Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/42/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 3 | 1 | 2 | 2 | 4 | 4 | 5 | 4 | 6 | 7 | 2 | 6 | 3 | 4 | 5 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und
- Ein archimedisch angeordneter Körper .
- Eine stetig differenzierbare Funktion .
- Die
Riemann-Integrierbarkeit
einer Funktion
- Eine -Matrix über einem Körper .
- Die Dimension eines -Vektorraums ( besitze ein endliches Erzeugendensystem).
- Die Abbildung
heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .
- Ein angeordneter Körper heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit
- Man sagt, dass stetig differenzierbar ist, wenn differenzierbar ist und die Ableitung stetig ist.
- Die Funktion heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von auf jedes kompakte Intervall Riemann-integrierbar ist.
- Eine -Matrix über ist ein Schema der Form
wobei die aus sind.
- Unter der Dimension eines Vektorraums versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von .
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms .
- Der Satz über die Ableitung in einem Extremum.
- Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.
- Ein Element ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.
- Es sei
eine Funktion, die in ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist
. - Es sei ein Körper und es seien
und
Vektorräume über der Dimension
bzw. .
Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Dann gilt
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine Aussage(nform), in die man eine natürliche Zahl einsetzen kann. Diskutiere den Unterschied zwischen den beiden Aussagen
Was ist die mathematische Relevanz der beiden Aussagen?
Lösung Vollständige Induktion/Allquantor/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (1 Punkt)
Winnetou und Old Shatterhand liegen nachts am Strand des Rio Pecos und halten ihre vom harten Tagesritt müden Füße in den Fluss. Dabei schauen sie in den Himmel und zählen Sternschnuppen. Winnetou sieht und Old Shatterhand sieht Sternschnuppen. Old Shatterhand sieht von den von Winnetou gesichteten Sternschnuppen nicht. Wie viele der Sternschnuppen, die von Old Shatterhand gesichtet wurden, sieht Winnetou nicht?
Es gibt
Sternschnuppen, die beide sehen. Daher sieht Winnetou von den von Old Shatterhand gesehenen Sternschnuppen
nicht.
Aufgabe (2 Punkte)
Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.
Es ist
Aufgabe (2 Punkte)
Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige für die Gleichung
Bei steht links und rechts das leere Produkt, dessen Wert gleich ist. Bei steht links allein und rechts einfach . Wir führen Induktion nach , sei die Aussage also für schon bewiesen. Dann ist
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Für ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei eine Nullstelle von (falls keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist nach Lemma 6.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) und hat den Grad , so dass wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom hat also maximal Nullstellen. Für gilt . Dies kann nach Lemma 4.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) (5) nur dann sein, wenn einer der Faktoren ist, so dass eine Nullstelle von gleich ist oder aber eine Nullstelle von ist. Es gibt also maximal Nullstellen von .
Aufgabe (5 Punkte)
Es handelt sich um eine Potenzreihe mit den Koeffizienten . Sie konvergiert für , da dann nur ein Glied von verschieden ist. Wir behaupten, dass die Reihe für keine weitere reelle Zahl konvergiert. Da es sich um eine Potenzreihe handelt, genügt es, für jede reelle positive Zahl nachzuweisen, dass die Reihe divergiert. Zu gibt es ein mit . Es gilt dann auch für alle . Wegen
erfüllt die Reihe nicht das Cauchy-Kriterium und kann daher nicht konvergieren.
