Lösung
- Die Abbildung
-
heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und .
- Ein angeordneter Körper heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit
-
gibt.
- Man sagt, dass stetig differenzierbar ist, wenn
differenzierbar
ist und die
Ableitung
stetig
ist.
- Die Funktion heißt Riemann-integrierbar, wenn die
Einschränkung
von auf jedes
kompakte
Intervall
Riemann-integrierbar
ist.
- Eine -Matrix über ist ein Schema der Form
-
wobei die aus sind.
- Unter der Dimension eines Vektorraums versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von .
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms .
- Der Satz über die Ableitung in einem Extremum.
- Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.
Lösung
- Ein Element
ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.
- Es sei
-
eine Funktion, die in
ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist
.
- Es sei ein Körper und es seien
und
Vektorräume über der Dimension
bzw. .
Es sei
-
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Dann gilt
-
Es sei eine Aussage(nform),
in die man eine natürliche Zahl einsetzen kann. Diskutiere den Unterschied zwischen den beiden Aussagen
-
Was ist die mathematische Relevanz der beiden Aussagen?
Lösung Vollständige Induktion/Allquantor/Aufgabe/Lösung
Lösung
Es gibt
-
Sternschnuppen, die beide sehen. Daher sieht Winnetou von den von Old Shatterhand gesehenen Sternschnuppen
-
nicht.
Lösung
Es ist
Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.
Lösung
Zeige für die Gleichung
-
Lösung
Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
Lösung
Bestimme, für welche reellen Zahlen die
Reihe
-
konvergiert.
Lösung
Finde für die Funktion
-
eine
Nullstelle
im
Intervall
mit Hilfe der
Intervallhalbierungsmethode
mit einem Fehler von maximal .
Lösung
ungefähr
a) Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei
jeweils tangential schneidet.
b) Man zeige, dass der Graph des Lösungspolynoms aus Teil a) innerhalb des oberen, durch die Diagonale und die Gegendiagonale begrenzten Viertels der Ebene liegt.
Lösung
a) Das gesuchte Polynom sei
-
Dann ist
-
Die Bedingung, dass der Graph zu die Diagonale und die Gegendiagonale bei
schneidet, bedeutet
-
Die Steigung der Diagonale ist . Da der Schnitt tangential sein soll, bedeutet dies
-
Die Steigung der Gegendiagonale ist . Dies bedeutet somit
-
Die Summe der beiden letzten Gleichungen ergibt direkt
-
und somit
-
Daraus ergibt sich mit der ersten
(oder der zweiten)
Gleichung
-
Das gesuchte Polynom ist also
-
b) Für ist zu zeigen, dass und für ist zu zeigen, dass ist. Im ersten Fall ist
-
und im zweiten Fall ist
-
Beweise den Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.
Lösung
Unter den Voraussetzungen wird die
Taylor-Formel
zu
-
mit
(abhängig von )
zwischen
und .
Je nachdem, ob
oder
ist, gilt auch
(wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der -ten Ableitung)
bzw.
für
für ein geeignetes
.
Für diese ist auch
,
sodass das Vorzeichen von vom Vorzeichen von abhängt.
Bei gerade ist ungerade und daher wechselt das Vorzeichen bei
(bei
ist das Vorzeichen negativ und bei
ist es positiv).
Da das Vorzeichen von sich nicht ändert, ändert sich das Vorzeichen von . Das bedeutet, dass kein Extremum vorliegen kann.
Es sei nun ungerade. Dann ist gerade, sodass
für alle
in der Umgebung ist. Das bedeutet in der Umgebung bei
,
dass
ist und in ein
isoliertes Minimum
vorliegt, und bei
,
dass
ist und in ein
isoliertes Maximum
vorliegt.
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen der -Achse und dem Graphen des
Kosinus hyperbolicus
oberhalb des Intervalls eingeschlossen wird.
Lösung
Eine Stammfunktion des Kosinus hyperbolicus
-
ist
-
Somit ist der Flächeninhalt gleich
-
Man gebe ein Beispiel für einen
Körper
, eine
kommutative Gruppe
und eine Abbildung
-
derart, dass diese Struktur alle
Vektorraumaxiome
außer
-
erfüllt.
Lösung
Wir betrachten den Körper und die additive Gruppe . Als „Skalarmultiplikation“
-
betrachten wir die durch
-
gegebene Abbildung, wobei die
komplexe Konjugation
von bezeichnet
(wir schreiben um zu betonen, dass es sich um eine untypische Operation handelt).
Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation sei
und . Bei
-
ist
wobei die mittlere Gleichung sowohl bei
als auch bei
gilt. Bei
-
ist
Zum Nachweis der Distributivität in den Skalaren ist bei
-
und bei
-
ist
Es sei nun
-
und
-
Dann ist
-
und somit ist einerseits
und andererseits
Somit ist diese Multiplikation nicht distributiv in den Vektoren.
Ferner ist wegen
-
stets
-
Drücke in den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Lösung
Es geht um das lineare Gleichungssystem
-
-
-
Wir ersetzen die zweite Zeile durch und die dritte durch und erhalten
-
-
-
Wir ersetzen durch und erhalten
-
-
-
Somit ist
-
-
und
-
Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
Lösung
Es sei
-
eine
obere Dreiecksmatrix.
Zeige direkt
(ohne charakteristisches Polynom),
dass ein Diagonalelement von ein
Eigenwert
zu sein muss.
Lösung
Es sei ein Diagonalelement und es sei der kleinste Index mit
-
Wir müssen zeigen, dass es einen Vektor
-
mit
-
gibt. Wir zeigen die Existenz eines solchen Vektors mit
-
und
-
für
.
Damit sind die -ten Zeilen zu
für
erfüllt. Die unteren Zeilen werden
(wir schreiben
-
und
)
zum Gleichungssystem
-
-
-
-
-
bzw. zum linearen Gleichungssystem
-
-
-
-
-
Die letzte Gleichung ist stets, also insbesondere mit
erfüllt. Da
-
ist für
,
ist in diesem Gleichungssystem in Dreiecksgestalt der Anfangsterm
-
für
von verschieden. Nach
[[Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Strenge Dreiecksgestalt/Lösung/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Strenge Dreiecksgestalt/Lösung/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
kann man also
zu einer Lösung ergänzen.