Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesung 60/latex
\setcounter{section}{60}
\zwischenueberschrift{Die Transformationsformel für Integrale}
Wir kommen zur
\stichwort{Transformationsformel für Integrale}{,} wofür wir noch eine Bezeichnung einführen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{.}
Dann nennt man die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
\mathdisp {\det \left(D\varphi\right)_{P}} { }
die \definitionswort {Jacobi-Determinante}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Fundamental-Determinante}{}} {} {}
von $\varphi$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Wir betrachten die Jacobi-Determinante als eine auf $G$ definierte reellwertige Funktion
\mathl{P \mapsto J(\varphi)(P) = J(P) \defeq \det \left(D\varphi\right)_{P}}{.} Bei einer stetig partiell differenzierbaren Abbildung ist sie stetig, da dann die Einträge in der Jacobi-Matrix stetige Funktionen sind. Bei einer linearen Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^n
} {}
stimmt das totale Differential in jedem Punkt mit $\varphi$ selbst überein, und daher ist die Jacobi-Determinante konstant. In
Satz 58.8
haben wir gesehen, dass die Determinante der linearen Abbildung das Verhältnis zwischen dem Volumen von Bild und Urbild festlegt. Eine wesentliche Verallgemeinerung von dieser Beziehung wird durch die beiden folgenden Aussagen gegeben.
{Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Kompakte Teilmengen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
im
\mathl{\R^n}{} und es sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein $C^1$-\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (J(\varphi))(x)
}
{ = }{ \det \left(D\varphi\right)_{x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\zusatzklammer {in $\R^n$} {} {}
\definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{}
und es sei
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{\varphi^{-1}(T)}{} ebenfalls kompakt und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ T } f \, d \lambda^n
}
{ =} { \int_{ \varphi^{-1}(T) } (f \circ \varphi ) \betrag { J(\varphi) } \, d \lambda^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.}
Häufig startet man auch mit einer kompakten Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und setzt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{ \varphi(S)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es kann auch auf $S$ eine stetige Funktion $\tilde{f}$ definiert sein, dann muss man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ \tilde{f} \circ \varphi^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzen. Da ein Diffeomorphismus vorausgesetzt wird, ist die Aussage dieses Satzes grundsätzlich symmetrisch.
\inputfaktbeweis
{Diffeomorphismus/Transformationsformel/Kompakte Teilmengen/Volumen/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
im $\R^n$ und es sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein $C^1$-\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (J(\varphi))(x)
}
{ =} { \det \left(D\varphi\right)_{x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\zusatzklammer {in $\R^n$} {} {}
\definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n (T)
}
{ =} { \int_{ \varphi^{-1}(T) } \betrag { J(\varphi) } \, d \lambda^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus
Satz 60.2,
angewendet auf die konstante Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Beispiele zur Transformationsformel}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das komplexe Quadrieren
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {z^2
} {.}
In reellen Koordinaten ist dies die differenzierbare Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {(x,y)} {(x^2-y^2,2xy)
} {.}
Diese Abbildung ist wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x,y)
}
{ = }{ \varphi(-x,-y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht injektiv. Allerdings ist die Einschränkung auf die positive Halbebene
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \mid x>0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
injektiv, und das Bild davon ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{ \R^2 \setminus \R_-
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {also die Ebene ohne die negative reelle Achse} {} {.}
Die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
von $\varphi$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Jak}( \varphi )_{(x,y)}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2x & -2y \\ 2y & 2x \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (J(\varphi))(x,y)
}
{ =} { 4x^2+4y^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir möchten den Flächeninhalt des Bildes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \varphi(S)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
des Einheitsquadrates
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{ [0,1] \times [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unter dieser Abbildung berechnen
\zusatzklammer {die eine Seite des Einheitsquadrates gehört nicht zu $G$, dieser Rand ist aber eine
\definitionsverweis {Nullmenge}{}{}
nach Lemma 58.6
und daher für den Flächeninhalt und die Integration unerheblich} {} {.}
Aufgrund von
Korollar 60.3
ist dann
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \lambda^2(T)
}
{ =} { \int_S 4x^2+4y^2 d \lambda^2
}
{ =} { \int_0^1 \int_0^1 { \left( 4x^2+4y^2 \right) } dx dy
}
{ =} { \int_0^1 { \left( { \frac{ 4 }{ 3 } } x^3 + 4x y^2 \right) } {{|}}_0^1 dy
}
{ =} { \int_0^1 { \left( { \frac{ 4 }{ 3 } } + 4 y^2 \right) } dy
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( { \frac{ 4 }{ 3 } } y + { \frac{ 4 }{ 3 } } y^3 \right) } {{|}}_0^1
}
{ =} { { \frac{ 8 }{ 3 } }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Polarkoordinaten/Kompakte Teilmengen/Transformationsformel/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {(r, \theta)} { (r \cos \theta , r \sin \theta )
} {,}
die
\definitionsverweis {Polarkoordinatenauswertung}{}{}
und es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{,}
auf denen $\varphi$ einen
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
induziert. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\zusatzklammer {in $\R^2$} {} {}
\definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{}
und
\maabbdisp {f} { T} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \int_{ T } f(x,y) \, d \lambda^2(x,y)
}
{ =} { \int_{ \varphi^{-1}(T) } f(r \cos \theta ,r \sin \theta ) \cdot r \, d \lambda^2(r,\theta)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem $f$ die Formel
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \int_{ \R^2 } f(x,y) \, d \lambda^2(x,y)
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ \infty } \int_{ 0 }^{ 2 \pi } f(r \cos \theta ,r \sin \theta ) \cdot r \, d \theta \, d r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det { \left( D \varphi \right) }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{pmatrix}
}
{ =} { r \cos^{ 2 } \theta + r \sin^{ 2 } \theta
}
{ =} { r
}
{ } {
}
}
{}{}{}
direkt aus
Satz 60.2.
