Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 53/latex
\setcounter{section}{53}
In dieser Vorlesung werden wir wesentliche Hilfsmittel für den Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf bereit stellen und ihn anschließend beweisen.
\zwischenueberschrift{Supremumsnorm und Abbildungsräume}
Wir erinnern an die Definition der Supremumsnorm.
Es sei $T$ eine Menge und
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ \defeq} { \Vert {f} \Vert_T
}
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( \betrag { f(x) } {{|}} x \in T ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {Supremum}{}
\zusatzklammer {oder die \definitionswort {Supremumsnorm}{}} {} {}
von $f$. Es ist eine
\definitionsverweis {nichtnegative}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
oder $\infty$.
Diese Definition kann man direkt verallgemeinern, wenn die Werte der Abbildungen in einem euklidischen Vektorraum liegen. Es sei also $T$ eine Menge und $E$ sei ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.}
In dieser Situation definiert man zu einer Abbildung
\maabbdisp {f} {T} {E
} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ \defeq} { \Vert {f} \Vert_T
}
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( \Vert {f(x)} \Vert ,x \in T ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nennt dies das \definitionswort {Supremum}{}
\zusatzklammer {oder die \definitionswort {Supremumsnorm}{}} {} {}
von $f$
\zusatzklammer {falls das Supremum nicht existiert, ist dies als $\infty$ zu interpretieren} {} {.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \operatorname{Abb}(T,E)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{;}
dies ist ein
\zusatzklammer {i.A. unendlichdimensionaler} {} {}
reeller Vektorraum. Die Supremumsnorm erfüllt die folgenden Eigenschaften
\zusatzklammer {die geeignet zu interpretieren sind, falls $\infty$ auftritt} {} {.}
\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda f} \Vert
}
{ =} { \betrag { \lambda } \cdot \Vert {f} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,f
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {g+f} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {g} \Vert + \Vert {f} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Wenn $T$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
ist, so betrachtet man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C
}
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow E \mid f \text{ stetig} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieser ist ein reeller Untervektorraum von $M$. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nichtleer,
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
und
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist, so ist nach
Satz 22.7
das Supremum von
\mathbed {\Vert {f(x)} \Vert} {}
{x \in T} {}
{} {} {} {,}
gleich dem Maximum, d.h. es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f(x')} \Vert
}
{ \leq }{ \Vert {f(x)} \Vert
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x'
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Daher ist in diesem Fall das Supremum stets eine reelle Zahl, und stimmt mit dem Maximum überein. Man spricht daher auch von der \stichwort {Maximumsnorm} {.}
\inputfaktbeweis
{Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
Teilmenge, es sei $E$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ C(T,E)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Vektorraum der stetigen Abbildungen}{}{}
von $T$ nach $E$.}
\faktfolgerung {Dann ist $C$, versehen mit der
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{,}
ein
\definitionsverweis {vollständiger metrischer Raum}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\maabbdisp {f_n} {T} {E
} {}
eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{.}
Wir müssen zeigen, dass diese Folge gegen eine
\definitionsverweis {Grenzabbildung}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
die ebenfalls stetig ist. Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_0
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n,m
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f_n(x) -f_m(x)} \Vert
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Daher ist für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
in $E$ und somit, wegen der Vollständigkeit von euklidischen Räumen, konvergent in $E$. Wir nennen den Grenzwert dieser Folge $f(x)$, so dass sich insgesamt eine Grenzabbildung
\maabbeledisp {f} {T} {E
} {x} {f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)
} {,}
ergibt, gegen die die Funktionenfolge
\definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.}
Da
\mathl{{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem vorgegebenen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stets ein $n_0$ derart, dass die Cauchy-Bedingung für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, konvergiert die Funktionenfolge sogar
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen $f$
\zusatzklammer {und das bedeutet die Konvergenz in der Supremumsnorm} {} {.}
Aufgrund von
Fakt *****
ist daher $f$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\zwischenueberschrift{Integration von stetigen Wegen}
Für eine stetige Kurve
\maabbdisp {g} {I} {V
} {}
in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum definieren wir für
\mathl{a,b \in I}{} das \stichwort {Integral} {}
\mathl{\int_a^b g(s) ds}{} komponentenweise, d.h. man wählt eine Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ und drückt die stetige Kurve durch ihre Komponentenfunktionen
\mathl{g_1 , \ldots , g_n}{} aus. Dann setzt man
\mathdisp {\int_a^b g(s) ds := (\int_a^b g_1(s) ds) v_1 + \cdots + (\int_a^b g_n(s) ds)v_n} { . }
Das Ergebnis ist ein Vektor in $V$, der unabhängig von der gewählten Basis ist. Wenn man die untere Intervallgrenze $a$ fixiert und die obere Intervallgrenze
\mathl{b=t}{} variiert, so bekommt man eine \stichwort {Integralkurve} {}
\maabbeledisp {} {I} {V
} {t} { \int_{ a }^{ t } g ( s) \, d s
} {.}
Diese Integralkurve kann man wieder ableiten und erhält die Ausgangskurve zurück, d.h. es gilt wieder der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.
