Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/12/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	3	3	5	5	4	1	5	8	4	4	5	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum ${}V$.
2. Ein Berührpunkt zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ eines metrischen Raumes ${}M$.
3. Eine Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung ${}v'=f(t,v)$, wobei

   $f\colon I\times U\longrightarrow V$

   ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist (und ${}I$ ein Intervall und ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge ist).

4. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$.
5. Die Richtungsableitung einer Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ in Richtung eines Vektors ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$.

6. Ein lokales Maximum einer Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem metrischen Raum ${}M$ in einem Punkt ${}x\in M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Integralabschätzung für stetige Kurven.
2. Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
3. Die Charakterisierung von Gradientenfeldern mit Wegintegralen auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'={\frac {2t}{t^{2}+1}}y\,.$

b) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'={\frac {2t}{t^{2}+1}}y+t^{2}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Dreiecksungleichung für die Norm zu einem Skalarprodukt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Von einer Bewegung

$\varphi \colon ]0,{\frac {\pi }{2}}[\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

sei der Geschwindigkeitsverlauf

${}\varphi '(t)=\left({\frac {1}{t}},\,\tan {\left(t\right)},\,e^{-t}\right)\,$

bekannt. Ferner sei

${}\varphi {\left({\frac {\pi }{4}}\right)}=(0,0,0)\,$

bekannt. Bestimme ${}\varphi (t)$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Wegintegral zur archimedischen Spirale

$[0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t\cos t,\,t\sin t\right),$

im Vektorfeld

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(y,\,-x\right).$

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}5&0&t\\0&-3&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung

${}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\\z(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

in einem Punkt ${}P\in V$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 3x^{2}-2xy-y^{2}+5x,$

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Begründe, ob die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy,x^{y})=(u,v,w).$

injektiv ist oder nicht.

Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x^{2}}{2}},\,x+y\right).$

1. Ist ${}\varphi$ surjektiv?
2. Ist ${}\varphi$ injektiv?
3. Skizziere das Bild des Achsenkreuzes unter ${}\varphi$.
4. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}$.
5. Bestimme die kritischen Punkte von ${}\varphi$.

Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)

Es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion.

a) Zeige, dass ${}g$ in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn die Einschränkung der Funktion

$y\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y,$

auf den Graphen

${}\Gamma ={\left\{(x,y)\mid y=g(x)\right\}}\,$

im Punkt ${}(a,g(a))$ ein lokales Maximum besitzt.

b) Wie steht in dieser Situation der Satz über Extrema mit Nebenbedingungen mit dem eindimensionalen notwendigen Kriterium für ein lokales Extremum in Verbindung?

c) Man gebe ein Beispiel von zwei stetig differenzierbaren Funktionen

$f,h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

und einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ derart, dass ${}\left(Df\right)_{P}$ und ${}\left(Dh\right)_{P}$ linear abhängig sind und dass ${}h$ auf der Faser zu ${}f$ durch ${}P$ kein lokales Extremum besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die ersten drei Picard-Lindelöf-Iterationen zum Anfangswertproblem

${}y'=ty\,$

mit der Anfangsbedingung

${}y(0)=1\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Wir betrachten ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel die Länge ${}1$ haben und dessen Winkel am Schenkelschnittpunkt ${}30$ Grad beträgt.

1. Berechne die Grundseite des Dreiecks.
2. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine bijektive lineare Abbildung und sei ${}S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge mit ${}\lambda ^{n}(S)\neq 0$ und sei ${}T=\varphi (S)$ das Bild von ${}S$ unter ${}\varphi$. Zeige, dass der Schwerpunkt von ${}S$ unter ${}\varphi$ in den Schwerpunkt von ${}T$ abgebildet wird.