Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 46/latex
\setcounter{section}{46}
\zwischenueberschrift{Der Gradient}
\inputfaktbeweis
{Bilinearform/Linearformen/Nicht ausgeartet/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} der mit einer
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} versehen sei.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Zuordnungen
\maabbeledisp {} {V} {K
} {v} { \left\langle u , v \right\rangle
} {,}
und
\maabbeledisp {} {V} {K
} {v} { \left\langle v , u \right\rangle
} {,}
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{.}
}{Die Zuordnung
\maabbeledisp {} {V} { { V }^{ * }
} {u} { \left\langle u , - \right\rangle
} {,}
ist $K$-linear.
}{Wenn
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{}
\definitionsverweis {nicht ausgeartet}{}{}
ist, so ist die Zuordnung in (2)
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}
Ist $V$ zusätzlich
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{,}
so ist diese Zuordnung
\definitionsverweis {bijektiv}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) folgt unmittelbar aus der Bilinearität.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1,u_2
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1,a_2
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle a_1u_1+a_2u_2 , v \right\rangle
}
{ =} { a_1 \left\langle u_1 , v \right\rangle +a_2 \left\langle u_2 , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und dies bedeutet gerade die Linearität der Zuordnung.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3). Da die Zuordnung nach (2) linear ist, müssen wir zeigen, dass der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
davon trivial ist. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
so, dass
\mathl{\left\langle u , - \right\rangle}{} die Nullabbildung ist. D.h.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle u , v \right\rangle
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann muss aber nach der Definition von
\definitionsverweis {nicht ausgeartet}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn $V$ endliche Dimension hat, so liegt eine injektive lineare Abbildung zwischen Vektorräumen der gleichen Dimension vor, und eine solche ist nach
Korollar 12.10
bijektiv.}
{}
Wenn es also in einem endlichdimensionalen Vektorraum eine nicht ausgeartete Bilinearform gibt, bspw. ein Skalarprodukt, so gibt es zu jeder Linearform einen eindeutig bestimmten Vektor, mit dem diese Linearform beschrieben wird. Wendet man dies auf die Linearform an, die durch das totale Differential zu einer differenzierbaren Funktion
\maabb {f} {V} {\R
} {}
gegeben ist, so gelangt man zum Begriff des Gradienten.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(V, \left\langle - , - \right\rangle)}{} ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
eine in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}
Dann nennt man den eindeutig bestimmten Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( Df \right) }_{P} { \left( v \right) }
}
{ =} { \left\langle w , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Gradienten}{} von $f$ in $P$. Er wird mit
\mathdisp {\operatorname{Grad} \, f ( P )} { }
bezeichnet.
} Man beachte, dass wir durchgehend die endlichdimensionalen Vektorräume mit einem Skalarprodukt versehen, um topologische Grundbegriffe wie Konvergenz und Stetigkeit zur Verfügung zu haben, dass diese Begriffe aber nicht von dem gewählten Skalarprodukt abhängen. Dem entgegen hängt aber der Gradient von dem gewählten Skalarprodukt ab.
Bei
\mathl{V=\R^n}{,} versehen mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{,}
ist der Gradient einfach gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
\operatorname{Grad} \, f ( P )
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } } \\\vdots\\ { \frac{ \partial f }{ \partial x_n } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
{Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(V, \left\langle - , - \right\rangle )}{} ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
eine in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { { \left( Df \right) }_{P} { \left( v \right) } }
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {
\operatorname{Grad} \, f ( P ) } \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn $v$
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{}
zum
\definitionsverweis {Gradienten}{}{}
ist.
}{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{
\operatorname{Grad} \, f ( P )
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Unter allen Vektoren
\mathbed {v \in V} {mit}
{\Vert {v} \Vert =1} {}
{} {} {} {}
ist die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in Richtung des normierten Gradienten maximal, und zwar gleich der
\definitionsverweis {Norm}{}{}
des Gradienten.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{(1) folgt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( Df \right) }_{P} { \left( v \right) }
}
{ =} { \left\langle v ,
\operatorname{Grad} \, f ( P ) \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
direkt aus der
Abschätzung von Cauchy-Schwarz.
(2) ergibt sich aus den Zusätzen zur Cauchy Schwarz, siehe
Aufgabe 46.14.