Es gilt die folgende Integralabschätzung.
\inputfaktbeweis
{Stetige Kurve/Euklidisch/Integralabschätzung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {g} {[a,b]} {V
} {}
eine}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t } \Vert
}
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } \Vert {g(t)} \Vert \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t
}
{ =} { v
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_1
}
{ \defeq }{ { \frac{ v }{ \Vert {v} \Vert } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das ergänzen wir zu einer
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
\mathl{u_1, u_2 , \ldots , u_n}{} von $V$. Es seien
\mathl{g_1, g_2 , \ldots , g_n}{} die Koordinatenfunktionen von $g$ bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ v
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t
}
{ =} { { \left( \int_{ a }^{ b } g_1 ( t) \, d t \right) } u_1 + \cdots + { \left( \int_{ a }^{ b } g_n ( t) \, d t \right) } u_n
}
{ =} { { \left( \int_{ a }^{ b } g_1 ( t) \, d t \right) } u_1
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
da ja $v$ ein Vielfaches von $u_1$ ist und somit die anderen Koeffizienten gleich $0$ sind. Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert { \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t } \Vert
}
{ =} { \betrag { \int_{ a }^{ b } g_1 ( t) \, d t }
}
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } \betrag { g_1(t) } \, d t
}
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } {\sqrt{ (g_1(t))^2 + \cdots + (g_n(t))^2 } } \, d t
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } \Vert {g_1(t) u_1 + \cdots + g_n(t) u_n} \Vert \, d t
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \int_{ a }^{ b } \Vert {g(t)} \Vert \, d t
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\zwischenueberschrift{Differential- und Integralgleichungen}
Mit dem Begriff des Integrals einer Kurve kann man Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen schreiben.
\inputfaktbeweis
{Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {I\times U} {V
} {(t,v)} {f(t,v)
} {,}
ein stetiges
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t_0,w)
}
{ \in }{I \times U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben.}
\faktfolgerung {Dann ist eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {v} {J} {U
} {t} {v(t)
} {,}
auf einem
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_0
}
{ \in }{J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine
\definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{
\zusatzklammer {insbesondere muss $v$ differenzierbar sein} {} {}}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(t_0)=w} { , }
wenn $v$ die Integralgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ =} { w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s,v(s)) \, d s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei die Integralbedingung erfüllt. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t_0)
}
{ =} { w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und aufgrund
des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v'(t)
}
{ = }{ f(t,v(t))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insbesondere sichert die Integralbedingung, dass $v$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist.}
{}\teilbeweis {}{}{}
{Wenn umgekehrt $v$ eine Lösung des Anfangswertproblems ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v'(s)
}
{ = }{ f(s,v(s))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s,v(s)) \, d s
}
{ =} { w + \int_{ t_0 }^{ t } v'(s) \, d s
}
{ =} { w+ v(t)-v(t_0)
}
{ =} { v(t)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\zwischenueberschrift{Der Satz von Picard-Lindelöf}
Wir kommen nun zum wichtigsten Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen.
\inputfaktbeweis
{Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {I\times U} {V
} {(t,v)} {f(t,v)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$.}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sei und
\definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{}
genüge.}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t_0,w)
}
{ \in }{ I \times U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{}
\mathbed {J} {mit}
{t_0 \in J \subseteq I} {}
{} {} {} {}
derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige
\definitionsverweis {Lösung für das Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(t_0)=w} { }
existiert.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 53.3
ist eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbdisp {v} {J} {V
} {}
genau dann eine
\definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{,}
wenn $v$ die Integralgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ =} { w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s,v(s)) \, d s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt. Wir wollen die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für diese Integralgleichung unter Verwendung des
Banachschen Fixpunktsatzes
dadurch erweisen, dass wir für die Abbildung
\zusatzklammer {man spricht von einem \stichwort {Funktional} {}} {} {}
\mathdisp {\psi \longmapsto (t \mapsto w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s, \psi (s)) \, d s )} { }
einen Fixpunkt finden. Hierbei stehen links und rechts Abbildungen in $t$
\zusatzklammer {aus einem gewissen Teilintervall von $I$ mit Werten in $V$} {} {.}
Die Fixpunkteigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H(\psi)
}
{ = }{ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet gerade, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi(t)
}
{ = }{ w + \int_{t_0}^t f(s, \psi(s)) ds
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Um den Fixpunktsatz anwenden zu können müssen wir ein Definitionsintervall festlegen, und eine Metrik auf dem Abbildungsraum nach $V$ definieren, diesen metrischen Raum dann als
\definitionsverweis {vollständig}{}{}
und das Funktional als
\definitionsverweis {stark kontrahierend}{}{}
nachweisen.
