Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/14

Antworten zu Fragen zur Vorlesung

Studentenfrage

A function would be continuous over a closed period, but not differentiable over the same period. Could it be the case?

Antwort

I'm not sure what you mean with period. To me a period in mathematics is one of the following: w:en:Periodic_function or w:en:Period_(algebraic_geometry). I'm not sure how either is applicable here, but from context I assume you mean an interval.

Yes, a function can be continuous over an interval ${}I$ and at the same time not differentiable over the same interval ${}I$.

Take for example

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

i.e. the absolute value function which was the topic of Aufgabe 10.3 and Aufgabe 14.3. It is continuous (you can use ${}\delta =\epsilon$ in the definition of continuity). You can show that it is not differentiable at ${}0$ by comparing difference quotients approaching ${}0$ from the left and from the right. From the left the differential would have to be -1 and from the right it would have to be 1.

Studentenfrage

In Definition 14.2 ist folgender Satz: "Häufig nimmt man die Differenz ${}h:=x-a$ als Parameter für den Limes des Differenzenquotienten, und lässt ${}h$ gegen ${}0$ gehen." Wird hierbei das ${}x$ zu ${}a$ angenähert oder ${}a$ zu ${}x$?

Antwort

Das ${}a$ bleibt fest, es handelt sich ja dabei um den Punkt an dem wir differenzieren. Da wir den Grenzwert von ${}h$ gegen ${}0$ betrachten und ${}h=x-a$ ist und a fixiert ist, muss ${}x$ gegen ${}a$ gehen.

Studentenfrage

In der Vorlesung wird die Differenzierbarkeit thematisiert und im Anschluss die Ableitungsfunktion kurz angeschnitten. Warum spricht man zuerst "nur" von differenzieren und nicht direkt von ableiten?

Antwort

Differenzieren ist der präzisere Begriff, so wie wir auch lieber von der Addition als vom Plusrechnen reden. Man sieht zum Beispiel an der Begriffsklärunsgsseite auf Wikipedia w:Ableitung, dass der Begriff Ableitung viele Bedeutungen hat. Wir sprechen trotzdem von der Ableitungsfunktion, weil Differentialquotientenfunktion auf Dauer unhandlich wäre.

Im alltäglichen Gebrauch kannst du natürlich immer ableiten sagen, wenn die Bedeutung klar ist. Genauso wie es auch ok ist Plusrechnen zu sagen. Aber bei der Definition sollte man präzise sein.

Studentenfrage

Was wird in Satz 14.5 genau ausgesagt? Was bedeutet hier ${}f(x)=f(a)+s\cdot (x-a)+r(x)(x-a)$?

Antwort

Sei eine Funktion ${}f$ fixiert und ${}a$ im Definitionsbereich. Die Gleichung bedeutet, dass sich ${}f(x)$ darstellen lässt als die Summe eines konstanten Wertes ${}f(a)$, einer linearen Funktion ${}s\cdot (x-a)$, und einer in ${}a$ stetigen Fehlerfunktion ${}r(x)\cdot (x-a)$. Dabei ist ${}r(a)=0$ vorausgesetzt. Der Wert ${}s$ ist die Steigung der linearen Funktion und gleichzeitig der Differentialquotient (oder Ableitung) von ${}f$ in a.

Der Clou dabei ist, dass wenn wir ${}g(x):=r(x)\cdot (x-a)$ schreiben, sowohl ${}g(a)=0$ als auch ${}g'(a)=0$ ist (das lässt sich mit der Produktregel aus Lemma 14.7 schnell verifizieren (wenn ${}f$ und damit auch ${}r$ differenzierbar ist)). Deshalb ist sämtliches Verhalten von ${}f$ bezüglich der ersten Ableitung in ${}a$ durch ${}s\cdot (x-a)$ gegeben. Deshalb ergibt die Aussage des Satzes sinn, dass sich ${}s\in \mathbb {R}$ und eine stetige Funktion ${}r$ mit ${}r(a)$ so dass sie die Gleichung erfüllen genau dann finden lassen, wenn ${}f$ differenzierbar in ${}a$ ist.

Studentenfrage

I don't understand the Beweis of Satz 14.5. Can you explain it?

Antwort

Yes. But for me to help you there, you have to help me by being more specific. What do you not understand, exactly? Is the proof structure unclear? Or are there some steps that you have trouble with? Which parts do you understand already?

Studentenfrage

Ich bin mit Beispiel 14.10 ein bisschen verwirrt. Die Umkehrfunktion für ${}x^{2}$ ist ${}x^{\frac {1}{2}}$. Die gegebene Beziehung ist durch ${}{\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}$ definiert. Nach meinem Verständnis ist der Nenner die Abteilung von ${}f^{-1}(b)$, also die Abteilung von ${}x^{\frac {1}{2}}$. Sollte das nicht ${}{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}$ sein? Warum benutzen wir stattdessen die Ableitung von ${}f(x)=x^{2}$, also ${}2a$?

Antwort

Du hast die Formel falsch gelesen. Sieh dir ${}{\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}$ noch einmal genau an. Wir setzen in ${}f'(x)$ für ${}x$ den Wert ${}f^{-1}(b)$ ein. Deshalb benutzen wir die Ableitung von ${}f$ in die wir dann ${}f^{-1}(b)={\sqrt {b}}$ einsetzen.

Bemerkungen zu den abgegebenen Aufgaben von Blatt 14

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