(3). Aus (1) und (2) folgt, dass
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { \left\langle
\operatorname{Grad} \, f ( P ) , \pm { \frac{
\operatorname{Grad} \, f ( P ) }{ \Vert {
\operatorname{Grad} \, f ( P )} \Vert } } \right\rangle }
}
{ =} { \betrag { { \left( Df \right) }_{P} { \left( \pm { \frac{
\operatorname{Grad} \, f ( P ) }{ \Vert {
\operatorname{Grad} \, f ( P )} \Vert } } \right) } }
}
{ =} { \Vert {
\operatorname{Grad} \, f ( P )} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
gilt, und dass diese beiden Vektoren die einzigen Vektoren der Norm $1$ sind, für die diese Gleichung gilt. Wenn man links die Betragstriche weglässt, so gilt die Gleichheit für
\mathl{{ \frac{
\operatorname{Grad} \, f ( P ) }{ \Vert {
Der Gradient gibt demnach die Richtung an, in die die Funktion den stärksten Anstieg hat. In die entgegengesetze Richtung liegt entsprechend der steilste Abstieg vor.
\zwischenueberschrift{Lokale Extrema von Funktionen in mehreren Variablen}
Wir wollen mit den Mitteln der Differentialrechnung Kriterien erarbeiten, in welchen Punkten eine Funktion \maabbdisp {f} {G} {\R } {} ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum annimmt. Wenn man sich den Graph einer solchen Funktion als ein Gebirge über der Grundmenge $G$ vorstellt, so geht es also um die Gipfel und die Senken des Gebirges. Der folgende Satz liefert ein notwendiges Kriterium für die Existenz eines lokalen Extremums, das das entsprechende Kriterium in einer Variablen verallgemeinert.
\inputfaktbeweis
{Lokales Extremum/Richtungsableitung/Totales Differential/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
Teilmenge.}
\faktvoraussetzung {Es sei
\maabbdisp {f} {G } {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{,}
die im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {lokales Extremum}{}{}
besitzt.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Wenn $f$ in $P$ in Richtung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} f \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Wenn $f$ in $P$
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist, so verschwindet das totale Differential, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(Df\right)_{P}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten wir die Funktion
\maabbeledisp {h} {I} {\R
} {t} {h(t) = f(P+tv)
} {,}
wobei $I$ ein geeignetes reelles Intervall ist. Da die Funktion $f$ in $P$ ein lokales Extremum besitzt, besitzt die Funktion $h$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls ein lokales Extremum. Nach Voraussetzung ist $h$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
und nach
Satz 28.1
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h'(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Ableitung stimmt aber mit der Richtungsableitung überein, also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} f \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} { h'(0)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2) folgt aus (1) aufgrund von
Proposition 45.1.}
{}
Ein lokales Extremum kann also nur in einem sogenannten kritischen Punkt einer Funktion auftreten.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {f} {G } {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}
Dann heißt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein \definitionswort {kritischer Punkt}{} von $f$
\zusatzklammer {oder ein \definitionswort {stationärer Punkt}{}} {} {,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(Df\right)_{P}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Andernfalls spricht man von einem \definitionswort {regulären Punkt}{.}
}
Wir sind natürlich auch an hinreichenden Kriterien für das Vorliegen von lokalen Extrema interessiert. Wie schon im eindimensionalen Fall muss man sich die zweiten Ableitungen anschauen, wobei die Situation natürlich dadurch wesentlich verkompliziert wird, dass es zu je zwei Richtungsvektoren
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
eine zweite Richtungsableitung
\mathl{D_{vw}=D_v D_w}{} gibt. Die zweite Richtungsableitung wird dadurch handhabbar, dass man sie in die sogenannte Hesse-Form bzw. Hesse-Matrix zusammenfasst. Als solche ist sie eine symmetrische Bilinearform, die mit Methoden der linearen Algebra analysiert werden kann. Diese Methoden werden wir im Folgenden entwickeln und insbesondere auf die Hesse-Form anwenden, um schließlich hinreichende Kriterien für die Existenz von lokalen Extrema zu erhalten.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\operatorname{Hess}_{ P } \, f} {V \times V } {\R
} {(u,v)} { D_u D_v f (P)
} {,}
die \definitionswort {Hesse-Form}{} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Es sei eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {v_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
von $V$ gegeben mit den zugehörigen
\definitionsverweis {Richtungsableitungen}{}{}
\mathbed {D_i \defeq D_{v_i}} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {.}
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt dann die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} D_1D_1 f (P) & \cdots & D_1D_{ n } f (P) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ D_{ n } D_1 f (P) & \cdots & D_{ n }D_{ n } f (P) \end{pmatrix}} { }
die \definitionswort {Hesse-Matrix}{} zu $f$ im Punkt $P$ bezüglich der gegebenen Basis.
}
Die Hesse-Matrix ist beispielsweise die Gramsche Matrix der Hesse-Form bezüglich der Standardbasis im
\mathl{\R^n}{.}
\zwischenueberschrift{Eigenschaften von Bilinearformen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Dann heißt die
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\left\langle v_{ i } , v_{ j } \right\rangle _{ 1 \leq i , j \leq n }} { }
die \definitionswort {Gramsche Matrix}{} von
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis.
