Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesung 44
Wir beschäftigen uns nun mit der Differentialrechnung für Abbildungen mit höherdimensionalem Definitionsbereich. Dazu seien zwei reelle endlichdimensionale Vektorräume und gegeben. Ferner sei eine offene Teilmenge und
eine Abbildung. Diese Abbildung wollen wir „differenzieren“. Anders als in den bisher behandelten Situationen gibt es bei einem höherdimensionalen Definitionsbereich mehrere nicht äquivalente Konzepte von Differenzierbarkeit. Wir werden nacheinander die Richtungsableitung, partielle Ableitungen und das totale Differential sowie ihre Beziehungen untereinander diskutieren. Wir werden durchgehend voraussetzen, dass die Vektorräume euklidisch sind.
Es ist erstmal keine große Einschränkung, wenn man den Zielraum als
ansetzt. Als Definitionsmenge kann man sich zunächst auf
beschränken, und sich vorstellen, dass die Abbildung jedem Grundpunkt
einen Höhepunkt zuordnet, so dass die Abbildung insgesamt ein Gebirge über einer Grundfläche beschreibt.
- Richtungsableitung
Wir stellen uns vor, wir sind an einem Ort im Gebirge und entschließen uns, in eine bestimmte Richtung, beispielsweise nach Nordwest zu gehen, egal was kommen mag. Damit machen wir sämtliche Steigungen und Abhänge mit, die das Gebirge uns in dieser vorgegebenen Richtung bietet. Dabei lernen wir nur den Höhenverlauf des Gebirges entlang dieses linearen Ausschnitts kennen. Durch die gewählte Richtung bewegen wir uns auf dem Graphen zu einer Funktion in einer einzigen Variablen, nämlich einer Variablen der Grundgeraden. Dies ist die Grundidee der Richtungsableitung.
Es seien und endlichdimensionale normierte Vektorräume, eine offene Teilmenge, und eine Abbildung. Weiter sei ein Punkt und ein fixierter Vektor. Dann heißt differenzierbar in in Richtung , falls der Grenzwert
existiert. In diesem Fall heißt dieser Grenzwert die Ableitung von in in Richtung . Er wird mit
bezeichnet.
Die Existenz von hängt nur von der Abbildung , , ab (wobei das Intervall so gewählt ist, dass auch impliziert). Mit dieser Hilfsabbildung gilt
wobei links die Ableitung zu einer Kurve steht.
Die Richtungsableitung in einem Punkt und in eine Richtung ist selbst ein Vektor in . Bei ist die Richtungsableitung eine reelle Zahl.
Wir betrachten die Abbildung
in einem Punkt in Richtung . Der Differenzenquotient ist
Für gehen die beiden hinteren Summanden gegen , sodass sich insgesamt
ergibt.
Im Punkt ergibt sich in Richtung beispielsweise die Richtungsableitung
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und sei
eine lineare Abbildung. Dann existiert die Richtungsableitung in jedem Punkt und in jede Richtung , und zwar ist
insbesondere ist also die Richtungsableitung unabhängig vom Punkt. Dies folgt direkt durch Betrachten des Differenzenquotienten; es ist nämlich
Daher ist auch der Limes für gleich .
Typischerweise berechnet man die Richtungsableitung nicht über eine direkte Grenzwertbetrachtung, sondern über die Hilfsfunktion (in den nächsten Vorlesungen werden wir noch den Zusammenhang zu partiellen Ableitungen kennenlernen, der ebenfalls für Berechnungen gut geeignet ist).
Wir bestimmen die Richtungsableitung zur Funktion
im Punkt in Richtung . Dazu müssen wir die Hilfsfunktion
im Nullpunkt ableiten. Es ist
Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist
also ist
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, sei offen, ein Punkt, ein Vektor und seien
Abbildungen, die im Punkt in Richtung differenzierbar seien. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Summe ist ebenfalls differenzierbar in Richtung mit
- Das Produkt mit
ist ebenfalls differenzierbar in Richtung mit
- Die Funktion ist auch in Richtung
mit
differenzierbar und es gilt
Die Eigenschaften (1) und (2) ergeben sich aus den entsprechenden Eigenschaften für Limiten von Abbildungen, siehe Fakt *****. Für die Eigenschaft (3) siehe Aufgabe 44.11.
Im Rahmen der Theorie des totalen Differentials wird die Frage beantwortet, wie sich die Richtungsableitungen zu verschiedenen Richtungen zueinander verhalten. Wenn im Werteraum eine Basis gegeben ist, so kann man die Richtungsableitung komponentenweise bestimmen.
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, sei offen, ein Punkt und sei ein Vektor. Es sei
eine Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es sei der
Produktraum
aus endlichdimensionalen Vektorräumen . Dann ist genau dann in differenzierbar in Richtung , wenn sämtliche Komponentenabbildungen
in in Richtung differenzierbar sind. In diesem Fall gilt
- Es sei eine
Basis
von mit den
Koordinaten
Dann ist in in Richtung genau dann differenzierbar, wenn sämtliche Komponentenfunktionen
in in Richtung differenzierbar sind. In diesem Fall ist
Die erste Aussage folgt aus der zweiten, wenn man für die einzelnen Vektorräume Basen einführt (umgekehrt ist auch der zweite Teil ein Spezialfall des ersten). Die zweite Aussage folgt aus Aufgabe 34.5 oder aus Lemma 34.5 in Verbindung mit Fakt *****.
Aufgrund von diesem Lemma muss man vor allem die Richtungssableitung für den Fall verstehen, wo der Wertebereich gleich ist.
Das folgende einfache Beispiel zeigt, dass durchaus alle Richtungsableitungen existieren können, die Abbildung selbst aber noch nicht einmal stetig sein muss.
Wir betrachten die Funktion mit
Für einen Vektor und einen reellen Parameter erhalten wir auf der Geraden die Funktion
Für ist der Nenner stets positiv und die Funktion ist stetig mit dem Wert bei , und als rationale Funktion in differenzierbar. Für ist die Funktion konstant und damit ebenfalls differenzierbar. Also existieren in alle Richtungsableitungen zu . Die Funktion ist allerdings nicht stetig: Für die Folge (die gegen konvergiert) gilt
aber .
Im vorstehenden Beispiel besteht kein enger Zusammenhang zwischen den Richtungsableitungen in verschiedene Richtungen. Wir werden später sehen, dass unter stärkeren Voraussetzungen die Zuordnung
linear ist.
Im Allgemeinen möchte man nicht nur in einem einzigen Punkt ableiten können, sondern in jedem Punkt, was durch die folgende naheliegende Definition präzisiert wird.
Seien und euklidische Vektorräume, sei eine offene Teilmenge, sei eine Abbildung und ein fixierter Vektor. Dann heißt differenzierbar in Richtung , falls in jedem Punkt in Richtung differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
die Richtungsableitung von in Richtung .
Die Richtungsableitung zu einem fixierten Vektor ist also vom selben Typ wie die Ausgangsabbildung.
- Polynomiale Funktionen
Wir betrachten die polynomiale Funktion
Die Richtungsableitung in Richtung in einem beliebigen Punkt
ergibt sich durch Betrachten des Differenzenquotienten, also
Dabei ist eine polynomiale Funktion in (die und die sind fixierte Zahlen). Der Limes von geht für gegen . Daher ist
In den Aufgaben werden wir sehen, dass die Richtungsableitung zu einer polynomialen Funktion in jede Richtung existiert und selbst wieder polynomial ist. Dies wird sich auch einfach im Rahmen des totalen Differentials ergeben.
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