Aufgabe (4 Punkte)
Finde für die Funktion
eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .
ungefähr
Aufgabe (6 (4+2) Punkte)
a) Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei jeweils tangential schneidet.
b) Man zeige, dass der Graph des Lösungspolynoms aus Teil a) innerhalb des oberen, durch die Diagonale und die Gegendiagonale begrenzten Viertels der Ebene liegt.
a) Das gesuchte Polynom sei
Dann ist
Die Bedingung, dass der Graph zu die Diagonale und die Gegendiagonale bei schneidet, bedeutet
Die Steigung der Diagonale ist . Da der Schnitt tangential sein soll, bedeutet dies
Die Steigung der Gegendiagonale ist . Dies bedeutet somit
Die Summe der beiden letzten Gleichungen ergibt direkt
und somit
Daraus ergibt sich mit der ersten (oder der zweiten) Gleichung
Das gesuchte Polynom ist also
b) Für ist zu zeigen, dass und für ist zu zeigen, dass ist. Im ersten Fall ist
und im zweiten Fall ist
Aufgabe (7 Punkte)
Beweise den Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.
Unter den Voraussetzungen wird die Taylor-Formel zu
mit
(abhängig von )
zwischen
und .
Je nachdem, ob
oder
ist, gilt auch
(wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der -ten Ableitung)
bzw.
für
für ein geeignetes
.
Für diese ist auch
,
so dass das Vorzeichen von vom Vorzeichen von abhängt.
Bei gerade ist ungerade und daher wechselt das Vorzeichen bei
(bei
ist das Vorzeichen negativ und bei
ist es positiv).
Da das Vorzeichen von sich nicht ändert, ändert sich das Vorzeichen von . Das bedeutet, dass kein Extremum vorliegen kann.
Es sei nun ungerade. Dann ist gerade, so dass
für alle
in der Umgebung ist. Das bedeutet in der Umgebung bei
,
dass
ist und in ein
isoliertes Minimum
vorliegt, und bei
,
dass
ist und in ein
isoliertes Maximum
vorliegt.
Aufgabe (2 Punkte)
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen der -Achse und dem Graphen des Kosinus hyperbolicus oberhalb des Intervalls eingeschlossen wird.
Eine Stammfunktion des Kosinus hyperbolicus
ist
Somit ist der Flächeninhalt gleich
Aufgabe (6 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung
derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer
erfüllt.
Wir betrachten den Körper und die additive Gruppe . Als „Skalarmultiplikation“
betrachten wir die durch
gegebene Abbildung, wobei die komplexe Konjugation von bezeichnet (wir schreiben um zu betonen, dass es sich um eine untypische Operation handelt).
Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation sei und . Bei
ist
wobei die mittlere Gleichung sowohl bei als auch bei gilt. Bei
ist
Zum Nachweis der Distributivität in den Skalaren ist bei
und bei
ist
Es sei nun
und
Dann ist
und somit ist einerseits
und andererseits
Somit ist diese Multiplikation nicht distributiv in den Vektoren.
Ferner ist wegen
stets
Aufgabe (3 Punkte)
Es geht um das lineare Gleichungssystem
Wir ersetzen die zweite Zeile durch und die dritte durch und erhalten
Wir ersetzen durch und erhalten
Somit ist
und
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
keinen weiteren Vektor
mit
geben. Also ist
.
Es sei umgekehrt
und seien
gegeben mit
.
Dann ist wegen der Linearität
Daher ist
und damit
.
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei
eine obere Dreiecksmatrix. Zeige direkt (ohne charakteristisches Polynom), dass ein Diagonalelement von ein Eigenwert zu sein muss.
Es sei ein Diagonalelement und es sei der kleinste Index mit
Wir müssen zeigen, dass es einen Vektor
mit
gibt. Wir zeigen die Existenz eines solchen Vektors mit
und
für . Damit sind die -ten Zeilen zu für erfüllt. Die unteren Zeilen werden (wir schreiben
und ) zum Gleichungssystem
bzw. zum linearen Gleichungssystem
Die letzte Gleichung ist stets, also insbesondere mit erfüllt. Da
ist für , ist in diesem Gleichungssystem in Dreiecksgestalt der Anfangsterm
für von verschieden. Nach [[Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Strenge Dreiecksgestalt/Lösung/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Strenge Dreiecksgestalt/Lösung/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] kann man also zu einer Lösung ergänzen.