Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 50

Diffeomorphismen

Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit gibt Anlass zu folgender Definition.

Definition

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume und ${}U_{1}\subseteq V_{1}$ und ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ offene Teilmengen. Eine Abbildung

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

heißt ${}C^{k}$-Diffeomorphismus, wenn ${}\varphi$ bijektiv und ${}k$-mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

ebenfalls ${}k$-mal stetig differenzierbar ist.

Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit besagt also, dass eine stetig differenzierbare Abbildung mit invertierbarem totalen Differential lokal (!) ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus ist (es gibt auch ${}C^{k}$-Versionen von diesem Satz). Zwei offene Mengen ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ heißen ${}C^{k}$-diffeomorph, wenn es einen ${}C^{k}$-Diffeomorphismus zwischen ihnen gibt.

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ offen, sei ${}P\in G$ und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine in ${}P$ differenzierbare Abbildung. Dann heißt ${}P$ ein regulärer Punkt von ${}\varphi$, wenn

${}\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}={\min {\left(\dim _{}{\left(V\right)},\dim _{}{\left(W\right)}\right)}}\,$

ist. Andernfalls heißt ${}P$ ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.

Bemerkung  

Eine differenzierbare Abbildung ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ ist genau dann regulär in einem Punkt ${}P\in G$, wenn das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ den maximal möglichen Rang besitzt. Der Rang ist nach Korollar 14.2 und nach Lemma 14.3 gleich dem Spalten- bzw. Zeilenrang einer beschreibenden Matrix. Daher ist der Rang maximal gleich der Anzahl der Zeilen und maximal gleich der Anzahl der Spalten, also maximal gleich dem Minimum der beiden Dimensionen.

Bei ${}\dim _{}{\left(W\right)}=1$ ist ${}P$ ein regulärer Punkt genau dann, wenn ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ nicht die Nullabbildung ist. Daher stimmt diese Definition von regulär mit Definition 46.5 überein. Bei ${}\dim _{}{\left(V\right)}=1$ bedeutet die Regularität wiederum, dass ${}\left(D\varphi \right)_{P}\neq 0$ ist. Generell bedeutet bei ${}\dim _{}{\left(V\right)}\leq \dim _{}{\left(W\right)}$ die Regularität, dass ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ injektiv ist, und bei ${}\dim _{}{\left(V\right)}\geq \dim _{}{\left(W\right)}$ bedeutet die Regularität, dass ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ surjektiv ist. Insbesondere bedeutet bei ${}\dim _{}{\left(V\right)}=\dim _{}{\left(W\right)}$ die Regularität in ${}P$, dass das totale Differential bijektiv ist und dass daher die Voraussetzung im Satz über die lokale Umkehrbarkeit erfüllt ist.

Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-y,x+xy).$

Diese Abbildung ist differenzierbar und die Jacobi-Matrix in einem Punkt ${}P=(x,y)$ ist

${\begin{pmatrix}2x&-1\\1+y&x\end{pmatrix}}.$

Die Determinante davon ist

$2x^{2}+1+y,$

sodass die Bedingung

${}y\neq -2x^{2}-1\,$

die regulären Punkte der Abbildung charakterisiert. Im Nullpunkt ${}(0,0)$ liegt beispielsweise ein regulärer Punkt vor, sodass dort aufgrund des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit lokal eine Bijektion vorliegt, d.h. es gibt offene Umgebungen ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ von ${}(0,0)$ derart, dass die eingeschränkte Abbildung

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

bijektiv ist (mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung).

Wie groß kann dabei ${}U_{1}$ gewählt werden? Wir beschränken uns auf offene Ballumgebungen ${}U{\left((0,0),r\right)}$. Bei ${}r>1$ enthält eine solche Kreisscheibe zwei Punkte der Form

$(\pm x,-1).$

Diese werden unter ${}\varphi$ auf

${}\varphi (\pm x,-1)=\left(x^{2}-(-1),\,x+x(-1)\right)=\left(x^{2}+1,\,0\right)\,$

abgebildet, also auf den gleichen Punkt. Daher ist die Einschränkung der Abbildung auf eine solche Kreisscheibe nicht injektiv, und auf einer solchen Menge kann es keine Umkehrabbildung geben.

Betrachten wir hingegen

${}U_{1}=U{\left((0,0),1\right)}\,$

und

${}U_{2}:=\varphi (U_{1})\,$

Da ${}U_{1}$ keine kritischen Punkte enthält, ist nach Aufgabe 50.9 das Bild ${}U_{2}$ offen. Die eingeschränkte Abbildung ${}\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\rightarrow U_{2}$ ist nach Definition von ${}U_{2}$ surjektiv, sodass nur die Injektivität zu untersuchen ist.

