Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Vorlesung 75/latex
\setcounter{section}{75}
\zwischenueberschrift{Die Transformationsformel für Integrale}
\inputfaktbeweis
{Diffeomorphismus/Transformationsformel/Integralformel für Quader/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
im $\R^n$ und es sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
$C^1$-\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} mit der
\definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (J(\varphi))(x)
}
{ = }{ \det \left(D\varphi\right)_{x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {achsenparalleler Quader}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\lambda^n (\varphi(Q))
}
{ =} { \int_{ Q } \betrag { (J(\varphi))(x) } \, d \lambda^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da $\varphi$
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{}
ist, ist die Abbildung
\maabbeledisp {} {G} { \R
} {x} {j(x) = \betrag { (J(\varphi))(x) } = \betrag { \det \left(D\varphi\right)_{x} }
} {,}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
und daher nach
Satz 22.11
\definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {kompakten}{}{}
Quader $Q$. D.h. zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j( B \left( x,\delta \right))
}
{ \subseteq }{ B \left( j(x),\epsilon \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gibt es auch ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\delta}
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle kompakten Teilquader
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit maximaler Kantenlänge
\mathl{\leq \tilde{\delta}}{} das Bild
\mathl{j(K)}{} in einem abgeschlossenen Intervall der Länge $2 \epsilon$ liegt. Damit ist die Differenz zwischen dem Minimum und dem Maximum von
\mathl{{ \left\{ j(x) \mid x \in K \right\} }}{} maximal gleich
\mathl{2 \epsilon}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Wir unterteilen $Q$ in
\mathl{k^n}{} kompakte Teilquader, indem wir jede Quaderkante in $k$ gleichlange Teile unterteilen, und wählen dabei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
so groß, dass die entstehenden $k^n$ Teilquader die oben beschriebene Eigenschaft haben. Es sei $I$ eine Indexmenge zu dieser Unterteilung, es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} K_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(Q)
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} \varphi(K_i)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese beiden Vereinigungen sind nicht disjunkt, jedoch sind die Schnittmengen der Quader nach
Lemma 67.11
und die Schnittmengen der
\mathl{\varphi(K_i)}{} als Bilder von Quaderseiten nach
Korollar 74.6
\definitionsverweis {Nullmengen}{}{.}
Wir wenden
Lemma 74.7
auf die Teilquader $K_i$ an und erhalten
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \sum_{i \in I} \lambda^n (K_i) \cdot {\min { \left( j(x) , x \in K_i \right) } }
}
{ \leq} { \lambda^n (\varphi(Q))
}
{ =} { \sum_{i \in I} \lambda^n (\varphi(K_i))
}
{ \leq} { \sum_{i \in I} \lambda^n (K_i) \cdot {\max { \left( j(x) , x \in K_i \right) } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dabei ist die Differenz zwischen links und rechts durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum_{i \in I} \lambda^n(K_i) 2 \epsilon
}
{ =} { 2 \epsilon \lambda^n(Q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschränkt, kann also durch
\mathl{\epsilon \rightarrow 0}{} beliebig klein gemacht werden. Die gleichen Abschätzungen gelten wegen der Monotonie des Integrals auch für das
\definitionsverweis {Integral}{}{}
\mathl{\int_{ Q } j(x) \, d \lambda^n(x)}{,} sodass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n(\varphi(Q))
}
{ =} { \int_{ Q } j(x) \, d \lambda^n(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputfaktbeweis
{Diffeomorphismus/Transformationsformel für Maße/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
im $\R^n$ und es sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein $C^1$-\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (J(\varphi))(x)
}
{ = }{ \det \left(D\varphi\right)_{x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {messbare Menge}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{\varphi(S)}{} ebenfalls
\definitionsverweis {messbar}{}{}
und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n (\varphi(S))
}
{ =} { \int_{ S } \betrag { J(\varphi) } \, d \lambda^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
und seine
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
sind
\definitionsverweis {stetig}{}{,}
daher liegt eine Bijektion der
\definitionsverweis {messbaren Teilmengen}{}{}
von
\mathkor {} {G} {und von} {H} {}
vor.
\teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten die beiden Zuordnungen
\maabbeledisp {} {{\mathcal B } ( G )} { \overline{ \R }
} {S} { \int_{ S } \betrag { J(\varphi) (x) } \, d \lambda^n (x)
} {,}
also das
\definitionsverweis {Maß}{}{}
auf $G$ mit der
\definitionsverweis {Dichte}{}{}
\mathl{\betrag { J(\varphi) (x) }}{,}
und
\maabbeledisp {} {{\mathcal B } ( G )} {\overline{ \R }
} {S} { \lambda^n (\varphi(S))
} {,}
also das
\definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
von $\lambda^n$ unter der Umkehrabbildung $\varphi^{-1}$, und müssen zeigen, dass diese beiden Maße gleich sind.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Nach
Korollar 75.1
gilt die Gleichheit für alle kompakten achsenparallelen Quader. Aufgrund von
Aufgabe 70.2
bzw.
Korollar 74.6
gilt die Gleichheit auch für alle offenen bzw. \anfuehrung{nach oben halboffenen}{} achsenparallelen Quader, also Produkte von
\definitionsverweis {nach oben halboffenen Intervallen}{}{.}
Die Menge der endlichen disjunkten Vereinigungen von diesen zuletzt genannten Quadern bilden einen
\definitionsverweis {Mengen-Präring}{}{} im $\R^n$. Diese Menge ist auch ein durchschnittsstabiles
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
für das System der
\definitionsverweis {Borelmengen}{}{.}
Daher müssen nach
Satz 64.7
die beiden Maße generell übereinstimmen.}
{}
Wir kommen zur
\stichwort{Transformationsformel für Integrale}{.}
\inputfaktbeweis
{Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
im $\R^n$ und es sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
$C^1$-\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (J(\varphi))(x)
}
{ =} { \det \left(D\varphi\right)_{x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {f} {H} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {messbare Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ auf $H$ genau dann
\definitionsverweis {integrierbar}{}{,}
wenn die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{f \circ \varphi}{} auf $G$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ H } f \, d \lambda^n
}
{ =} { \int_{ G } (f \circ \varphi ) \betrag { J(\varphi) } \, d \lambda^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Zuordnung
\mathl{S \mapsto \lambda^n( \varphi(S ))}{} für
\definitionsverweis {messbare Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ein
\definitionsverweis {Maß}{}{}
auf
\mathl{{\mathcal B } (G)}{} und zwar handelt es sich um das
\definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}_* \lambda^n}{} von $\lambda^n$ unter der Umkehrabbildung
\maabbdisp {\varphi^{-1}} {H} {G
} {.}
Nach
Satz 75.2
besitzt dieses Maß die
\definitionsverweis {Dichte}{}{}
\mathl{x \mapsto \betrag { (J(\varphi))(x) }}{.} Daher gilt nach
Aufgabe 75.4
und der
allgemeinen Transformationsformel
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ G } (f \circ \varphi) \cdot \betrag { J(\varphi) } \, d \lambda^n
}
{ =} { \int_{ G } (f \circ \varphi) \, d (\varphi^{-1}_* \lambda^n)
}
{ =} { \int_{ H } (f \circ \varphi \circ \varphi^{-1} ) \, d \lambda^n
}
{ =} { \int_{ H } f \, d \lambda^n
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
\zwischenueberschrift{Beispiele zur Transformationsformel}
\inputfaktbeweis
{Polarkoordinaten/Transformationsformel/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {(r, \theta)} { (r \cos \theta , r \sin \theta )
} {,}
die
\definitionsverweis {Polarkoordinatenauswertung}{}{}
und es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{,}
auf denen $\varphi$ einen
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
induziert. Es sei
\maabbdisp {f} {H} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {integrierbare Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \int_{ H } f(x,y) \, d \lambda^2(x,y)
}
{ =} { \int_{ G } f(r \cos \theta ,r \sin \theta ) \cdot \betrag { r } \, d \lambda^2(r,\theta)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem $f$ die Formel
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \int_{ \R^2 } f(x,y) \, d \lambda^2(x,y)
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ \infty } \int_{ 0 }^{ 2 \pi } f(r \cos \theta ,r \sin \theta ) \cdot r \, d \theta \, d r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left(D\varphi\right)_{(r, \theta)}
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{pmatrix}
}
{ =} { r \cos^{ 2 } \theta + r \sin^{ 2 } \theta
}
{ =} { r
}
{ } {
}
}
{}{}{}
direkt aus
Satz 75.3.