\inputfaktbeweis
{Normalverteilung/Fehlerintegral/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ -\infty }^{ +\infty } e^{- x^2 } \, d x
}
{ =} {\sqrt{ \pi}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Durch eine einfache
Substitution
ist die Aussage äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ -\infty }^{ +\infty } { \frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} } } e^{- { \frac{ t^2 }{ 2 } } } \, d t
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nennen wir dieses Integral $I$. Nach
einer Variante des Satzes von Fubini für uneigentliche Integrale ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I^2
}
{ =} { { \left( \int_{ -\infty }^{ +\infty } { \frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} } } e^{- { \frac{ t^2 }{ 2 } } } \, d t \right) } \cdot { \left( \int_{ -\infty }^{ +\infty } { \frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} } } e^{- { \frac{ t^2 }{ 2 } } } \, d t \right) }
}
{ =} { \int_{ \R^2 } { \frac{ 1 }{ 2 \pi } } e^{ - { \frac{ x^2+y^2 }{ 2 } } } \, d \lambda^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Durch Einführung von
\definitionsverweis {Polarkoordinaten}{}{}
\mathkor {} {x= r \cos \theta} {und} {y= r \sin \theta} {}
ist dieses Integral nach
Korollar 60.5
und nach Fubini
gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \,
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi } } \int_{ [0, 2 \pi] \times \R_{\geq 0} } e^{- { \frac{ r^2 }{ 2 } } } \cdot r \, d \lambda^2(r,\theta)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi } } { \left( \int_{ [0, 2 \pi] } 1 \, d \lambda^1(\theta) \right) } { \left( \int_{ \R_{\geq 0} } e^{- { \frac{ r^2 }{ 2 } } } \cdot r \, d \lambda^1(r) \right) }
}
{ =} { \int_{ \R_{\geq 0} } e^{- { \frac{ r^2 }{ 2 } } } \cdot r \, d \lambda^1(r)
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ \infty } e^{- { \frac{ r^2 }{ 2 } } } \cdot r \, d r
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { - e^{- { \frac{ r^2 }{ 2 } } } | _{ 0 } ^{ \infty }
}
{ =} {1
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Damit ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Transformationsformel/Integral/Kompakte Teilmenge/Zylinderkoordinaten/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Für die
Zylinderkoordinatenauswertung
\maabbeledisp {\Psi} {G=\R_{+} \times ]0, 2 \pi[ \times \R } { \R^3
} { (r, \theta,z)} { \left( r \cos \theta , \, r \sin \theta , \, z \right)
} {,}
eine
\definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \Psi (G)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} { T} {\R
} {}}
\faktfolgerung {gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ T } f \, d \lambda^3
}
{ =} { \int_{ \Psi^{-1}(T) } (f \circ \Psi ) \cdot r \, d \lambda^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Dies kann man auch als
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \int\int\int_{ T } f(x,y,z) dxdydz
}
{ =} { \int\int\int_{ \Psi^{-1}(T) } \tilde{f}(r, \theta, z) \cdot r d r d \theta d z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{f}
}
{ = }{ f \circ \Psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnet.}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 60.2, da die \definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{} der Zylinderkoordinatenauswertung gleich $r$ ist.
