{3}(t)={\frac {1}{2}}{\left(5t^{3}-3t\right)}\,,$

${}P_{4}(t)={\frac {1}{8}}{\left(35t^{4}-30t^{2}+3\right)}\,,$

${}P_{5}(t)={\frac {1}{8}}{\left(63t^{5}-70t^{3}+15t\right)}\,,$

${}P_{6}(t)={\frac {1}{16}}{\left(231t^{6}-315t^{4}+105t^{2}-5\right)}\,.$

Satz

Die Legendre-Polynome ${}P_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$,

bilden ein Orthogonalsystem in ${}L^{2}([-1,1])$. Die normierten (im Sinne der ${}L^{2}$-Norm) Legendre-Polynome ${}{\frac {\sqrt {2n+1}}{\sqrt {2}}}P_{n}$ entstehen aus den Potenzen ${}t^{0},t^{1},t^{2}$ mit dem Orthonormalisierungsverfahren und bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.

Beweis

Wir schreiben

${}f_{n}={\left(t^{2}-1\right)}^{n}\,,$

es ist also

${}P_{n}={\frac {f_{n}^{(n)}}{2^{n}(n!)}}\,.$

Für ${}n\geq m,1$ ergibt sich mit iterierter partieller Integration und da ${}f_{n}^{(n-k)}$ für ${}k\geq 1$ den Faktor ${}t^{2}-1$ enthält

${}{\begin{aligned}2^{n}(n!)\left\langle t^{m},P_{n}\right\rangle &=\left\langle t^{m},f_{n}^{(n)}\right\rangle \\&=\int _{-1}^{1}t^{m}f_{n}^{(n)}(t)dt\\&=\left(t^{m}f_{n}^{(n-1)}(t)\right)|_{-1}^{1}-m\int _{-1}^{1}t^{m-1}f_{n}^{(n-1)}(t)dt\\&=-m\int _{-1}^{1}t^{m-1}f_{n}^{(n-1)}(t)dt\\&=(-1)^{2}m(m-1)\int _{-1}^{1}t^{m-2}f_{n}^{(n-2)}(t)dt\\&=\ldots \\&=(-1)^{m}(m!)\int _{-1}^{1}f_{n}^{(n-m)}(t)dt.\end{aligned}}$

Bei ${}m<n$ ist dies gleich ${}0$, da ${}f_{n}^{(n-m-1)}(t)$ eine Stammfunktion von ${}f_{n}^{(n-m)}(t)$ ist und den Faktor ${}(t-1)^{2}$ enthält. Es liegt also ein Orthogonalsystem vor.

Bei ${}m=n$ ist der Ausdruck nach Aufgabe 25.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gleich

${}{\begin{aligned}(-1)^{n}(n!)\int _{-1}^{1}f_{n}(t)dt&=(-1)^{n}(n!)(-1)^{n}\cdot 2\cdot {\frac {2^{n}(n!)}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\\&=2\cdot {\frac {2^{n}(n!)^{2}}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}.\end{aligned}}$

Somit ist insbesondere

${}\left\langle t^{n},P_{n}\right\rangle =2\cdot {\frac {n!}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\,$

und daher ist unter Verwendung der bewiesenen Orthogonalitätsrelation und von Aufgabe 24.2

${}{\begin{aligned}\left\langle P_{n},P_{n}\right\rangle &=\left\langle {\frac {(2n)\cdots (n+1)}{2^{n}(n!)}}t^{n},P_{n}\right\rangle \\&={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left\langle t^{n},P_{n}\right\rangle \\&={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\cdot 2\cdot {\frac {n!}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\\&={\frac {(2n)!}{2^{n}\cdot (n!)\cdot (2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\cdot {\frac {2}{2n+1}}\\&={\frac {2}{2n+1}}.\end{aligned}}$

Somit bilden die ${}{\frac {\sqrt {2n+1}}{\sqrt {2}}}P_{n}$ ein Orthonormalsystem. Wegen

${}\langle t^{0},t^{1},\ldots ,t^{n}\rangle =\langle P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}\rangle \,$

und da die Leitkoeffizienten der ${}P_{n}$ positiv ist, ergeben sich die normierten Legendre-Polynomen auch beim Orthonormalisierungsverfahren. Die Vollständigkeit ergibt sich aus Korollar 20.12 und aus dem Weierstrassschen Approximationssatz.

$\Box$

Tschebyschow-Polynome

Wir betrachten das Intervall ${}[-1,1]$ als Maßraum mit dem Maß ${}\mu$, das durch die Dichte ${}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}$ bezüglich dem Lebesgue-Maß gegeben ist. Diese Funktion beschreibt den Kehrwert des oberen Halbkreises, dadurch werden die Ränder stark gewichtet, eine Stammfunktion dieser Dichte ist ${}\arcsin t$ gemäß Aufgabe 21.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Die Zugehörigkeit einer messbaren Funktion ${}f$ zu ${}L^{2}([-1,1],\mu )$ bedeutet

${}\int _{-1}^{1}{\frac {\vert {f(t)}\vert ^{2}}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt<\infty \,.$

Dieses maßtheoretische Integral ist für eine stetige Funktion ${}f$ ein uneigentliches Integral, dessen Existenz aus Aufgabe 31.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) folgt. Das Skalarprodukt auf ${}L^{2}([-1,1],\mu )$ für bezüglich der Dichte quadratintegrierbare Funktionen ${}f,g$ ist durch

${}\left\langle f,g\right\rangle =\int _{-1}^{1}f(t){\overline {g(t)}}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt\,$

gegeben.

