Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 75/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Flächeninhalt eines Annulus gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},-y^{4}-2xy^{2}-x^{2}+y^{2}+x+y),$

flächentreu ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)Aufgabe 75.4 ändern

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum, es sei

$g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine messbare nichtnegative integrierbare Funktion und sei ${}g\mu$ das Maß zur Dichte ${}g$. Zeige, dass für jede messbare Funktion

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

die Beziehung

${}\int _{M}f\,d(g\mu )=\int _{M}fg\,d\mu \,$

gilt.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$- endliche Maßräume, und es seien

$g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

und

$h\colon N\longrightarrow \mathbb {R}$

messbare nichtnegative integrierbare Funktionen mit den zu diesen Dichten gehörigen Maßen ${}g\mu$ und ${}h\nu$. Zeige, dass auf ${}M\times N$ das Produktmaß ${}(g\mu )\otimes (h\nu )$ mit dem Maß zur Dichte

$gh\colon M\times N\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto g(x)h(y),$

bezüglich ${}\mu \otimes \nu$ übereinstimmt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne den Wert des Quadrats ${}{\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \vert {x}\vert ,\vert {y}\vert \leq 1\right\}}$ für das Bildmaß ${}\mu =\varphi _{*}\lambda ^{2}$ unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy).$

Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$[0,10]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

und interessieren uns für die Straße der Breite ${}1$, deren Mittelstreifen der vorgegebene Funktionsgraph ist.

a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge ${}1$ (mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen) untereinander überschneidungsfrei sind.

b) Man gebe eine (möglichst einfache) Parametrisierung der Straße an.

c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.