\inputfaktbeweis
{Transformationsformel/Integral/Kompakte Teilmenge/Kugelkoordinaten/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Für die
Kugelkoordinatenauswertung
\maabbeledisp {\Psi} {G=\R_{+} \times ]0, \pi[ \times ]0,2 \pi[ } { \R^3
} { (r, \theta,\varphi)} { \left( r \cos \varphi \sin \theta , \, r \sin \varphi \sin \theta , \, r \cos \theta \right)
} {,}
eine
\definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{\Psi (G)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} { T} {\R
} {}}
\faktfolgerung {gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ T } f \, d \lambda^3
}
{ =} { \int_{ \Psi^{-1}(T) } (f \circ \Psi ) r^2 \sin \theta \, d \lambda^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Dies kann man auch als
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \int\int\int_{ T } f(x,y,z) dxdydz
}
{ =} { \int\int\int_{ \Psi^{-1}(T) } \tilde{f}(r, \theta, \varphi) \cdot r^2 \sin \theta d r d \theta d \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{f}
}
{ = }{ f \circ \Psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnet.}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Beispiel 53.7
ist die
\definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{}
von $\Psi$ im Punkt
\mathl{\left( r , \, \theta , \, \varphi \right)}{} gleich
\mathl{r^2 \sin \theta}{,} sodass die Aussage aus
Satz 60.2
folgt.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Hesounu-rybnik.JPG} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Hesounů rybník.JPG } {} {Juan de Vojníkov} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Es soll eine Straße in der Ebene der Breite $2a$ asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve
\maabbeledisp {} {[0,s]} {\R^2
} {t} {\psi(t) = \begin{pmatrix} f(t) \\g(t) \end{pmatrix}
} {,}
bestimmt ist. Dabei sei $\psi$
\definitionsverweis {zweimal stetig differenzierbar}{}{}
und
\definitionsverweis {bogenparametrisiert}{}{,}
d.h. es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(t)^2 +g'(t)^2
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was bedeutet, dass die Mittelstreifenkurve mit normierter Geschwindigkeit durchlaufen wird. Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {[0,s] \times [-a,a]} { \R^2
} {(t,r)} { \begin{pmatrix} f(t) \\g(t) \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -g'(t) \\f'(t) \end{pmatrix}
} {,}
parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung $\psi$ injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll.
Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{(t,r)}
}
{ =} { \begin{pmatrix} f^{\prime} (t) - r g^{\prime \prime}(t) & - g'(t) \\ g^{\prime} (t) + r f^{\prime \prime}(t) & f'(t) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Determinante davon ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ f'(t)f'(t) +g'(t)g'(t) - r { \left( g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) \right) }
}
{ =} { 1- r { \left( g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Daher ist die Asphaltfläche nach
der Transformationsformel
gleich
\mathdisp {\int_{ [0,s] \times [-a,a] } \betrag { 1- r { \left( g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) \right) } } \, d \lambda^2} { . }
Wenn wir weiter annehmen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\zusatzklammer {was bedeutet, dass die Straßenbreite nicht allzu groß ist} {} {,}
so ist dieses Integral nach
Korollar 59.6
geich
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \int_{ [0,s] \times [-a,a] } 1- r { \left( g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) \right) } \, d \lambda^2
}
{ =} { 2a s - { \left( \int_{ -a }^{ a } r \, d r \right) } { \left( \int_{ 0 }^{ s } g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) \, d t \right) }
}
{ =} {2a s - 0 \cdot { \left( \int_{ 0 }^{ s } g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) \, d t \right) }
}
{ =} {2as
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet, dass die Asphaltfläche gleich der Mittelstreifenlänge mal der Straßenbreite ist.
}
\zwischenueberschrift{Volumentreue Abbildungen}
In einer früheren Vorlesung haben wir über
\definitionsverweis {Isometrien}{}{}
gesprochen, also lineare Abbildungen zwischen euklidischen Vektorräumen, die das Skalarprodukt und insbesondere die Norm respektieren. Aufgrund von
Aufgabe 60.8
ist die Determinante einer Isometrie auf dem $\R^n$ gleich
\mathkor {} {1} {oder} {-1} {,}
so dass sich
gemäß Korollar 60.3
das Volumen von beliebigen kompakten Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unter der Abbildung nicht ändert, d.h. es ist stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda^n(\varphi(T))
}
{ = }{ \lambda^n(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
im $\R^n$ und es sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein $C^1$-\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{.}
Man sagt, dass $\varphi$
\definitionswort {volumentreu}{}
ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { (J(\varphi))(x) }
}
{ =} { \betrag { \det \left(D\varphi\right)_{x} }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
Im ebenen Fall spricht man natürlich von \stichwort {flächentreu} {.} Für einen volumentreuen Diffeomorphismus ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n(\varphi(T))
}
{ =} { \lambda^n(T)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach Korollar 60.3.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ \in }{ \R[y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein beliebiges Polynom in der einen Variablen $y$. Dann ist die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {(x,y)} { (x+h(y),y)
} {}
ein
\definitionsverweis {flächentreuer Diffeomorphismus}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
von $\varphi$ ist ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Jak}( \varphi )_{(x,y)}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & h'(y) \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass die
\definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{}
konstant gleich $1$ ist. Wenn man die Rollen von
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
vertauscht und die Hintereinanderschaltung von solchen Abbildungen betrachtet, so erhält man flächentreue Abbildungen, denen man es nicht auf den ersten Blick ansieht. Beispielsweise ist zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x,y)
}
{ = }{ (x+y^2,y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi(x,y)
}
{ = }{ (x,y+x^3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Hintereinanderschaltung
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (\psi \circ \varphi) (x,y)
}
{ =} { \psi( \varphi (x,y) )
}
{ =} { \psi \left( x+y^2 , \, y \right)
}
{ =} { \left( x+y^2 , \, y+ { \left( x+y^2 \right) }^3 \right)
}
{ =} { \left( x+y^2 , \, y+x^3 +3x^2y^2+3xy^4+y^6 \right)
}
}
{}
{}{.}
}