Definition

Unter dem ${}n$-ten Tschebyschow-Polynom versteht man das Polynom

${}T_{n}(t)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}t^{n-2k}(t^{2}-1)^{k}\,.$

Die ersten fünf Tschebyschow-Polynome im für die Orthogonalitätsrelation entscheidenden Intervall ${}[-1,1]$. Der Wertebereich auf diesem Intervall ist ebenfalls ${}[-1,1]$, obwohl die Leitkoeffizienten große Zweierpotenzen sind.

Aus der Definition ist ablesbar, dass das ${}n$-te Tschebyschow-Polynom den Grad ${}n$ besitzt. Die ersten Tschebyschow-Polynome lauten.

${}T_{0}(t)=1\,,$

${}T_{1}(t)=t\,,$

${}T_{2}(t)=2t^{2}-1\,,$

${}T_{3}(t)=4t^{3}-3t\,,$

${}T_{4}(t)=8t^{4}-8t^{2}+1\,,$

${}T_{5}(t)=16t^{5}-20t^{3}+5t\,,$

${}T_{6}(t)=32t^{6}-48t^{4}+18t^{2}-1\,.$

Satz

Für das ${}n$-te Tschebyschow-Polynom gilt

${}T_{n}(\cos z)=\cos \left(nz\right)\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.

Beweis

Nach Satz 15.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (1) und Satz 15.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist

$\cos \left(nz\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(nz\right)=e^{{\mathrm {i} }nz}={\left(e^{{\mathrm {i} }z}\right)}^{n}={\left(\cos \left(z\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(z\right)\right)}^{n}\,.$

Wenn wir die rechte Seite ausmultiplizieren erhalten wir mit Satz 3.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))

${}{\begin{aligned}\sum _{\ell =0}^{n}{\binom {n}{\ell }}{\mathrm {i} }^{\ell }\sin ^{\ell }z\cos ^{n-\ell }z&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\sin ^{2k}z\cos ^{n-2k}z+{\mathrm {i} }\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\sin ^{2k+1}z\cos ^{n-2k-1}z\\\end{aligned}}$

Der Vergleich der Realteile bei ${}z$ reell und Satz 15.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (6) ergibt

${}{\begin{aligned}\cos nz&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}{\left(1-\cos ^{2}z\right)}^{k}\cos ^{n-2k}z\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}z{\left(\cos ^{2}z-1\right)}^{k}\\&=T_{n}(\cos z).\end{aligned}}$

Als eine Gleichheit für analytische Funktionen gilt sie auch für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.

$\Box$

Für reelles ${}t$ zwischen ${}-1$ und ${}1$ ist der Kosinus nach Korollar 21.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) bijektiv und es gibt ein eindeutiges ${}z\in [0,\pi ]$ mit ${}t=\cos z$ bzw. ${}z=\arccos t$. Somit kann man auf diesen reellen Intervallen Satz 24.4 auch also

${}T_{n}(t)=T_{n}(\cos z)=\cos \left(nz\right)=\cos \left(n\arccos t\right)\,$

schreiben.

Lemma

Die Tschebyschow-Polynome erfüllen die Rekursionsbedingungen

${}T_{0}=1$, ${}T_{1}(t)=t$ und

${}T_{n+1}(t)=2tT_{n}(t)-T_{n-1}(t)\,.$

Beweis

Eine doppelte Anwendung des Additionstheorems für den Kosinus ergibt mit Satz 24.4

${}{\begin{aligned}T_{n+1}(\cos z)&=\cos \left((n+1)z\right)\\&=\cos \left(nz\right)\cos \left(z\right)-\sin \left(nz\right)\sin z\\&=2\cos \left(nz\right)\cos \left(z\right)-\cos \left(nz\right)\cos \left(z\right)-\sin \left(nz\right)\sin z\\&=2\cos z\cos \left(nz\right)-\cos(n-1)z\\&=2\cos z\cdot T_{n}(\cos z)-T_{n-1}(\cos \left(z\right))\end{aligned}}$

für alle ${}z\in [0,\pi ]$. Daher muss überhaupt die behauptete polynomiale Identität vorliegen.

$\Box$

Aus dieser Rekursionsformel ergibt sich unmittelbar, dass der Leitkoeffizient von ${}T_{n}$ gleich ${}2^{n-1}$ ist. Gelegentlich betrachtet man auch die normierten Tschebyschow-Polynome, bei denen man einfach durch ${}2^{n-1}$ teilt.

Lemma

Die Tschebyschow-Polynome ${}T_{n}$ erfüllen im Reellen die folgenden Eigenschaften.