\inputfaktbeweis
{Normalverteilung/Fehlerintegral/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ -\infty }^{ +\infty } e^{- x^2 } \, d x
}
{ =} {\sqrt{ \pi}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Durch eine einfache
Substitution
ist die Aussage äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ -\infty }^{ +\infty } { \frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} } } e^{- { \frac{ t^2 }{ 2 } } } \, d t
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nennen wir dieses Integral $I$. Nach
Korollar 74.2 ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I^2
}
{ =} { { \left( \int_{ -\infty }^{ +\infty } { \frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} } } e^{- { \frac{ t^2 }{ 2 } } } \, d t \right) } \cdot { \left( \int_{ -\infty }^{ +\infty } { \frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} } } e^{- { \frac{ t^2 }{ 2 } } } \, d t \right) }
}
{ =} { \int_{ \R^2 } { \frac{ 1 }{ 2 \pi } } e^{ - { \frac{ x^2+y^2 }{ 2 } } } \, d \lambda^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Durch Einführung von
\definitionsverweis {Polarkoordinaten}{}{}
\mathkor {} {x= r \cos \theta} {und} {y= r \sin \theta} {}
ist dieses Integral nach
Korollar 75.4
und nach einer erneuten Anwendung von
Korollar 74.2
gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \,
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi } } \int_{ [0, 2 \pi] \times \R_{\geq 0} } e^{- { \frac{ r^2 }{ 2 } } } \cdot r \, d \lambda^2(r,\theta)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi } } { \left( \int_{ [0, 2 \pi] } 1 \, d \lambda^1(\theta) \right) } { \left( \int_{ \R_{\geq 0} } e^{- { \frac{ r^2 }{ 2 } } } \cdot r \, d \lambda^1(r) \right) }
}
{ =} { \int_{ \R_{\geq 0} } e^{- { \frac{ r^2 }{ 2 } } } \cdot r \, d \lambda^1(r)
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ \infty } e^{- { \frac{ r^2 }{ 2 } } } \cdot r \, d r
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { - e^{- { \frac{ r^2 }{ 2 } } } | _{ 0 } ^{ \infty }
}
{ =} {1
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Damit ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Hesounu-rybnik.JPG} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Hesounů rybník.JPG } {} {Juan de Vojníkov} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Es soll eine Straße in der Ebene der Breite $2a$ asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve
\maabbeledisp {} {[0,s]} {\R^2
} {t} {\psi(t) = \begin{pmatrix} f(t) \\g(t) \end{pmatrix}
} {,}
bestimmt ist. Dabei sei $\psi$
\definitionsverweis {zweimal stetig differenzierbar}{}{}
und
\definitionsverweis {bogenparametrisiert}{}{,}
d.h. es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(t)^2 +g'(t)^2
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was bedeutet, dass die Mittelstreifenkurve mit normierter Geschwindigkeit durchlaufen wird. Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {[0,s] \times [-a,a]} { \R^2
} {(t,r)} { \begin{pmatrix} f(t) \\g(t) \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -g'(t) \\f'(t) \end{pmatrix}
} {,}
parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung $\psi$ injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll.
Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{(t,r)}
}
{ =} { \begin{pmatrix} f^{\prime} (t) - r g^{\prime \prime}(t) & - g'(t) \\ g^{\prime} (t) + r f^{\prime \prime}(t) & f'(t) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Determinante davon ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ f'(t)f'(t) +g'(t)g'(t) - r { \left( g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) \right) }
}
{ =} { 1- r { \left( g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Daher ist die Asphaltfläche nach
der Transformationsformel
gleich
\mathdisp {\int_{ [0,s] \times [-a,a] } \betrag { 1- r { \left( g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) \right) } } \, d \lambda^2} { . }
Wenn wir weiter annehmen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\zusatzklammer {was bedeutet, dass die Straßenbreite nicht allzu groß ist} {} {,}
so ist dieses Integral nach
Korollar 74.2
geich
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \int_{ [0,s] \times [-a,a] } 1- r { \left( g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) \right) } \, d \lambda^2
}
{ =} { 2a s - { \left( \int_{ -a }^{ a } r \, d r \right) } { \left( \int_{ 0 }^{ s } g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) \, d t \right) }
}
{ =} {2a s - 0 \cdot { \left( \int_{ 0 }^{ s } g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) \, d t \right) }
}
{ =} {2as
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet, dass die Asphaltfläche gleich der Mittelstreifenlänge mal der Straßenbreite ist.
}
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|---|