Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 13/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Aufgabe 13.1 ändern
Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass in der Potenzreihe des Kosinus hyperbolicus die Koeffizienten für ungerades gleich sind.
Aufgabe * Aufgabe 13.3 ändern
Zeige, dass der Sinus hyperbolicus auf streng wachsend ist.
Aufgabe Aufgabe 13.4 ändern
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
ein Polynom. Zeige, dass genau dann eine ungerade Funktion definiert, wenn für alle geraden Indizes ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Funktion. Woran erkennt man am Graphen von , ob eine gerade Funktion ist?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Funktion. Woran erkennt man am Graphen von , ob eine ungerade Funktion ist?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Summe von zwei geraden Funktionen wieder gerade und die Summe von zwei ungeraden Funktionen wieder ungerade ist. Kann man etwas über die Summe von einer geraden Funktion mit einer ungeraden Funktion aussagen?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass das Produkt von zwei geraden Funktionen wieder gerade, das Produkt von zwei ungeraden Funktionen gerade und das Produkt von einer geraden und einer ungeraden Funktion ungerade ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass es genau eine Funktion gibt, die sowohl gerade als auch ungerade ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass man jede stetige Funktion
als mit einer stetigen geraden Funktion und einer stetigen ungeraden Funktion schreiben kann.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Welche Punkte kennen Sie auf dem rationalen Einheitskreis
Aufgabe Referenznummer erstellen
Beschreibe die obere Hälfte des Einheitskreises und die untere Hälfte des Einheitskreises als den Graphen einer Funktion.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wir betrachten den rationalen Einheitskreis
und die Gerade
- Bestimme die Schnittpunkte .
- Wie sieht es aus, wenn man statt die reellen Zahlen nimmt?
- Kann man einen Kreis erst dann verstehen, wenn man die reellen Zahlen verstanden hat?
- Welche Beziehung besteht zum Zwischenwertsatz?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden und des Kreises , wobei durch die Gleichung und durch den Mittelpunkt und den Radius gegeben ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte und verläuft.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien , , und sei
der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Es sei eine Gerade in mit der Eigenschaft, dass es auf mindestens einen Punkt gibt mit . Zeige, dass ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem nichtausgearteten Dreieck die Gleichheiten
gelten, wobei die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers (jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen) berechnet.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Koeffizienten bis zu in der Produktreihe aus der Sinusreihe und der Kosinusreihe.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne
Was fällt dabei auf und wie kann man es erklären?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige und für alle .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme den Grenzwert der Folge
Aufgabe * Referenznummer erstellen
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 13.27 ändern
Zeige, dass der Kosinus hyperbolicus auf streng fallend und auf streng wachsend ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden und des Kreises , wobei durch die Gleichung und durch den Mittelpunkt und den Radius gegeben ist.
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise das Additionstheorem
für den Sinus unter Bezug auf die definierenden Potenzreihen.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien komplexe Zahlen in der Kreisscheibe mit Mittelpunkt und Radius , also in , gegeben. Zeige, dass es einen Punkt mit der Eigenschaft
gibt.