1. Das Bild von ${}[-1,1]$ unter ${}T_{n}$ liegt in ${}[-1,1]$.
2. ${}T_{n}$ besitzt die ${}n$ reellen Nullstellen ${}\cos \left({\frac {2k-1}{2n}}\pi \right)$, ${}k=1,\ldots ,n$, die alle in ${}[-1,1]$ liegen. Diese Nullstellen sind einfach und ${}T_{n}$ besitzt (auch in ${}{\mathbb {C} }$) keine weiteren Nullstellen.
3. Die Extrema von ${}T_{n}$ auf ${}[-1,1]$ werden in den Punkten ${}\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right)$, ${}k=0,\ldots ,n$, mit den Werten ${}(-1)^{k}$ angenommen. Für ${}k=1,\ldots ,n-1$ sind dies die lokalen Extrema von ${}T_{n}$.

Beweis

Wir arbeiten für ${}t\in [-1,1]$ mit der Darstellung

${}T_{n}(t)=\cos \left(n\arccos t\right)\,,$

die sich aus Satz 24.4 ergibt. Die Aussagen folgen dann aus Korollar 21.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Dass die Nullstellen einfach sind und dass es auch im Komplexen keine weiteren Nullstellen gibt folgt aus Korollar 11.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)), da ${}T_{n}$ den Grad ${}n$ besitzt. Dass es nicht mehr lokale Extrema geben kann folgt aus Satz 19.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

$\Box$

Korollar

Es sei ${}P$ ein reelles normiertes Polynom vom Grad ${}n$.

Dann ist

${}\operatorname {max} \left(\vert {P(t)}\vert {|}-1\leq t\leq 1\right)\geq {\frac {1}{2^{n-1}}}\,.$

Beweis

Wir betrachten die normierten Tschebyschow-Polynome

${}Q_{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}\,,$

die normiert sind und deren Bild von ${}[-1,1]$ nach Lemma 24.6 in ${}[-{\frac {1}{2^{n-1}}},{\frac {1}{2^{n-1}}}]$ liegt, wobei die Maxima bzw. Minima in den ${}n+1$ Punkten ${}\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right)$ mit ${}k=0,\ldots ,n$ abwechselnd angenommen werden. Nehmen wir an, es gebe ein normiertes Polynom ${}P(t)$, dessen Betrag auf ${}[-1,1]$ überall echt kleiner als ${}{\frac {1}{2^{n-1}}}$ ist. Wir betrachten das Differenzpolynom ${}D(t)=Q(t)-P(t)$. Dieses Polynom hat an den Stellen, wo ${}Q(t)$ den maximalen Wert ${}{\frac {1}{2^{n-1}}}$ annimmt, einen positiven Wert, und an den Stellen, wo ${}Q(t)$ den minimalen Wert ${}-{\frac {1}{2^{n-1}}}$ annimmt, einen negativen Wert. Da die Extrema von ${}Q$ sich abwechseln, besitzt ${}D$ zumindest ${}n$ Vorzeichenwechsel und somit nach dem Zwischenwertsatz zumindest ${}n$ Nullstellen. Da aber ${}D$ die Differenz von zwei normierten Polynomen vom Grad ${}n$ ist, besitzt ${}D$ höchstens den Grad ${}n-1$ und kann nach Korollar 11.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) höchstens ${}n-1$ Nullstellen besitzen.

$\Box$

Satz

Die Tschebyschow-Polynome ${}T_{n}$

bilden ein Orthogonalsystem in ${}L^{2}[-1,1]$ bezüglich des Maßes mit der Dichte ${}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}$.

Die Familie ${}{\frac {T_{0}}{\sqrt {\pi }}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}$ und ${}{\frac {{\sqrt {2}}T_{n}}{\sqrt {\pi }}}$, ${}n\geq 1$, bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.

Beweis

Es ist

${}\left\langle T_{n},T_{m}\right\rangle =\int _{-1}^{1}T_{n}(t)T_{m}(t){\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt\,.$

Mit der Substitution (vergleiche Lemma 27.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))) ${}t=\cos z$ kann man dies unter Verwendung von Satz 24.4 überführen in

${}\int _{0}^{\pi }T_{n}(\cos z)T_{m}(\cos z)dz=\int _{0}^{\pi }\cos \left(nz\right)\cos \left(mz\right)dz\,.$

Mit dem Additionstheorem für den Kosinus in der Form ${}\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right)=2\cos x\cos y$ kann man dies als

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\cos \left((n+m)z\right)dz+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\cos \left((n-m)z\right)dz.$

schreiben. Beide Integral sind gleich ${}0$, außer bei ${}n=m$, in diesem Fall ist bei ${}n\geq 1$ das Ergebnis ${}\pi /2$ und bei ${}n=0$ gleich ${}\pi$. Die Vollständigkeit ergibt sich aus dem Weierstrassschen Approximationssatz und aus Korollar 20.10.

$\Box$

<< | Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023) | >> PDF-Version dieser Vorlesung Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)