}
\inputfaktbeweis
{Bilinearform/Gramsche Matrix unter Basiswechsel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
zwei
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$ und es seien
\mathkor {} {G} {bzw.} {H} {}
die
\definitionsverweis {Gramschen Matrizen}{}{}
von
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basen.}
\faktvoraussetzung {Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w_j
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_{ij} v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die wir durch die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }_{i,j}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausdrücken.}
\faktfolgerung {Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ =} { { A^{ \text{tr} } } G A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle w_r , w_s \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \sum_{i = 1}^n a_{ir} v_i , \sum_{k = 1}^n a_{ks} v_k \right\rangle
}
{ =} { \sum_{1 \leq i,k \leq n} a_{ir} a_{ks} \left\langle v_i , v_k \right\rangle
}
{ =} { \sum_{1 \leq i \leq n} a_{ir} { \left( \sum_{1 \leq k \leq n} a_{ks} \left\langle v_i , v_k \right\rangle \right) }
}
{ =} { \sum_{1 \leq i \leq n} a_{ir} { \left( G \circ A \right) }_{is}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( { A^{ \text{tr} } } \circ { \left( G \circ A \right) } \right) }_{rs}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Die Bilinearform heißt \definitionswort {symmetrisch}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle w , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Diese Bilinearform heißt
\aufzaehlungfuenf{\definitionswort {positiv definit}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {}
ist.
}{\definitionswort {negativ definit}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {}
ist.
}{\definitionswort {positiv semidefinit}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{\definitionswort {negativ semidefinit}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ \leq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{\definitionswort {indefinit}{,} wenn
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.
}
}
Positiv definite symmetrische Bilinearformen nennt man auch Skalarprodukte. Eine Bilinearform auf $V$ kann man auf einen Untervektorraum
\mathl{U \subseteq V}{} einschränken, wodurch sich eine Bilinearform auf $U$ ergibt. Wenn die ursprüngliche Form positiv definit ist, so überträgt sich dies auf die Einschränkung. Allerdings kann eine indefinite Form eingeschränkt auf gewisse Unterräume positiv definit werden und auf andere negativ definit. Dies führt zu folgender Definition.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Man sagt, dass eine solche Bilinearform den \definitionswort {Typ}{}
\mathdisp {(p,q)} { }
besitzt, wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p
}
{ \defeq} {{\max { \left( \dim_{ \R } { \left( U \right) } , U \subseteq V, \, \left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U \text{ positiv definit} \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q
}
{ \defeq} {{\max { \left( \dim_{ \R } { \left( U \right) } , U \subseteq V, \, \left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U \text{ negativ definit} \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {James_Joseph_Sylvester.jpg} }
\end{center}
\bildtext {James Joseph Sylvester (1814-1897)} }
\bildlizenz { James Joseph Sylvester.jpg } {nicht bekannt} {} {Commons} {PD} {Altes Photo}
Bei einem Skalarprodukt auf einem $n$-dimensionalen reellen Vektorraum ist der Typ
\mathl{(n,0)}{.} Wie für Skalarprodukte nennt man zwei Vektoren
\mathl{v,w \in V}{} \stichwort {orthogonal} {} bezüglich einer Bilinearform, wenn
\mathl{\left\langle v , w \right\rangle=0}{} ist, und ähnlich wie im Fall eines Skalarproduktes kann man zeigen, dass es Orthogonalbasen gibt. Die folgende Aussage nennt man den \stichwort {Trägheitssatz von Sylvester} {.}
\inputfaktbeweis
{Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
von
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich einer jeden
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
mit $p$ positiven und $q$ negativen Einträgen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Bezüglich einer
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} von $V$
\zusatzklammer {die es nach
Fakt *****
gibt} {} {}
hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei $p'$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und $q'$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten $p'$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden $q'$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen $0$ seien. Auf dem $p'$-dimensionalen Unterraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \langle u_1 , \ldots , u_{p'} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die eingeschränkte Bilinearform
\definitionsverweis {positiv definit}{}{,}
sodass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p'
}
{ \leq }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ = }{ \langle u_{p'+1} , \ldots , u_{n} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf diesem Unterraum ist die Bilinearform
\definitionsverweis {negativ semidefinit}{}{.}
Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{U \oplus W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.
Angenommen, es gebe einen Unterraum $U'$, auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension $p$ größer als $p'$ ist. Die Dimension von $W$ ist
\mathl{n-p'}{} und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W \cap U'
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Fakt *****.
Für einen Vektor
\mathbed {w \in W \cap U'} {}
{w \neq 0} {}
{} {} {} {,}
ergibt sich aber direkt der Widerspruch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle w , w \right\rangle
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle w , w \right\rangle
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
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