Das Gleichungssystem

$x^{2}-y=u\,\,{\text{ und }}\,\,x+xy=v$

führt auf

${}y=x^{2}-u\,$

und auf

${}x(1+x^{2}-u)=x^{3}+(1-u)x=v\,.$

Seien ${}(x,y)$ und ${}({\tilde {x}},{\tilde {y}})$ aus ${}U{\left((0,0),1\right)}$ mit

${}\varphi (x,y)=\varphi ({\tilde {x}},{\tilde {y}})\,$

gegeben. Dann ist

${}x^{3}+(1-u)x=v={\tilde {x}}^{3}+(1-u){\tilde {x}}\,$

und somit

${}0=x^{3}-{\tilde {x}}^{3}+(1-u)(x-{\tilde {x}})=(x-{\tilde {x}}){\left(x^{2}+x{\tilde {x}}+{\tilde {x}}^{2}+1-u\right)}\,.$

Bei ${}x={\tilde {x}}$ folgt direkt ${}y={\tilde {y}}$. Bei ${}x\neq {\tilde {x}}$ muss

${}x^{2}+x{\tilde {x}}+{\tilde {x}}^{2}+1-u=0\,$

sein. Dies bedeutet ${}y=x^{2}-u=-x{\tilde {x}}-{\tilde {x}}^{2}-1$ und ebenso ${}{\tilde {y}}=-x{\tilde {x}}-x^{2}-1$. Wegen

${}x(y+1)=v\,$

und ${}y+1>0$ müssen ${}x$ und ${}v$ das gleiche Vorzeichen besitzen. Daher müssen auch ${}x$ und ${}{\tilde {x}}$ das gleiche Vorzeichen besitzen. Daraus folgt aber

${}y=-x{\tilde {x}}-{\tilde {x}}^{2}-1\leq -1\,,$

sodass es in der offenen Kreisumgebung mit Radius ${}1$ keine zwei verschiedenen Urbilder geben kann. Mit ${}U_{1}=U{\left((0,0),1\right)}$ liegt also eine Bijektion ${}U_{1}\rightarrow U_{2}$ vor.

Wir haben schon für die komplexen Zahlen Polarkoordinaten verwendet, siehe Satz 29.12. Hier besprechen wir Polarkoordinaten in Hinblick auf lokale Umkehrbarkeit.

Beispiel

Die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(r,\alpha )\longmapsto (r\cos \alpha ,r\sin \alpha ),$

heißt Polarkoordinatenauswertung. Sie ordnet einem Radius ${}r$ und einem Winkel ${}\alpha$ (wegen diesen Bedeutungen schränkt man den Definitionsbereich häufig ein) denjenigen Punkt der Ebene (in kartesischen Koordinaten) zu, zu dem man gelangt, wenn man in Richtung des Winkels (gemessen von der ${}x$-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn) die Strecke ${}r$ zurücklegt. Sie ist in jedem Punkt ${}(r,\alpha )$ stetig differenzierbar mit der Jacobi-Matrix

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &-r\sin \alpha \\\sin \alpha &r\cos \alpha \end{pmatrix}}.$

Diese Abbildung ist nicht injektiv, da die Abbildung im zweiten Argument, also im Winkel ${}\alpha$, periodisch mit der Periode ${}2\pi$ ist. Bei ${}r=0$ ist - unabhängig von ${}\alpha$ - das Bild gleich ${}(0,0)$. Ferner ist ${}\varphi (-r,\alpha +\pi )=\varphi (r,\alpha )$. Die Abbildung kann also nicht global invertierbar sein.

Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

${}r(\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha )=r\,.$

Bei ${}r\neq 0$ liegt also nach Satz 14.13 ein bijektives totales Differential vor. Nach dem Satz über die lokale Umkehrabbildung gibt es zu jedem Punkt ${}(r,\alpha )$ mit ${}r\neq 0$ eine offene Umgebung ${}(r,\alpha )\in U_{1}$ und eine bijektive Abbildung

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}=\varphi (U_{1}).$

Bei ${}r>0$ kann man beispielsweise als offene Umgebung das offene Rechteck

${}U_{1}={]r-\delta ,r+\delta [}\times {]\alpha -\epsilon ,\alpha +\epsilon [}\,$

mit ${}r>\delta >0$ und mit ${}\pi >\epsilon >0$ wählen. Das Bild davon, also ${}U_{2}$, ist der Schnitt des (offenen) Kreisringes zu den Radien ${}r-\delta$ und ${}r+\delta$ und dem (offenen) Kreissektor, der durch die beiden Winkel ${}\alpha -\epsilon$ und ${}\alpha +\epsilon$ begrenzt ist.

Man kann diese Abbildung zu einer bijektiven Abbildung, und zwar zu einem Diffeomorphismus, auf großen offenen Mengen einschränken, beispielsweise zu

$\mathbb {R} _{+}\times {]-\pi ,\pi [}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus {\left\{(x,0)\mid x\leq 0\right\}},\,(r,\alpha )\longmapsto (r\cos \alpha ,r\sin \alpha ).$

Die Bijektivität folgt dabei aus den grundlegenden Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen, siehe insbesondere Satz 29.9. Wenn man das offene Intervall ${}]{-\pi },\pi [$ durch das halboffene Intervall ${}]{-\pi },\pi ]$ ersetzt, so bekommt man eine Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}\times {]{-\pi },\pi ]}$ und ${}\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$. Man kann aber nicht von einem Diffeomorphismus sprechen, da dies nur für offene Mengen definiert ist. Die Umkehrabbildung ist übrigens noch nicht einmal stetig.

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