Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 70

In diesem Arbeitsblatt geht es ausschließlich um das Lebesgue-Integral, es darf nicht mit dem Riemann-Integral argumentiert werden.

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und es seien

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

und

$f\colon N\longrightarrow \mathbb {R}$

Abbildungen. Zeige, dass für die Subgraphen die Beziehung

${}(\varphi \times \operatorname {Id} _{\mathbb {R} })^{-1}(S(f))=S(f\circ \varphi )\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass das Integral einer messbaren Funktion über einer Nullmenge gleich ${}0$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Integral der Nullfunktion gleich ${}0$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine abzählbare Menge, die mit dem Zählmaß versehen sei, und sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass ${}f$ genau dann integrierbar ist, wenn die Familie ${}f(m)$, ${}m\in M$, summierbar ist, und dass in diesem Fall das Integral gleich der Summe ist.

Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt des Subgraphen zur linearen Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto cx,$

über dem Intervall ${}[a,b]$ mit ${}c\geq 0,\,b\geq a\geq 0$.

Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt des Subgraphen zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto 1+\sin x,$

über dem Intervall ${}[0,2\pi ]$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass ${}f$ integrierbar ist. Man gebe auch eine Abschätzung für das Integral ${}\int _{T}f\,d\lambda ^{n}$ an.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum. Zeige, dass für jedes ${}r\in \mathbb {R}$ die Abbildung

$M\times \mathbb {R} \longrightarrow M\times \mathbb {R} ,\,(x,t)\longmapsto (x,t+r),$

maßtreu ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Volumen des Subgraphen zur linearen Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto cx+dy,$

(mit ${}c,d\in \mathbb {R} _{\geq 0}$) über dem Einheitsquadrat ${}[0,1]\times [0,1]$.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \sin t.$

Für welches ${}a\in [0,1]$ ist die Tschebyschow-Abschätzung für diese Funktion am besten? Bestimme ${}a$ numerisch bis auf ${}5$ Nachkommastellen.