\teilbeweis {}{}{}
{Aufgrund der Voraussetzung über die lokale Lipschitz-Bedingung gibt es eine offene Umgebung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (t_0,w)
}
{ \in} { J' \times U { \left( w,\epsilon \right) }
}
{ \subseteq} { I \times U
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f(t,v)-f(t, \tilde{v}) } \Vert
}
{ \leq} { L \Vert {v - \tilde{v}} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathkor {} {t \in J'} {und} {v,\tilde{v} \in U { \left( w,\epsilon \right) }} {.}
Durch Verkleinern der Radien können wir annehmen, dass der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
von
\mathl{J' \times U { \left( w,\epsilon \right) }}{,} also das Produkt des abgeschlossenen Intervalls mit der abgeschlossenen Kugel, ebenfalls in
\mathl{I \times U}{} liegt. Aufgrund von
Satz 22.7
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {\Vert {f(t,v)} \Vert \leq M \text { für alle } (t,v) \in J' \times U { \left( w,\epsilon \right) }} { }
\zusatzklammer {da diese Beschränktheit auf dem Abschluss gilt} {} {.}
Wir ersetzen nun $J'$ durch ein kleineres Intervall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ J
}
{ =} { [t_0- \delta,t_0+ \delta ]
}
{ \subseteq} { J'
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ \leq }{ \epsilon/M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ \leq }{ 1/(2L)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten nun die Menge der
\definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{C
}
{ =} { { \left\{ \psi:J \rightarrow V \mid \psi \text{ stetig} , \, \Vert {\psi(t)- w} \Vert \leq \epsilon \text { für alle } t \in J \right\} }
}
{ =} { { \left\{ \psi:J \rightarrow V \mid \psi \text{ stetig} , \, \Vert {\psi- w} \Vert \leq \epsilon \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dabei wird also $C$ mit der
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{}
auf $J$ versehen. Dieser Raum ist nach
Satz 53.1
und nach
Aufgabe *****
wieder ein vollständiger metrischer Raum.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten nun auf diesem konstruierten Intervall $J$ bzw. der zugehörigen Menge $C$ die Abbildung
\maabbeledisp {H} {C} {C
} {\psi} {H(\psi) = (t \mapsto w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s, \psi (s)) \, d s )
} {.}
Dazu müssen wir zunächst zeigen, dass
\mathl{H(\psi)}{} wieder zu $C$ gehört. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist aber nach
Satz 53.2
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert { H( \psi)(t) - w} \Vert
}
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi(s)) \, d s } \Vert
}
{ \leq} { {{op:Betrag \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {f(s,\psi(s))} \Vert \, d s }}
}
{ \leq} { \betrag { t-t_0 } M
}
{ \leq} { \frac{ \epsilon}{M} M
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
und
\mathl{H(\psi)}{} ist stetig, da es durch ein Integral definiert wird.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Nachweis der Kontraktionseigenschaft seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi_1, \psi_2
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Vert { H(\psi_1)(t)- H(\psi_2)(t) } \Vert
}
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi_1(s)) \, d s - \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi_2(s)) \, d s } \Vert
}
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } (f(s,\psi_1(s)) - f(s,\psi_2(s))) \, d s } \Vert
}
{ \leq} { \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert { f(s,\psi_1(s)) - f(s,\psi_2(s))} \Vert \, d s }
}
{ \leq} { \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } L \Vert {\psi_1(s) - \psi_2(s)} \Vert \, d s }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { L \cdot \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {\psi_1(s) - \psi_2(s)} \Vert \, d s }
}
{ \leq} { L \cdot \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {\psi_1 - \psi_2} \Vert \, d s }
}
{ \leq} { L \betrag { t-t_0 } \cdot \Vert {\psi_1 - \psi_2} \Vert
}
{ \leq} { \frac{1}{2} \Vert {\psi_1- \psi_2} \Vert
}
}
{}{.}
Da dies für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, folgt aus dieser Abschätzung direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { H(\psi_1)- H(\psi_2) } \Vert
}
{ \leq} {\frac{1}{2} \Vert {\psi_1- \psi_2} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. es liegt eine
\definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{}
vor. Daher besitzt $H$ ein eindeutiges Fixelement
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und diese Abbildung löst die Differentialgleichung. Dies gilt dann erst recht auf jedem offenen Teilintervall von $J$.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Damit haben wir insbesondere bewiesen, dass es in $C$ nur eine Lösung geben kann, wir wollen aber generell auf dem Intervall $J$ Eindeutigkeit erhalten. Für eine Lösung
\maabb {v} {J} {V
} {} gilt aber wegen der Integralbeziehung wieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ =} { w + \int_{t_0}^t f(s,v(s)) ds
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die gleichen Abschätzungen wie weiter oben zeigen, dass die Lösung zu $C$ gehören muss.}
{}
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